विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · Bachelor Year 3

8बानाख समष्टियाँ और मूल प्रमेय

कार्यकीय विश्लेषण अनंत-विमीय मानकित समष्टियों का अध्ययन उन पर रहने वाले संकारकों और फलनिकों के माध्यम से करता है। उसकी संस्थापक खोज यह है कि पूर्णता, बेयर की प्रमेय के द्वारा, प्रबल एकरूपता पर विवश कर देती है: संकारकों के बिंदुशः परिबद्ध कुल मानक में परिबद्ध होते हैं (बानाख–श्टाइनहाउस), संतत एकैकी आच्छादक प्रतिचित्रणों के प्रतिलोम संतत होते हैं (विवृत प्रतिचित्रण), और आलेख सांतत्य पकड़ लेते हैं (संवृत आलेख)। दूसरा स्तंभ, हान–बानाख, पूर्णता की माँग बिलकुल नहीं करता — केवल ज़ोर्न की प्रमेयिका की — और यह सुनिश्चित करता है कि द्वैत समष्टियाँ इतनी समृद्ध हों कि प्रत्येक सदिश को देख सकें। यह अध्याय चारों प्रमेय सिद्ध करता है और उन्हें शास्त्रीय अनुक्रम समष्टियों $\ell^p$ पर, मूर्त द्वैत परिकलनों पर, और एक सचमुच चौंकाने वाले अनुप्रयोग पर परखता है: ऐसे संतत $2\pi$ -आवर्ती फलन विद्यमान हैं जिनकी फूरिये श्रेणी किसी बिंदु पर अपसरित हो जाती है — जिससे दूसरे वर्ष का छूटा हुआ प्रश्न नकारात्मक रूप में हल हो जाता है।

सर्वत्र $E, F$ $K = \R$ या $\C$ पर मानकित समष्टियाँ हैं; बानाख समष्टि से अभिप्राय है पूर्ण मानकित समष्टि।

8.1 परिबद्ध संकारक; अनुक्रम समष्टियाँ

परिभाषा 8.1

$\mathcal L(E, F)$ परिबद्ध (= संतत, दूसरा वर्ष) रैखिक प्रतिचित्रणों की समष्टि को निरूपित करता है, जिस पर संकारक मानक $\vertiii T = \sup_{\norm x \leq 1}\norm{Tx}$ है; वह उपगुणात्मक है: $\vertiii{ST} \leq \vertiii S\,\vertiii T$ । द्वैत समष्टि $E' = \mathcal L(E, K)$ है।

प्रतिज्ञप्ति 8.2

यदि $F$ एक बानाख समष्टि हो, तो $\mathcal L(E, F)$ भी बानाख समष्टि है; विशेष रूप से $E'$ सदैव बानाख समष्टि है।

उपपत्ति. मान लीजिए $(T_n)$ $\vertiii\cdot$ के लिए कोशी है। प्रत्येक $x$ के लिए $\norm{T_nx - T_mx} \leq \vertiii{T_n - T_m}\norm x$ : अतः $(T_nx)$ $F$ में कोशी है और अभिसरित होता है; उसकी सीमा को $Tx$ कहिए। $T$ रैखिक है (रैखिक सर्वसमिकाओं की सीमाएँ); और $\norm{T_nx - T_mx} \leq \varepsilon\norm x$ ( $n, m \geq N$ ) में सीमा लेने पर $\norm{T_nx - Tx} \leq \varepsilon\norm x$ मिलता है: अतः संकारक मानक में $T_n \to T$ , और $\vertiii T \leq \vertiii{T_N} + \varepsilon < \infty$ । ∎

परिभाषा 8.3

शास्त्रीय अनुक्रम समष्टियाँ ( $K$ पर, $\N$ से सूचकित):

\ell^p = \Bigl\{x = (x_n) : \norm x_p = \Bigl(\sum_n \abs{x_n}^p\Bigr)^{1/p} < \infty\Bigr\}\quad (1 \leq p < \infty),

\ell^\infty = \{x : \norm x_\infty = \sup\abs{x_n} < \infty\},

और $\norm\cdot_\infty$ के साथ $c_0 = \{x : x_n \to 0\}$ । $\norm\cdot_p$ का मानक होना मिन्कोव्स्की असमिका से निकलता है, जो विविक्त स्थिति में ठीक वैसे ही सिद्ध होती है जैसे अध्याय 12 में (अथवा दूसरे वर्ष की परिमित-विमीय असमिका का योग लेकर)। ये सभी बानाख समष्टियाँ हैं, और $c_0$ $\ell^\infty$ की एक संवृत उपसमष्टि है (अभ्यास 8.3)।

समतल में p-मानकों के इकाई गोले, जो p के 1 (समचतुर्भुज) से 2 (चक्र) और 4 (अतिदीर्घवृत्त) होते हुए ∈fty (वर्ग) तक बढ़ने के साथ एक-दूसरे में समाते जाते हैं। प्रत्येक गोले की उत्तलता ही मिन्कोव्स्की असमिका है; और p = 1 तथा p = ∈fty पर के कोने वे स्थान हैं जहाँ कड़ी उत्तलता, श्रेष्ठतम आसन्ननों की अद्वितीयता, और की समता स्थितियाँ — सब एक साथ अपकर्षित हो जाती हैं। — समतल में $p$ -मानकों के इकाई गोले, जो $p$ के $1$ (समचतुर्भुज) से $2$ (चक्र) और $4$ (अतिदीर्घवृत्त) होते हुए $\infty$ (वर्ग) तक बढ़ने के साथ एक-दूसरे में समाते जाते हैं। प्रत्येक गोले की उत्तलता ही मिन्कोव्स्की असमिका है; और $p = 1$ तथा $p = \infty$ पर के कोने वे स्थान हैं जहाँ कड़ी उत्तलता, श्रेष्ठतम आसन्ननों की अद्वितीयता, और अभ्यास 12.12 की समता स्थितियाँ — सब एक साथ अपकर्षित हो जाती हैं।

प्रतिज्ञप्ति 8.4 (न्यूमन श्रेणी)

मान लीजिए $E$ बानाख है और $\vertiii T < 1$ के साथ $T \in \mathcal L(E) = \mathcal L(E,E)$ । तब $I - T$ $\mathcal L(E)$ में व्युत्क्रमणीय है और $(I - T)^{-1} = \sum_{n\geq0}T^n$ (संकारक मानक में अभिसारी)। फलस्वरूप व्युत्क्रमणीय संकारकों का समुच्चय विवृत है, और उस पर प्रतिलोमन संतत है।

