अनुक्रम की सीमा क्या है? — गणित

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परिभाषा 11.1 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · অধ্যায় 11 — अनुक्रम

वास्तविक संख्याओं का अनुक्रम $(u_n)$ $\ell \in \R$ की ओर अभिसरित तब होता है जब

\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \N,\ \forall n \geq N, \qquad \abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon .

लिखा जाता है $u_n \to \ell$ या $\lim u_n = \ell$ । जो अनुक्रम (किसी भी वास्तविक संख्या की ओर) अभिसरित नहीं होता वह अपसरित होता है। $+\infty$ की ओर अपसरण: $\forall M,\ \exists N,\ \forall n \geq N,\ u_n \geq M$ (इसी प्रकार $-\infty$ )।

উদাহরণ

उदाहरण 11.2 (एक $\varepsilon$ – $N$ उपपत्ति, एक बार पूरी लिखी हुई)

दावा: $u_n = \dfrac{n^2 + 1}{2n^2 - 3} \to \dfrac12$ । पहले त्रुटि अलग कीजिए:

\Bigl| u_n - \frac12 \Bigr| = \Bigl| \frac{2(n^2 + 1) - (2n^2 - 3)}{2(2n^2 - 3)} \Bigr| = \frac{5}{2\,\abs{2n^2 - 3}} = \frac{5}{2\,(2n^2 - 3)} \quad (n \geq 2).

फिर उसे किसी सरल राशि से दबाइए: $n \geq 2$ के लिए $2n^2 - 3 \geq n^2$ , अतः त्रुटि $\leq \frac{5}{2n^2} \leq \frac 5{2n}$ है। $\varepsilon > 0$ दिया हो, तो आर्किमिडीज़ गुणधर्म $N \geq \max\bigl(2, \frac{5}{2\varepsilon}\bigr)$ देता है; $n \geq N$ के लिए त्रुटि $\leq \varepsilon$ है। काम पूरा। समापन का सार: $\varepsilon$ – $N$ उपपत्ति में ठीक तीन चालें होती हैं — त्रुटि संगणित कीजिए, उसे किसी ह्रासमान प्रारंभिक व्यंजक से परिबद्ध कीजिए, और देहली के लिए हल कीजिए — और इस अध्याय की प्रमेयों (संक्रियाएँ, दबाव) के बाद ऐसी उपपत्ति लगभग कभी फिर नहीं लिखनी पड़ती: प्रमेय उन तीनों चालों को एक बार और सदा के लिए बाँध देती हैं।

उदाहरण 11.3 (अनंत की ओर अपसरण, प्रमाणित)

दावा: $u_n = n^2 - 100n \to +\infty$ । प्रभावी पद का गुणनखंडन कीजिए: $n \geq 200$ के लिए $u_n = n^2\bigl(1 - \frac{100}{n}\bigr) \geq \frac{n^2}{2}$ । $M$ दिया हो, तो $N = \max\bigl(200, \lceil\sqrt{2M}\rceil\bigr)$ लीजिए: $n \geq N$ के लिए $u_n \geq \frac{n^2}{2} \geq M$ । दो आदतें यहाँ दिखाई देती हैं: प्रभावी-पद गुणनखंडन एक प्रतियोगिता ( $n^2$ बनाम $-100n$ ) को एक ही पैमाने और $1$ की ओर जाते किसी गुणक में बदल देता है; और देहली बहुत बड़ी हो सकती है ( $u_{100} = 0$ , और अनुक्रम $n = 100$ से पहले तो ऋणात्मक तक है) — $+\infty$ की ओर अपसरण पूँछ के विषय में कथन है, और किसी भी परिमित मात्रा की बदमाशी से उदासीन।

उदाहरण 11.6 (संक्रियाएँ और एक बीजीय युक्ति)

$\lim\,\bigl(\sqrt{n^2 + n} - n\bigr)$ संगणित कीजिए। दोनों टुकड़े अलग-अलग $+\infty$ की ओर जाते हैं: संक्रिया-प्रमेय उनके अंतर के विषय में कुछ नहीं कहती (एक अनिश्चित रूप)। संयुग्मी से गुणा कीजिए:

\sqrt{n^2 + n} - n = \frac{(n^2 + n) - n^2}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \frac{n}{\sqrt{n^2+n} + n} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac1n} + 1} .

अब सब कुछ अभिसरित होता है: $\sqrt{1 + \frac1n} \to 1$ , क्योंकि $0 \leq \sqrt{1 + h} - 1 = \frac{h}{\sqrt{1+h} + 1} \leq h$ (फिर संयुग्मी, फिर $h = \frac1n$ के साथ दबाव); और तब संक्रिया-प्रमेय सीमा $\frac{1}{1 + 1} = \frac12$ दे देती है। समापन का सार: संक्रिया-प्रमेय सभी सीमाओं का कैलकुलेटर नहीं है — अनिश्चित रूपों ( $\infty - \infty$ , $\frac00$ , $0 \times \infty$ , $1^\infty$ ) को पहले बीजगणित (संयुग्मी, प्रभावी पद का गुणनखंडन) से रूपांतरित करना पड़ता है जब तक हर टुकड़ा अभिसरित न हो जाए; और ज़िद्दी स्थितियों की व्यवस्थित मशीन अध्याय 16 का अनंतस्पर्शी प्रसार है।

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