9माप सिद्धांत

हल — अभ्यास 9.1.

(क) पूरक लेने से दोनों परिभाषक स्थितियाँ आपस में बदल जाती हैं। गणनीय समुच्चयों का कोई गणनीय संघ गणनीय होता है; और यदि कोई एक सदस्य सह-गणनीय हो, तो संघ सह-गणनीय होता है: अतः स्थायित्व लागू है। वह एकल-अवयवी समुच्चयों को धारण करता है, और उन्हें धारण करने वाला कोई भी $\sigma$-बीजगणित सभी गणनीय समुच्चयों (गणनीय संघ) तथा उनके पूरकों को धारण करता है: अतः वह $\sigma(\{\text{एकल-अवयवी समुच्चय}\})$ है।

(ख) $\mathcal B = \sigma(\text{विवृत समुच्चय})$ लिखिए। $\R$ का प्रत्येक विवृत उपसमुच्चय परिमेय अंत-बिंदुओं वाले विवृत अंतरालों का गणनीय संघ है (विवृत समुच्चय के प्रत्येक परिमेय बिंदु के चारों ओर उसके भीतर का कोई परिमेय-त्रिज्या अंतराल), अतः विवृत $\in \sigma(\text{विवृत अंतराल}) \subseteq \sigma(\text{परिमेय आँकड़े})$। रूपांतर: $\intoo ab = \bigcup_n\intcc{a + \frac1n}{b - \frac1n}$; $\intcc ab = \bigcap_n \intoo{a - \frac1n}{b + \frac1n}$; $\intoc{-\infty}a = \bigcap_n \intoo{-\infty}{a + \frac1n}$ और विलोमतः $\intoo ab = \intoo{-\infty}b \setminus \intoc{-\infty}a$; परिमेय किरणें: $\intoc{-\infty}a = \bigcap_{q \in \Q,\, q > a}\intoc{-\infty}q$। प्रत्येक कुल गणनीय संक्रियाओं से शेष को जनित करता है: अतः चारों $\mathcal B$ को जनित करते हैं।

(ग) केवल परिमित अंत-बिंदुओं के साथ यह कुल तो बीजगणित भी नहीं है: $\intoc01$ के पूरक में अपरिबद्ध किरणें होती हैं। अनंत अंत-बिंदु ($\intoc{-\infty}b$, $\intoo a{+\infty}$) की अनुमति देने पर वह बीजगणित बन जाता है (ऐसे संघों के पूरक और परिमित संघ ऐसे ही होते हैं), पर $\sigma$-बीजगणित नहीं: $\{0\} = \bigcap_n\intoc{-\frac1n}0$ अपह्रासी न होने वाले अंतरालों का कोई परिमित संघ नहीं है।

हल — अभ्यास 9.2.

(क) $A \cup B = A \sqcup (B \setminus (A\cap B))$, अतः $\mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B)$ (परिमितता घटाव की अनुमति देती है)। तीन समुच्चय: दो-समुच्चय वाला सूत्र दो बार लगाइए,

(योग स्पष्ट सूचकांक समुच्चयों पर)।

(ख) लेबेग माप के लिए $A_n = [n, +\infty) \downarrow \varnothing$, पर $\lambda(A_n) = \infty \not\to 0$।

(ग) कोई बिंदु लंबाई $\varepsilon$ के किसी अंतराल में होता है: $\lambda(\{x\}) = 0$; और गणनीय उप-योज्यता गणनीय समुच्चयों को मार देती है। अतः $\lambda(\Q \cap \intcc01) = 0$ और, योज्यता से, $\lambda(\intcc01\setminus\Q) = 1$: अर्थात् समूची लंबाई अपरिमेय ही ढोते हैं।

हल — अभ्यास 9.3.

किरणें $\intoc{-\infty}t$ कोई $\pi$-प्रणाली बनाती हैं (दो का प्रतिच्छेद छोटा वाला है) जो $\mathcal B(\R)$ को जनित करती है (अभ्यास 9.1)। समुच्चय $P_k = \intoc{-\infty}k$ $\mu(P_k) \leq 1 < \infty$ के साथ $\R$ तक बढ़ते हैं: अतः प्रमेय 9.7 लागू होती है, और $\mathcal B(\R)$ पर $\mu = \nu$। इस प्रकार बंटन फलन माप को निर्धारित कर देता है।

हल — अभ्यास 9.4.

प्रत्येक $N$ के लिए $\limsup A_n \subseteq \bigcup_{n \geq N}A_n$, अतः $\mu(\limsup A_n) \leq \sum_{n\geq N}\mu(A_n)$, जो किसी अभिसारी श्रेणी की पुच्छ है: अब $N \to \infty$ लीजिए। अनुप्रयोग: $A_n = \{x \in \intcc01 : \abs{x - r_n} \leq 4^{-n}\}$ के साथ ($r_n$ $n$-वाँ परिमेय), $\lambda(A_n) \leq 2\cdot4^{-n}$ योगनीय है: $\lambda(\limsup A_n) = 0$, अर्थात् लगभग प्रत्येक $x$ केवल परिमित संख्या के $A_n$ में होता है। (फिर भी प्रत्येक $x$ परिमेयों की कोई सीमा है: मर्म गति $4^{-n}$ में है।)

हल — अभ्यास 9.5.