उपपत्ति. श्रेणी बानाख $\mathcal L(E)$ में निरपेक्षतः अभिसरित होती है ( $\vertiii{T^n} \leq \vertiii T^n$ , गुणोत्तर) (प्रतिज्ञप्ति 8.2; अभ्यास 7.1(ख))। दूरबीनी योग से $(I - T)\sum_{n \leq N}T^n = I - T^{N+1} \to I$ , और इसी प्रकार दूसरी ओर भी। विवृतता के लिए: यदि $S$ व्युत्क्रमणीय हो और $\vertiii{H} < 1/\vertiii{S^{-1}}$ , तो $\vertiii{S^{-1}H} < 1$ के साथ $S + H = S(I + S^{-1}H)$ : अतः व्युत्क्रमणीय। प्रतिलोमन का सांतत्य: श्रेणी वाला व्यंजक स्थानीय रूप से $\vertiii{(S+H)^{-1} - S^{-1}} = O(\vertiii H)$ दे देता है। ∎

उदाहरण 8.5 (न्यूमन से हल किया गया एक वोल्तेरा समीकरण)

$E = \mathcal C(\intcc01)$ पर समाकल समीकरण

u(x) = 1 + \lambda\int_0^xu(t)\,\dd t, \qquad\text{अर्थात्}\qquad u = \mathbf 1 + \lambda Tu, \quad (Tu)(x) = \int_0^xu .

पर विचार कीजिए। यहाँ $\vertiii T \leq 1$ , अतः $\abs\lambda < 1$ के लिए न्यूमन श्रेणी सीधे लागू होती है: $u = (I - \lambda T)^{-1}\mathbf 1 = \sum_n\lambda^nT^n\mathbf 1$ । परिकलन करने पर $T^n\mathbf 1 = \frac{x^n}{n!}$ , अतः

u(x) = \sum_{n\geq0}\frac{(\lambda x)^n}{n!} = \eu^{\lambda x} ,

जैसा अवकलन से पुष्ट हो जाता है। इससे भी अच्छी बात: $\vertiii{T^n} \leq \frac1{n!}$ (पुनरावृत्त नाभिक क्रमगुणित की दर से सिकुड़ता है), अतः $\sum\lambda^nT^n$ प्रत्येक $\lambda$ के लिए अभिसरित होती है — संकारक $I - \lambda T$ समस्त $\lambda \in \C$ के लिए व्युत्क्रमणीय है, यद्यपि अंततः $\vertiii{\lambda T} \geq 1$ : महत्त्व घातों के स्पेक्ट्रमी क्षय का है, पहले मानक का नहीं। वोल्तेरा संकारकों में यह क्रमगुणित क्षय अंतर्निहित होता है (अभ्यास 7.4(क) ने ठीक इसी का उपयोग किया था), और इसीलिए आरंभिक मान समस्याएँ सीमांत मान समस्याओं की अनुनाद परिघटनाओं से कभी ग्रस्त नहीं होतीं (अध्याय 15)।

8.2 हान–बानाख

प्रमेय 8.6 (हान–बानाख, वैश्लेषिक रूप)

मान लीजिए $E$ एक वास्तविक सदिश समष्टि है, $p \colon E \to \R$ उपरैखिक है ( $p(x + y) \leq p(x) + p(y)$ और $t \geq 0$ के लिए $p(tx) = tp(x)$ ), $F \subseteq E$ एक उपसमष्टि है और $f \colon F \to \R$ ऐसा रैखिक फलनिक जिसके लिए $F$ पर $f \leq p$ । तब $f$ किसी ऐसे रैखिक $\tilde f \colon E \to \R$ तक विस्तारित हो जाता है जिसके लिए $E$ पर $\tilde f \leq p$ ।

उपपत्ति. एक-चरण विस्तार। मान लीजिए $x_0 \notin F$ ; हम $\alpha = \tilde f(x_0)$ को ठीक से चुनकर $f$ को $F \oplus \R x_0$ तक विस्तारित करते हैं: हमें सभी $y \in F$ , $t > 0$ के लिए चाहिए

f(y) + t\alpha \leq p(y + tx_0) \quad\text{तथा}\quad f(y) - t\alpha \leq p(y - tx_0),

जो $t$ से भाग देने पर (उपरैखिकता) घटकर

\sup_{v \in F}\ \bigl[f(v) - p(v - x_0)\bigr] \;\leq\; \alpha \;\leq\; \inf_{u \in F}\ \bigl[p(u + x_0) - f(u)\bigr].

हो जाता है। ऐसा $\alpha$ विद्यमान है तभी और केवल तभी जब प्रत्येक बायाँ पद प्रत्येक दाएँ पद से $\leq$ हो: और वस्तुतः $f(v) + f(u) = f(u + v) \leq p(u + v) \leq p(u + x_0) + p(v - x_0)$ , अर्थात् $f(v) - p(v - x_0) \leq p(u + x_0) - f(u)$ ।

ज़ोर्न। $p$ से प्रभावित $f$ के विस्तारों (युग्म: उपसमष्टि, फलनिक) को विस्तार से क्रमित कीजिए; किसी शृंखला का ऊपरी परिबंध उसका सम्मिलन है; और कोई महत्तम अवयव पूरे $E$ पर परिभाषित होना ही चाहिए, अन्यथा एक-चरण विस्तार महत्तमता का खंडन कर देता है। ∎

उपप्रमेय 8.7

मान लीजिए $E$ एक मानकित समष्टि है ( $K = \R$ या $\C$ )।

प्रत्येक $f \in F'$ (जहाँ $F$ एक उपसमष्टि है) $\norm{\tilde f}_{E'} = \norm f_{F'}$ वाले किसी $\tilde f \in E'$ तक विस्तारित हो जाता है।
प्रत्येक $x \neq 0$ के लिए $\norm f = 1$ और $f(x) = \norm x$ वाला कोई $f \in E'$ है। विशेष रूप से $E'$ $E$ के बिंदुओं को पृथक करता है, और $\norm x = \sup_{\norm f \leq 1}\abs{f(x)}$ ।
किसी संवृत उपसमष्टि $F$ और $x \notin F$ के लिए ऐसा $f \in E'$ है जो $F$ पर लुप्त हो जाता है और जिसके लिए $f(x) = d(x, F)$ तथा $\norm f \leq 1$ ।

