घटनाओं का ऊपरी सीमांत কী?

उदाहरण 21.24 (“अपरिमित बार” तथा “अंततः” का अनुवाद)

दे मोर्गन से $\limsup_nA_n$ का पूरक

है, अर्थात् घटना “अंततः $A_n$ विफल हो जाती है” (जिसे $\liminf_nA_n^c$ लिखा जाता है)। अतः “$A_n$ अपरिमित बार” और “$A_n^c$ अंततः” परस्पर पूरक हैं — इस शब्दकोश को सीधा रखने से अधिकांश परिमाणक-दुर्घटनाएँ टल जाती हैं। सिक्का उछालने के नमूना अनुवाद: “अपरिमित रूप से कई चित्त” $\limsup\{X_n = H\}$ है; “$100$ चित्तों की केवल परिमित रूप से कई कतारें” किसी ऊपरी सीमांत का पूरक है; “चालू बारंबारता $\frac12$ तक अभिसरण करती है” $\bigcap_j\bigcup_N\bigcap_{n\geq N}\{\abs{\widehat p_n - \tfrac12} < \tfrac1j\}$ है — सर्वत्र गणनीय संक्रियाएँ, अतः ये सब ईमानदार घटनाएँ हैं।

उदाहरण 21.26 (चित्तों की अपरिमित कतारें)

कोई निष्पक्ष सिक्का सदा उछालते रहिए, और नियत $k$ के लिए मान लीजिए $A_n$ वह घटना है कि “उछाल $n, n+1, \dots, n + k - 1$ सब चित्त हैं” (समय $n$ से शुरू होने वाली $k$ चित्तों की कतार)। घटनाएँ $A_{jk}$ ($j = 1, 2, \dots$), जो असंयुक्त उछाल-खंडों पर निर्भर हैं, स्वतंत्र हैं, हर एक की प्रायिकता $2^{-k}$ है, और $\sum_j 2^{-k} = \infty$: अतः बोरेल–कांतेली 2 से प्रायिकता $1$ के साथ अपरिमित रूप से कई खंड पूरे चित्त हैं — अर्थात् हर नियत प्रतिरूप लगभग निश्चित रूप से अपरिमित बार लौटता है। विलोमतः, यदि हम कतार की लंबाई बढ़ने दें, तो $B_n = {}$ “$n$ पर $2\log_2 n$ चित्तों की कतार शुरू होती है” के लिए $\P(B_n) = n^{-2}$ योग्य है, अतः लगभग निश्चित रूप से ऐसी लंबी कतारें केवल परिमित रूप से कई शुरू होती हैं: बोरेल–कांतेली ठीक-ठीक अंशांकित कर देती है कि सबसे लंबी कतारें कितनी लंबी हैं।