$K = \bigcap K_n$ संवृत अंतरालों के परिमित संघों का प्रतिच्छेद है: अतः संहत। चरण $n$ पर उभयनिष्ठ लंबाई $\ell_n \leq 2^{-n}$ के $2^n$ अंतराल शेष रहते हैं (प्रत्येक चरण आधा करता है और सिकोड़ता है); कोई अंतराल $I \subseteq K$ प्रत्येक $n$ के लिए किसी एक ही चरण-$n$ अंतराल के भीतर होता, जिससे $\ell(I) = 0$ अनिवार्य हो जाता: अतः रिक्त अंतःभाग। हटाया गया माप $\sum_{n\geq1}2^{n-1}\cdot 4^{-n} = \frac12\sum_{n\geq1}2^{-n} = \frac12$ है, और सभी हटाव असंयुक्त विवृत अंतराल हैं: $\lambda(K) = \frac12$।

रूपांतर: लंबाई $\varepsilon 4^{-n}$ के केंद्रीय अंतराल हटाने पर माप $1 - \frac\varepsilon2$ का कहीं सघन न होने वाला संहत $K^{(\varepsilon)}$ बचता है। तब $\bigcup_m K^{(1/m)}$ क्षीण है (कहीं सघन न होने वाले समुच्चयों का गणनीय संघ) और उसका माप $\geq \sup_m(1 - \frac1{2m}) = 1$ है: अर्थात् पूर्ण माप वाला कोई क्षीण समुच्चय — और $\intoo01$ में उसका पूरक माप $0$ का कोई सघन $G_\delta$ है (संस्थितिक रूप से मोटा, दूरिक रूप से अकिंचन)। $\intoo01$ में $K^{(\varepsilon)}$ का पूरक विवृत, सघन और माप $\frac\varepsilon2 < \varepsilon$ का है।

हल — अभ्यास 9.6.

$\intoc01$ को $\intoc0{2^{-n}}$ के $2^n$ स्थानांतरों में काटने पर: $c = 2^n\,\mu(\intoc0{2^{-n}})$, अतः $\mu(\intoc0{2^{-n}}) = c\,2^{-n} = c\,\lambda(\intoc0{2^{-n}})$। स्थानांतरण निश्चरता और योज्यता से किसी द्विअंशी परिमेय $b - a$ तथा किसी भी $a$ के लिए प्रत्येक अंतराल $\intoc ab$ पर $\mu = c\lambda$; और कोई व्यापक $\intoc ab$ ऐसे अंतरालों का वर्धमान संघ है ($a$ से $b_k \uparrow b$ द्विअंशी चरण), तथा नीचे से सांतत्य इस बराबरी को बढ़ा देती है। अंतराल $\intoc ab$ कोई $\pi$-प्रणाली बनाते हैं जो $\mathcal B(\R)$ को जनित करती है, जिसमें $\intoc{-k}k \uparrow \R$ का माप परिमित है ($\mu(\intoc{-k}k) = 2kc$): अतः प्रमेय 9.7 $\mathcal B(\R)$ पर $\mu = c\lambda$ दे देती है।

हल — अभ्यास 9.7.

नियमितता (प्रमेय 9.13) से $K \subseteq A \subseteq U$ ऐसे चुनिए कि $K$ संहत, $U$ विवृत, $\lambda(U\setminus K) < \varepsilon$ (दोनों आसन्नन $\varepsilon/2$ के भीतर, और $\lambda(U \setminus K) = \lambda(U\setminus A) + \lambda(A \setminus K)$)। $U$ को विवृत अंतरालों $(I_n)$ (विवृत समुच्चय के घटक) के गणनीय असंयुक्त संघ के रूप में लिखिए; संहत $K$ उनमें से परिमित संख्या से आच्छादित हो जाता है, $K \subseteq B = I_1\cup\dots\cup I_N \subseteq U$। तब $A \setminus B \subseteq A\setminus K \subseteq U\setminus K$ और $B \setminus A \subseteq U \setminus A \subseteq U\setminus K$: अतः $\lambda(A\,\triangle\,B) \leq 2\lambda(U\setminus K)$ — $\varepsilon$ से नीचे उतरने के लिए $\varepsilon/2$ से आरंभ कीजिए।

हल — अभ्यास 9.8.