उपपत्ति. (1) वास्तविक स्थिति: $p(x) = \norm f_{F'}\,\norm x$ (जो उपरैखिक है) के साथ प्रमेय 8.6 लगाइए; विस्तार $\pm\tilde f(x) = \tilde f(\pm x) \leq p(x)$ को संतुष्ट करता है, अतः $\norm{\tilde f} \leq \norm f$ , और $\geq$ प्रतिबंध है। सम्मिश्र स्थिति: मान लीजिए $u = \operatorname{Re}f$ , जो $\abs u \leq \norm f\norm\cdot$ वाला वास्तविक फलनिक है; ध्यान दीजिए कि $f(x) = u(x) - \iu\,u(\iu x)$ (वास्तविक और काल्पनिक भागों पर जाँचिए: $\operatorname{Im}f(x) = -\operatorname{Re}f(\iu x)$ )। $u$ को उसी परिबंध के साथ वास्तविक-रैखिक ढंग से विस्तारित कीजिए और $\tilde f(x) = \tilde u(x) - \iu\tilde u(\iu x)$ रखिए: यह $\C$ -रैखिक है ( $\iu$ से गुणन पर सीधी जाँच) और $f$ का विस्तार है; मानक के लिए: दिए हुए $x$ के लिए $\tilde f(x) = r\eu^{\iu\theta}$ लिखिए, तब $\abs{\tilde f(x)} = \tilde f(\eu^{-\iu\theta}x) = \tilde u(\eu^{-\iu\theta}x) \leq \norm f\,\norm x$ ।

(2) $F = Kx$ पर $f(tx) = t\norm x$ परिभाषित कीजिए: $F$ पर मानक $1$ ; अब (1) से विस्तारित कीजिए। द्वैत सूत्र: $\leq$ स्पष्ट है, और इस $f$ से $\geq$ ।

(3) $F \oplus Kx$ पर $f(y + tx) = t\,d(x, F)$ परिभाषित कीजिए; तब $t \neq 0$ के लिए $\norm{y + tx} = \abs t\,\norm{x + y/t} \geq \abs t\,d(x, F) = \abs{f(y + tx)}$ : अतः उपसमष्टि पर $\norm f \leq 1$ ; अब (1) से विस्तारित कीजिए। ∎

टिप्पणी 8.8

(2) से विहित प्रतिचित्रण $J \colon E \to E''$ , $J(x)(f) = f(x)$ , एक समदूरीयता है (अभ्यास 8.10): अर्थात् प्रत्येक मानकित समष्टि अपने द्विद्वैत के भीतर बैठती है। जिन समष्टियों के लिए $J$ आच्छादक है वे स्वद्वैती कहलाती हैं; सप्ताहांत समस्या दिखाती है कि $\ell^p$ ( $1 < p < \infty$ ) स्वद्वैती है जबकि $\ell^1$ नहीं।

8.3 बेयर त्रयी

प्रमेय 8.9 (बानाख–श्टाइनहाउस, एकसमान परिबद्धता)

मान लीजिए $E$ एक बानाख समष्टि है, $F$ मानकित, और $(T_i)_{i\in I} \subseteq \mathcal L(E, F)$ ऐसा कुल कि प्रत्येक $x \in E$ के लिए $\sup_i \norm{T_ix} < \infty$ । तब $\sup_i \vertiii{T_i} < \infty$ ।

उपपत्ति. समुच्चय $F_n = \{x : \sup_i\norm{T_ix} \leq n\}$ संवृत हैं (संवृत गोलों के पूर्वप्रतिबिंबों के प्रतिच्छेदन) और $E$ को आच्छादित करते हैं। बेयर (प्रमेय 7.6) $n_0$ और कोई गोला $B(x_0, r) \subseteq F_{n_0}$ दे देती है। $\norm z < r$ के लिए: $\norm{T_iz} \leq \norm{T_i(x_0 + z)} + \norm{T_ix_0} \leq 2n_0$ , अतः प्रत्येक $i$ के लिए $\vertiii{T_i} \leq 2n_0/r$ । ∎

उपप्रमेय 8.10

यदि $E$ बानाख हो और $T_n \in \mathcal L(E,F)$ बिंदुशः अभिसरित हों (प्रत्येक $x$ के लिए $T_nx \to Tx$ ), तो $\sup_n \vertiii{T_n} < \infty$ , $T \in \mathcal L(E, F)$ , और $\vertiii T \leq \liminf \vertiii{T_n}$ ।

उपपत्ति. अभिसारी अनुक्रम परिबद्ध होते हैं: अतः बिंदुशः परिबद्धता; बानाख–श्टाइनहाउस मानकों को किसी $M$ से परिबद्ध कर देती है; तब $\norm{Tx} = \lim\norm{T_nx} \leq M\norm x$ ( $T$ बिंदुशः सीमा के रूप में रैखिक है), और $\norm{T_nx} \leq \vertiii{T_n}\norm x$ में $\liminf$ तक जाने से तीक्ष्णतर परिबंध मिल जाता है। ∎

प्रमेय 8.11 (अपसारी फूरिये श्रेणी)

ऐसे संतत $2\pi$ -आवर्ती फलन $f$ विद्यमान हैं जिनकी फूरिये श्रेणी $0$ पर अपसरित होती है: $\sup_N\abs{S_N(f)(0)} = \infty$ । वस्तुतः ऐसे $f$ $\mathcal C(S^1)$ का एक सघन उपसमुच्चय बनाते हैं।

उपपत्ति. बानाख समष्टि $E = (\mathcal C(S^1), \norm\cdot_\infty)$ में फलनिकों $\Lambda_N(f) = S_N(f)(0) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,D_N(t)\,\dd t$ (दिरिक्ले नाभिक, दूसरा वर्ष) के साथ कार्य कीजिए। प्रत्येक $\Lambda_N$ संतत है और

\norm{\Lambda_N} = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\abs{D_N(t)}\,\dd t \;=\; L_N .

