什么是 रैखिक संयोजन, जनित समष्टि？

उदाहरण 18.18 (संभावित आधार की जाँच, आदि से अंत तक)

क्या $\mathcal{F} = (1 + X,\ 1 + X^2,\ X + X^2)$ $\R_2[X]$ का आधार है? तीनों बहुपदों को $u_1, u_2, u_3$ लिखिए। स्वतंत्रता: शून्य संयोजन $a\,u_1 + b\,u_2 + c\,u_3 = 0$ से गुणांक-दर-गुणांक मिलता है

पहले दो को घटाने पर $b = c$, फिर तीसरे से $2b = 0$ मिलता है: $a = b = c = 0$, अतः स्वतंत्र। जनक होना: तीन निकाय हल करने के बदले सममित संयोजन पर ध्यान दीजिए

अतः $1 = \frac12(u_1 + u_2 - u_3)$; फिर

एकपदी जनित समष्टि में हैं, अतः सब कुछ उसमें है: $\mathcal{F}$ एक आधार है। बोनस के रूप में, तीनों प्रदर्शित पंक्तियों को जोड़ देने पर किसी भी $P = \alpha + \beta X + \gamma X^2$ के निर्देशांक मिल जाते हैं:

($P = X$ के साथ जाँच: निर्देशांक $\bigl(\frac12, -\frac12, \frac12\bigr)$, जैसा ऊपर मिला था।) दो सीखें: कुल में छिपी सममिति प्रायः कोई छोटा रास्ता देने वाला संयोजन छिपाए रहती है; और विमा उपलब्ध होते ही (अध्याय 19) इस काम का पूरा जनक-वाला आधा हिस्सा मुफ़्त में मिल जाएगा — $3$-विमीय समष्टि के तीन स्वतंत्र सदिश सदा आधार बनाते हैं।

उदाहरण 18.22 (एक छिपा संबंध जनित समष्टि को सिकोड़ देता है)

$\mathcal{F}(\R, \R)$ में $\operatorname{Vect}(1,\ \cos^2,\ \sin^2)$ क्या है? सर्वसमिका $\cos^2 + \sin^2 = 1$ एक अतुच्छ शून्य संयोजन है

अतः कुल परतंत्र है, और जनित समष्टि पहले से ही अकेले $(1, \cos^2)$ से जनित है ($\sin^2 = 1 - \cos^2$)। वह छोटा कुल स्वतंत्र है: सभी $x$ के लिए $a + b\cos^2 x = 0$ से $x = 0$ और $x = \frac\pi2$ पर मिलता है: $a + b = 0$ और $a = 0$। अतः जनित समष्टि फलन समष्टि के भीतर एक समतल है — और उसमें $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ भी है: त्रिकोणमितीय फलनों के जो कुल देखने में स्वतंत्र लगते हैं, वे सर्वसमिकाओं के नीचे आए दिन ढह जाते हैं, और यही कारण है कि स्वतंत्रता सिद्ध करनी पड़ती है, सूची की लंबाई देखकर मान कभी नहीं लेनी चाहिए।