$A$ को धनात्मक माप वाले $A \cap [-M, M]$ से बदलकर (नीचे से सांतत्य से कोई $M$ काम कर देता है) मान लीजिए $0 < \lambda(A) < \infty$। $\lambda(U) < \frac43\lambda(A)$ वाला विवृत $U \supseteq A$ लीजिए और $U = \bigsqcup_nI_n$ को असंयुक्त विवृत अंतरालों में विघटित कीजिए: $\lambda(A) = \sum_n\lambda(A\cap I_n)$। यदि प्रत्येक $n$ के लिए $\lambda(A\cap I_n) \leq \frac34\ell(I_n)$ होता, तो योग करने पर $\lambda(A) \leq \frac34\lambda(U) < \lambda(A)$ मिलता: अतः कोई अंतराल $I$ $\lambda(A\cap I) > \frac34\ell(I)$ संतुष्ट करता है। $B = A \cap I$ रखिए और $\abs t < \frac12\ell(I)$ लीजिए: तब $B$ और $B + t$ दोनों लंबाई $< \frac32\ell(I)$ के अंतराल $I \cup (I + t)$ में होते हैं। यदि वे असंयुक्त होते: तो $\lambda(B) + \lambda(B + t) = 2\lambda(B) > \frac32\ell(I)$ धारण करने वाले अंतराल के माप से अधिक हो जाता — असंभव। अतः $B \cap (B + t) \neq \varnothing$: कोई $x \in B$ $y \in B$ के साथ $x = y + t$ के रूप में लिखा जाता है, और $t = x - y \in A - A$। इसलिए $\intoo{-\frac{\ell(I)}2}{\frac{\ell(I)}2} \subseteq A - A$।

हल — अभ्यास 9.9.

विटाली स्थानांतर $(V + q)_{q\in\Q}$ $\R$ का विभाजन करते हैं (प्रत्येक वास्तविक ठीक एक प्रतिनिधि के तुल्य है)। मान लीजिए सभी समुच्चय $B_q = A \cap (V + q)$ मापनीय होते। $V + q$ के कोई भी दो अवयव किसी अपरिमेय से या शून्य से भिन्न होते हैं (दो भिन्न प्रतिनिधि अतुल्य हैं), अतः $B_q - B_q$ $\Q$ से केवल $\{0\}$ में मिलता है: इसलिए उसमें कोई अंतराल नहीं है, और श्टाइनहाउस (अभ्यास 9.8) से $\lambda(B_q) = 0$ अनिवार्य हो जाता है। तब $\lambda(A) \leq \sum_{q}\lambda(B_q) = 0$, जो $\lambda(A) > 0$ का खंडन करता है। अतः कोई $B_q \subseteq A$ अमापनीय है।

हल — अभ्यास 9.10.

मापनीय $\Rightarrow$ $\varepsilon$-आसन्नन: बाह्य नियमितता (प्रमेय 9.13) से $\lambda(U) \leq \lambda(A) + \varepsilon$ वाला विवृत $U \supseteq A$ चुनिए; मापनीयता घटाव $\lambda(U\setminus A) = \lambda(U) - \lambda(A) \leq \varepsilon$ की अनुमति देती है। $\varepsilon$-रूप $\Rightarrow$ $G_\delta$-रूप: $\lambda^*(U_n\setminus A) < \frac1n$ वाला $U_n$ लीजिए और $G = \bigcap U_n$: अर्थात् $\lambda^*(G\setminus A) \leq \lambda^*(U_n\setminus A) \to 0$ वाला कोई $G_\delta$। $G_\delta$-रूप $\Rightarrow$ मापनीय: $G\setminus A$ $\lambda^*$-अकिंचन है, अतः पूर्णता (प्रमेय 9.9) से मापनीय है, और $A = G \setminus (G\setminus A)$ मापनीय है ($G$ बोरेल है)। अतः लेबेग समुच्चय ठीक “अकिंचन के मापांक में बोरेल” ही हैं।

हल — अभ्यास 9.11.

(क) $\liminf A_n = \bigcup_N\bigcap_{n\geq N}A_n$ समुच्चयों $B_N = \bigcap_{n\geq N}A_n$ का वर्धमान संघ है, अतः $\mu(\liminf A_n) = \lim_N\mu(B_N)$ (नीचे से सांतत्य); और $\mu(B_N) \leq \inf_{n \geq N}\mu(A_n)$, जिसकी सीमा $\liminf\mu(A_n)$ है। $\limsup$ के लिए: वही तर्क परिमित-माप परिवेश $U = \bigcup A_n$ के भीतर पूरकों पर लगाइए — ह्रासमान $C_N = \bigcup_{n\geq N}A_n$ पर ऊपर से सांतत्य को $\mu(C_1) \leq \mu(U) < \infty$ चाहिए, और वह $\mu(\limsup A_n) = \lim\mu(C_N) \geq \limsup\mu(A_n)$ दे देती है।

(ख) चलता हुआ अंतराल $A_n = \intcc n{n+1}$: प्रत्येक बिंदु $A_n$ में से अधिक से अधिक दो में होता है और अंततः किसी में नहीं, अतः $\limsup A_n = \varnothing$; फिर भी $\mu(A_n) = 1$। इस प्रकार $\limsup\mu(A_n) = 1 > 0 = \mu(\limsup A_n)$: परिमित-माप आवरण के बिना (क) की दूसरी असमिका विफल हो जाती है — द्रव्यमान अनंत की ओर पलायन कर जाता है, जहाँ कोई स्थिर समुच्चय उसे नहीं पकड़ सकता।