( $\leq$ स्पष्ट है; $\geq$ के लिए: $\norm f_\infty \leq 1$ वाला संतत $f$ लीजिए जो $\operatorname{sign}D_N$ का आसन्नन करे — चिह्न में परिमित संख्या के उछाल हैं; प्रत्येक उछाल को लंबाई $\varepsilon$ के अंतराल पर चिकना करने से समाकल $O(N\varepsilon)$ जितना बदलता है।) लेबेग नियतांक $L_N$ अनंत की ओर जाते हैं:

L_N = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\abs{\sin\bigl((N{+}\tfrac12)t\bigr)}}{\abs{\sin(t/2)}} \,\dd t \geq \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \frac{\abs{\sin\bigl((N{+}\tfrac12)t\bigr)}}{t}\,\dd t = \frac{2}{\pi}\int_0^{(N+\frac12)\pi}\frac{\abs{\sin u}}{u}\,\dd u

( $[0, \pi]$ पर $\abs{\sin(t/2)} \leq t/2$ का उपयोग करके, फिर $u = (N + \tfrac12)t$ प्रतिस्थापित करके)। मेहराबों में काटने पर:

\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\abs{\sin u}}u\,\dd u \geq \frac1{k\pi}\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\abs{\sin u}\,\dd u = \frac{2}{k\pi}, \qquad\text{अतः}\qquad L_N \geq \frac{4}{\pi^2}\sum_{k=1}^N\frac1k \xrightarrow[N\to\infty]{} \infty .

यदि प्रत्येक संतत $f$ के लिए $\sup_N \abs{\Lambda_N(f)} < \infty$ होता, तो बानाख–श्टाइनहाउस $\sup_N\norm{\Lambda_N} < \infty$ पर विवश कर देती: विरोधाभास। अतः कोई $f$ — वस्तुतः $f$ का एक अक्षीण, सघन समुच्चय ( $\bigcup_M\{f: \sup_N\abs{\Lambda_Nf}\leq M\}$ का पूरक, जो संवृत समुच्चयों का गणनीय सम्मिलन है और जिसका, उपर्युक्त तर्क किसी भी गोले में लगाने से, कोई अंतःभाग न होने के कारण वह क्षीण है) — $\sup_N\abs{S_Nf(0)} = \infty$ रखता है। ∎

प्रमेय 8.12 (विवृत प्रतिचित्रण)

मान लीजिए $E, F$ बानाख समष्टियाँ हैं और $T \in \mathcal L(E, F)$ आच्छादक है। तब $T$ विवृत है: किसी $c > 0$ के लिए $T(B_E(0,1)) \supseteq B_F(0, c)$ । फलस्वरूप बानाख समष्टियों के बीच किसी एकैकी आच्छादक परिबद्ध संकारक का प्रतिलोम परिबद्ध होता है।

उपपत्ति. $B = B_E(0,1)$ लिखिए। आच्छादकता से $F = \bigcup_n \overline{T(nB)} = \bigcup_n n\,\overline{T(B)}$ ; और बेयर (प्रमेय 7.6) $\overline{T(B)}$ को अंतःभाग दे देती है: किसी $B_F(y_0, 4c) \subseteq \overline{T(B)}$ के लिए। $0$ पर पुनःकेंद्रित कीजिए: $\norm y < 4c$ के लिए $y_0 + y$ और $y_0$ दोनों $u_k, v_k \in B$ वाले प्रतिबिंबों $Tu_k$ , $Tv_k$ की सीमाएँ हैं, अतः $u_k - v_k \in 2B$ वाला $y = \lim T(u_k - v_k)$ : अर्थात् $B_F(0, 4c) \subseteq \overline{T(2B)}$ , यानी $B_F(0, 2c) \subseteq \overline{T(B)}$ ।

संवृति हटाना (यहीं $E$ की पूर्णता प्रवेश करती है): मान लीजिए $\norm y < c$ । $\norm{y - Tx_1} < c/2$ वाला $x_1 \in \frac12 B$ चुनिए ( $\frac12$ से मापित $B_F(0,2c) \subseteq \overline{T(B)}$ ); आगमन से $\norm{y - T(x_1 + \dots + x_k)} < c\,2^{-k}$ वाला $x_k \in 2^{-k}B$ । श्रेणी $\sum x_k$ बानाख $E$ में निरपेक्षतः अभिसरित होकर $x \in B$ (मानक $< \sum 2^{-k} = 1$ ) पर जाती है, और सांतत्य से $Tx = y$ : अतः $B_F(0, c) \subseteq T(B)$ । मनमाने विवृत समुच्चयों पर $T$ की विवृतता स्थानांतरण और मापन से निकलती है; और उपप्रमेय के लिए, $T$ की विवृतता का अर्थ है कि $T^{-1}$ संतत है। ∎

उपप्रमेय 8.13 (तुल्य मानक)

यदि कोई सदिश समष्टि दो तुलनीय मानकों ( $\norm\cdot_a \leq C\norm\cdot_b$ ) के लिए पूर्ण हो, तो वे मानक तुल्य होते हैं।

उपपत्ति. तत्समक $(E, \norm\cdot_b) \to (E, \norm\cdot_a)$ बानाख समष्टियों के बीच परिबद्ध और एकैकी आच्छादक है: अतः उसका प्रतिलोम परिबद्ध है। ∎

प्रमेय 8.14 (संवृत आलेख)

मान लीजिए $E, F$ बानाख हैं और $T \colon E \to F$ रैखिक। यदि आलेख $\Gamma = \{(x, Tx)\}$ $E \times F$ में संवृत हो (अर्थात् $x_n \to x$ और $Tx_n \to y$ से $y = Tx$ निकलता हो), तो $T$ परिबद्ध है।

उपपत्ति. $\norm{(x,y)} = \norm x + \norm y$ के साथ $E \times F$ बानाख है; और संवृत उपसमष्टि $\Gamma$ भी बानाख है। प्रक्षेप $\pi_E\colon \Gamma \to E$ परिबद्ध और एकैकी आच्छादक है, अतः उसका प्रतिलोम $x \mapsto (x, Tx)$ परिबद्ध है (प्रमेय 8.12): इसलिए $\norm{Tx} \leq \norm{(x, Tx)} \leq C\norm x$ । ∎

विधि 8.15

कौन-सी प्रमेय कब उठानी है। हान–बानाख: निर्धारित व्यवहार वाला कोई फलनिक बनाने के लिए (किसी सदिश का मानक निकालना, किसी उपसमष्टि पर लुप्त होना, किसी उपसमष्टि से विस्तार करना) — यहाँ पूर्णता की आवश्यकता नहीं। बानाख–श्टाइनहाउस: बिंदुशः सूचना को एकसमान परिबंधों में बदलने के लिए — प्रायः यह दिखाने के लिए कि कोई सीमा संक्रिया संतत है, अथवा (प्रतिधनात्मक रूप में) किसी अवयव के लिए अपसरण सिद्ध करने के लिए, जैसा फूरिये श्रेणी के लिए। विवृत प्रतिचित्रण / संवृत आलेख: बीजगणितीय एकैकी आच्छादकता से अथवा आलेख के किसी संवृति गुण से मुफ्त में सांतत्य पाने के लिए — प्ररूपी उपयोग: दो पूर्ण मानकों की तुलना, या स्वतः सांतत्य सिद्ध करना। तीनों बेयर प्रमेयों को स्रोत की पूर्णता चाहिए; अन्यथा प्रतिउदाहरण हैं (अभ्यास 8.7)।

8.4 द्वैत समष्टियाँ, मूर्त रूप में

प्रमेय 8.16

समदूरिक रूप से: $(c_0)' \cong \ell^1$ और $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$ , युग्मन $\langle x, y\rangle = \sum_n x_ny_n$ के माध्यम से।

उपपत्ति. हम $(c_0)' \cong \ell^1$ सिद्ध करते हैं; दूसरी पहचान अभ्यास 8.5 है। $y \in \ell^1$ के साथ $\Lambda_y(x) = \sum x_ny_n$ ( $x \in c_0$ ) जोड़िए: यह निरपेक्षतः अभिसारी है और $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm x_\infty\norm y_1$ , अतः $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_1$ । विलोमतः मान लीजिए $\Lambda \in (c_0)'$ ; $y_n = \Lambda(e_n)$ रखिए ( $e_n$ इकाई अनुक्रम हैं)। किसी भी $N$ के लिए $x^{(N)} = \sum_{n \leq N} \operatorname{sign}(\overline{y_n})\,e_n \in c_0$ की परीक्षा लीजिए (मानक $\leq 1$ ; सम्मिश्र स्थिति में इकाई-मापांक गुणनखंड $\bar y_n/\abs {y_n}$ का उपयोग कीजिए): $\Lambda(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n} \leq \norm\Lambda$ । अतः $\norm y_1 \leq \norm\Lambda$ के साथ $y \in \ell^1$ । अंततः $\Lambda = \Lambda_y$ : दोनों $e_n$ पर सहमत हैं, अतः परिमित अनुक्रमों पर भी, जो $c_0$ में सघन हैं (छँटाई: $\norm{x - \sum_{n \leq N}x_ne_n}_\infty = \sup_{n > N}\abs{x_n} \to 0$ ठीक इसलिए कि $x_n \to 0$ ); और सघन समुच्चय पर सहमत संतत फलनिक बराबर होते हैं। यह संगति रैखिक, एकैकी आच्छादक और समदूरिक है (दोनों असमिकाओं से $\norm{\Lambda_y} = \norm y_1$ )। ∎

8.5 अभ्यास

अभ्यास 8.1 ★

संकारक मानक परिकलित कीजिए: (क) $\ell^2$ पर विस्थापन $S(x_1, x_2, \dots) = (0, x_1, x_2, \dots)$ और $S^*(x_1, x_2, \dots) = (x_2, x_3, \dots)$ ; (ख) $a \in \ell^\infty$ के लिए $\ell^2$ पर गुणन संकारक $M_a x = (a_nx_n)$ ; (ग) $\mathcal C(\intcc01)$ पर फलनिक $\Lambda(f) = \int_0^{1/2}f - \int_{1/2}^1f$ — दर्शाइए कि $\norm\Lambda = 1$ और यह कि मानक प्राप्त नहीं होता।

हल

हल — अभ्यास 8.1.

(क) $\norm{Sx}_2 = \norm x_2$ : $S$ कोई समदूरीयता है, $\vertiii S = 1$ । पश्च विस्थापन के लिए: $\norm{S^*x}_2^2 = \sum_{n \geq 2}\abs{x_n}^2 \leq \norm x_2^2$ , जिसमें $x = e_2$ के लिए बराबरी: $\vertiii{S^*} = 1$ ।

(ख) $\norm{M_ax}_2^2 = \sum\abs{a_n}^2\abs{x_n}^2 \leq \norm a_\infty^2\norm x_2^2$ ; $x = e_n$ पर परीक्षा लेने से प्रत्येक $n$ के लिए $\vertiii{M_a} \geq \abs{a_n}$ मिलता है: $\vertiii{M_a} = \norm a_\infty$ ।

(ग) $\abs{\Lambda(f)} \leq \int_0^1\abs f \leq \norm f_\infty$ : $\norm\Lambda \leq 1$ । $\varepsilon > 0$ के लिए मान लीजिए $f_\varepsilon$ $[0, \frac12 - \varepsilon]$ पर $1$ , $[\frac12 + \varepsilon, 1]$ पर $-1$ , और बीच में आफ़ीन है: $\norm{f_\varepsilon}_\infty = 1$ तथा $\Lambda(f_\varepsilon) \geq 1 - 2\varepsilon$ : अतः $\norm\Lambda = 1$ । प्राप्त नहीं होता: $\norm f_\infty \leq 1$ वाले $\Lambda(f) = 1$ से $\int_0^{1/2}f = \frac12$ और $\int_{1/2}^1 f = -\frac12$ अनिवार्य हो जाते हैं, अर्थात् (सांतत्य, $\abs f \leq 1$ ) $[0, \frac12]$ पर $f \equiv 1$ और $[\frac12, 1]$ पर $f \equiv -1$ : $\frac12$ पर विरोधाभास।

अभ्यास 8.2 ★

मान लीजिए $E$ बानाख है, $T \in \mathcal L(E)$ व्युत्क्रमणीय, और $\vertiii{S - T} < 1/\vertiii{T^{-1}}$ के साथ $S$ । दर्शाइए कि $S$ व्युत्क्रमणीय है और $\vertiii{S^{-1} - T^{-1}}$ का आकलन कीजिए। अनुप्रयोग: यदि कोई रैखिक निकाय $Tx = b$ व्युत्क्रमणीय $T$ के साथ हल्य हो, तो $T$ का पर्याप्त छोटा विक्षोभ उसे अद्वितीय रूप से हल्य बनाए रखता है, और हल के परिवर्तन पर एक मात्रात्मक परिबंध भी देता है।

हल

हल — अभ्यास 8.2.

$\vertiii{T^{-1}(T-S)} \leq \vertiii{T^{-1}}\,\vertiii{T - S} = \theta < 1$ के साथ $S = T\bigl(I - T^{-1}(T - S)\bigr)$ लिखिए: प्रतिज्ञप्ति 8.4 से $S$ $S^{-1} = \sum_{n\geq0}\bigl(T^{-1}(T - S)\bigr)^nT^{-1}$ के साथ व्युत्क्रमणीय है, जिससे

\vertiii{S^{-1} - T^{-1}} \leq \sum_{n\geq1}\theta^n\,\vertiii{T^{-1}} = \frac{\vertiii{T^{-1}}^2\,\vertiii{T - S}}{1 - \theta}.

रैखिक निकाय के लिए: $x_T = T^{-1}b$ और $x_S = S^{-1}b$ अधिक से अधिक उस परिबंध गुणा $\norm b$ भिन्न होते हैं — अर्थात् किसी व्युत्क्रमणीय निकाय के छोटे विक्षोभ अद्वितीय रूप से हल-योग्य बने रहते हैं, जिसमें हल की संकारक पर निर्भरता लिपशित्ज़ होती है।

अभ्यास 8.3 ★★

(क) सिद्ध कीजिए कि $\ell^1$ , $\ell^\infty$ और $c_0$ बानाख समष्टियाँ हैं, और यह कि $c_0$ $\ell^\infty$ में परिमित अनुक्रमों की समष्टि की संवृति है। (ख) दर्शाइए कि $1 \leq p \leq q \leq \infty$ के लिए $\norm\cdot_q \leq \norm\cdot_p$ के साथ $\ell^p \subseteq \ell^q$ , और यह कि अंतर्वेशन कड़ा है।

हल

हल — अभ्यास 8.3.

(क) $\ell^1$ : मान लीजिए $(x^{(k)})$ कोशी है। प्रत्येक निर्देशांक कोशी है ( $\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n} \leq \norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_1$ ): मान लीजिए $x_n = \lim_kx^{(k)}_n$ । $\varepsilon$ दिया हो, तो $k, l \geq K$ के लिए: प्रत्येक $N$ के लिए $\sum_{n \leq N}\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n} \leq \varepsilon$ ; $l \to \infty$ लीजिए, फिर $N \to \infty$ : $\norm{x^{(k)} - x}_1 \leq \varepsilon$ , और $x = x^{(k)} - (x^{(k)} - x) \in \ell^1$ । $\ell^\infty$ : $\norm\cdot_\infty$ के लिए कोशी होना एकसमान रूप से कोशी होना है: अतः वह किसी परिबद्ध अनुक्रम पर एकसमान रूप से अभिसरित होता है। $c_0$ $\ell^\infty$ में संवृत है: यदि $x^{(k)}_n \to_n 0$ के साथ एकसमान रूप से $x^{(k)} \to x$ हो, तो $\abs{x_n} \leq \norm{x - x^{(k)}}_\infty + \abs{x^{(k)}_n}$ से $\limsup_n\abs{x_n} \leq \varepsilon$ मिलता है: $x \in c_0$ ; और किसी बानाख समष्टि की संवृत उपसमष्टि बानाख होती है। परिमित अनुक्रम: उनका संवरण प्रत्येक $x \in c_0$ को धारण करता है (कर्तन अभिसरित होते हैं: $\sup_{n>N}\abs{x_n} \to 0$ ) और संवृत $c_0$ में अंतर्विष्ट है।

(ख) समघातता से मान लीजिए $\norm x_p = 1$ : तब सभी $n$ के लिए $\abs{x_n} \leq 1$ , अतः $\abs{x_n}^q \leq \abs{x_n}^p$ और $\norm x_q \leq 1 = \norm x_p$ ; $q = \infty$ के लिए सीधे $\abs{x_n} \leq \norm x_p$ । कड़ाई: $\frac1q < \alpha \leq \frac1p$ वाला $x_n = n^{-\alpha}$ $\ell^q \setminus \ell^p$ में है (रीमान श्रेणी)।

अभ्यास 8.4 ★★

मान लीजिए $F \subseteq E$ एक संवृत उपसमष्टि है और $x \notin F$ । उपप्रमेय 8.7 का उपयोग करते हुए द्वैत सूत्र

d(x, F) = \max\bigl\{\abs{f(x)} : f \in E',\ \norm f \leq 1,\ f\restriction_F = 0\bigr\}

सिद्ध कीजिए (ध्यान दीजिए: यह एक अधिकतम है)। इससे निष्कर्ष निकालिए कि $F = \bigcap\{\ker f : f \in E',\ f\restriction_F = 0\}$ : संवृत उपसमष्टियाँ ठीक फलनिकों की अष्टियों के प्रतिच्छेदन हैं।

हल

हल — अभ्यास 8.4.

( $\leq$ ) यदि $\norm f \leq 1$ और $f\restriction_F = 0$ हो: तो प्रत्येक $y \in F$ के लिए $\abs{f(x)} = \abs{f(x - y)} \leq \norm{x - y}$ ; निम्नतम लीजिए। ( $\geq$ , प्राप्त) उपप्रमेय 8.7(3) $f\restriction_F = 0$ , $\norm f \leq 1$ , $f(x) = d(x, F)$ वाला $f$ उत्पन्न करता है: अतः उच्चतम एक उच्चिष्ठ है। परिणाम: $F \subseteq \bigcap\{\ker f : f\restriction_F = 0\}$ तुच्छ रूप से, और कोई बिंदु $x \notin F$ ऊपर वाले फलनक से प्रतिच्छेद से अपवर्जित हो जाता है ( $f(x) = d(x,F) > 0$ , क्योंकि $F$ संवृत है)।

अभ्यास 8.5 ★★

प्रमेय 8.16 की योजना का अनुसरण करते हुए समदूरिक रूप से $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$ सिद्ध कीजिए (परिमित अनुक्रम $\ell^1$ में सघन हैं)। $(\ell^\infty)'$ के लिए तर्क कहाँ टूट जाता है?

हल

हल — अभ्यास 8.5.

$y \in \ell^\infty$ के लिए: $\abs{\Lambda_y(x)} = \abs{\sum x_ny_n} \leq \norm y_\infty\norm x_1$ , अतः $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_\infty$ ; $e_n$ पर परीक्षा लेने पर: $\abs{y_n} = \abs{\Lambda_y(e_n)} \leq \norm{\Lambda_y}$ : अर्थात् बराबरी। विलोमतः $\Lambda \in (\ell^1)'$ दिया हो, तो $y_n = \Lambda(e_n)$ रखिए: $\abs{y_n} \leq \norm\Lambda$ , अतः $y \in \ell^\infty$ ; $\Lambda$ और $\Lambda_y$ परिमित अनुक्रमों पर सहमत हैं, जो $\ell^1$ में सघन हैं ( $\norm{x - \sum_{n\leq N}x_ne_n}_1 = \sum_{n>N}\abs{x_n} \to 0$ ): अतः $\Lambda = \Lambda_y$ । प्रतिचित्रण $y \mapsto \Lambda_y$ रैखिक, समदूरीय और आच्छादक है। $(\ell^\infty)'$ के लिए वही आरंभ कोई अनुक्रम $y_n = \Lambda(e_n)$ उत्पन्न करता है, पर परिमित अनुक्रम $\ell^\infty$ में सघन नहीं हैं (अचर अनुक्रम $\mathbf 1$ उन सबसे दूरी $1$ पर है), अतः $\Lambda$ $y_n$ से निर्धारित नहीं होता — और वस्तुतः $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ (समस्या 8.1)।

अभ्यास 8.6 ★★

मान लीजिए $E, F, G$ मानकित हैं और $E$ बानाख, तथा $B \colon E \times F \to G$ द्विरैखिक है और प्रत्येक चर में अलग-अलग संतत। दर्शाइए कि $B$ (संयुक्त रूप से) संतत है: $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x\norm y$ । (कुल $(B(\cdot, y))_{\norm y \leq 1}$ पर बानाख–श्टाइनहाउस लगाइए।)

हल

हल — अभ्यास 8.6.

प्रत्येक स्थिर $x$ के लिए $y \mapsto B(x, y)$ संतत रैखिक है: $\sup_{\norm y \leq 1}\norm{B(x,y)} < \infty$ । अतः कुल $\{B(\cdot, y) : \norm y \leq 1\} \subseteq \mathcal L(E, G)$ (प्रत्येक सदस्य संतत, $x$ में सांतत्य से) बानाख समष्टि $E$ पर बिंदुशः परिबद्ध है: बानाख–श्टाइनहाउस (प्रमेय 8.9) से ऐसा $C$ मिलता है कि सभी $\norm y \leq 1$ के लिए $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x$ ; और $y$ में समघातता बात पूरी कर देती है: $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x\norm y$ ।

अभ्यास 8.7 ★★

(क) $E = \mathcal C(\intcc01)$ पर $\norm\cdot_\infty$ और $\norm\cdot_1$ की तुलना कीजिए: तत्समक $(E, \norm\cdot_\infty) \to (E, \norm\cdot_1)$ परिबद्ध और एकैकी आच्छादक है पर उसका प्रतिलोम अपरिबद्ध। उपप्रमेय 8.13 की कौन-सी परिकल्पना विफल होती है? (ख) $\ell^2$ की किसी सघन उपसमष्टि से $K$ में जाता कोई असंतत रैखिक प्रतिचित्रण प्रस्तुत कीजिए (उदाहरणार्थ परिमित अनुक्रमों पर), और समझाइए कि यह संवृत आलेख प्रमेय का खंडन क्यों नहीं है।

हल

हल — अभ्यास 8.7.

(क) $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$ : तत्समक परिबद्ध और एकैकी-आच्छादक है। उसका प्रतिलोम अपरिबद्ध है: $f_n(x) = x^n$ के लिए $\norm{f_n}_1 = \frac1{n+1} \to 0$ पर $\norm{f_n}_\infty = 1$ । उपप्रमेय 8.13 के साथ कोई विरोधाभास नहीं: $(\mathcal C(\intcc01), \norm\cdot_1)$ पूर्ण नहीं है (अभ्यास 7.1); और उपप्रमेय को दोनों ओर पूर्णता चाहिए।

(ख) परिमित अनुक्रमों की समष्टि $E_0$ ( $\ell^2$ में सघन) पर $\varphi(x) = \sum_n n\,x_n$ रैखिक और अपरिबद्ध है ( $\norm{e_n}_2 = 1$ वाला $\varphi(e_n) = n$ )। संवृत आलेख प्रमेय लागू नहीं होती: $E_0$ पूर्ण नहीं है — और $\varphi$ का $\ell^2$ तक कोई संतत विस्तार नहीं है, जो दिखा देता है कि एकसमान सांतत्य के बिना सघनता निर्बल है (प्रमेय 7.2)।

अभ्यास 8.8 ★★★

(हेलिंगर–टोप्लित्स) मान लीजिए $T \colon \ell^2 \to \ell^2$ रैखिक (सर्वत्र परिभाषित) और सममित है: सभी $x, y$ के लिए $\langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle$ , जहाँ $\langle x, y \rangle = \sum x_n\bar y_n$ । दर्शाइए कि $T$ परिबद्ध है। (संवृत आलेख: यदि $x_k \to x$ और $Tx_k \to z$ हो, तो मनमाने $y$ के सापेक्ष परीक्षा लीजिए।) सार: अपरिबद्ध सममित संकारक — क्वांटम यांत्रिकी के हैमिल्टनी — कभी पूरी समष्टि पर परिभाषित नहीं किए जा सकते।

हल

हल — अभ्यास 8.8.

हम संवृत-आलेख परिकल्पना सत्यापित करते हैं। मान लीजिए $\ell^2$ में $x_k \to x$ और $Tx_k \to z$ । प्रत्येक $y$ के लिए:

\langle z, y\rangle = \lim_k\langle Tx_k, y\rangle = \lim_k \langle x_k, Ty\rangle = \langle x, Ty\rangle = \langle Tx, y\rangle,

जिसमें प्रत्येक खाँचे में अंतःगुणन की सांतत्य (कोशी–श्वार्ज़) और सममिति का दो बार उपयोग हुआ है। अतः $z - Tx$ प्रत्येक $y$ पर, विशेष रूप से स्वयं पर, लांबिक है: $z = Tx$ । आलेख संवृत है और $\ell^2$ बानाख है: अतः $T$ परिबद्ध है (प्रमेय 8.14)। इसलिए समूचे $\ell^2$ पर परिभाषित कोई सममित संकारक स्वतः परिबद्ध होता है; और सचमुच अपरिबद्ध सममित संकारकों (स्थिति, संवेग, हैमिल्टनी) को उचित सघन उपसमष्टियों पर ही रहना पड़ता है।

अभ्यास 8.9 ★★★

(संख्यात्मक समाकलन पर पोल्या की प्रमेय) प्रत्येक $n$ के लिए मान लीजिए $\Lambda_n(f) = \sum_{i=0}^{n} w_{i,n}f(x_{i,n})$ $\mathcal C(\intcc01)$ पर एक संख्यात्मक समाकलन नियम है ( $x_{i,n} \in \intcc01$ , $w_{i,n} \in \R$ )। दर्शाइए कि प्रत्येक संतत $f$ के लिए $\Lambda_n(f) \to \int_0^1f$ होता है तभी और केवल तभी जब: (क) प्रत्येक बहुपद $P$ के लिए $\Lambda_n(P) \to \int_0^1P$ , और (ख) $\sup_n\sum_i\abs{w_{i,n}} < \infty$ । ( $\norm{\Lambda_n}$ परिकलित कीजिए; बानाख–श्टाइनहाउस और वाइरश्ट्रास का उपयोग कीजिए।) जाँचिए कि अचरों पर यथार्थ धनात्मक भार वाले नियम (ख) को स्वतः संतुष्ट कर देते हैं।

हल

हल — अभ्यास 8.9.

पहले, $\norm{\Lambda_n} = \sum_i\abs{w_{i,n}}$ : $\leq$ त्रिभुज असमिका है; और $\norm f_\infty \leq 1$ तथा $f(x_{i,n}) = \operatorname{sign}(w_{i,n})$ वाले किसी खंडशः रैखिक $f$ पर परीक्षा लेने से $\geq$ (परिमित संख्या के गाँठ बिंदुओं के बीच रैखिक अंतर्वेशन कीजिए; जहाँ गाँठ मिल जाएँ वहाँ चिह्न सहमत होते हैं)।

( $\Rightarrow$ ) प्रत्येक $f$ पर बिंदुशः अभिसरण से (i) निकलता है, और साथ में बिंदुशः परिबद्धता, अतः बानाख $\mathcal C(\intcc01)$ पर बानाख–श्टाइनहाउस (प्रमेय 8.9) (ii) दे देता है।

( $\Leftarrow$ ) मान लीजिए $M = \sup_n\norm{\Lambda_n} + 1$ । $f$ और $\varepsilon$ दिए हों, तो $\norm{f - P}_\infty < \varepsilon/(2M)$ वाला कोई बहुपद $P$ चुनिए (उपप्रमेय 7.16); तब

\Bigl|\Lambda_n f - \int_0^1 f\Bigr| \leq \abs{\Lambda_n(f - P)} + \Bigl|\Lambda_nP - \int_0^1P\Bigr| + \Bigl|\int_0^1(P - f)\Bigr| \leq \varepsilon + \Bigl|\Lambda_nP - \int_0^1P\Bigr| \to \varepsilon .

धनात्मक भार, अचरों पर यथार्थता: अचरों पर यथार्थ नियमों के लिए $\sum_i\abs{w_{i,n}} = \sum_iw_{i,n} = \Lambda_n(\mathbf 1) = \int_0^1 1 = 1$ — अतः (ii) अचर $1$ के साथ लागू है।

अभ्यास 8.10 ★★

दर्शाइए कि $J \colon E \to E''$ , $J(x)(f) = f(x)$ , एक रैखिक समदूरीयता है (उपप्रमेय 8.7(2) का उपयोग कीजिए), और यह कि $\dim E < \infty$ होने पर वह आच्छादक है। यह भी दर्शाइए कि यदि $E'$ पृथक्करणीय हो, तो $E$ भी पृथक्करणीय है। ( $E'$ के किसी सघन अनुक्रम का लगभग मानक निकालने वाले $x_n$ चुनिए और उपप्रमेय 8.7(3) के माध्यम से दिखाइए कि उनका संवृत विस्तार $E$ है।)

हल

हल — अभ्यास 8.10.

$J$ की रैखिकता औपचारिक है; उपप्रमेय 8.7(2) से $\norm{J(x)} = \sup_{\norm f \leq 1}\abs{f(x)} = \norm x$ । यदि $\dim E = n$ हो: तो $\dim E' = n$ (कोई आधार निर्देशांक फलनक दे देता है), अतः $\dim E'' = n$ , और एकैकी (समदूरीय) $J$ आच्छादक है। पृथक्करणीयता: मान लीजिए $(f_n)$ $E'$ में सघन है और $\abs{f_n(x_n)} \geq \frac12\norm{f_n}$ वाले $\norm{x_n} = 1$ चुनिए। मान लीजिए $F = \overline{\operatorname{Vect}}(x_n)$ ; यदि $F \neq E$ हो, तो $F$ पर लुप्त होने वाला $g \in E'$ , $g \neq 0$ लीजिए (उपप्रमेय 8.7(3)); $f_{n_k} \to g$ चुनिए:

\norm{f_{n_k} - g} \geq \abs{(f_{n_k} - g)(x_{n_k})} = \abs{f_{n_k}(x_{n_k})} \geq \tfrac12\norm{f_{n_k}} \geq \tfrac12\bigl(\norm g - \norm{f_{n_k} - g}\bigr),

अतः $\norm{f_{n_k} - g} \geq \frac13\norm g > 0$ : विरोधाभास। इसलिए $F = E$ , और $x_n$ के परिमेय (अथवा $\Q + \iu\Q$ ) संचय कोई गणनीय सघन समुच्चय बनाते हैं।

अभ्यास 8.11 ★★

(भागफल समष्टियाँ) मान लीजिए $E$ एक बानाख समष्टि है और $F \subseteq E$ उसकी संवृत उपसमष्टि। $E/F$ पर परिभाषित कीजिए

\norm{\bar x} \;=\; d(x, F) = \inf_{y\in F}\norm{x - y} .

(क) दर्शाइए कि यह $E/F$ पर एक सुपरिभाषित मानक है ( $F$ की संवृतता कहाँ प्रवेश करती है?), और यह कि प्रक्षेप $\pi \colon E \to E/F$ $\vertiii\pi \leq 1$ रखता है और विवृत इकाई गोले को विवृत इकाई गोले पर आच्छादित कर देता है। (ख) दर्शाइए कि $E/F$ पूर्ण है। (अभ्यास 7.1(ख) की श्रेणी कसौटी का उपयोग कीजिए: $\sum\norm{\bar x_k} < \infty$ वाले वर्ग $\bar x_k$ दिए हों, तो प्रत्येक को $\norm{x_k} \leq \norm{\bar x_k} + 2^{-k}$ वाले $x_k \in E$ तक उठाइए और $E$ में योग लीजिए।) (ग) परिकलित कीजिए: $E = c$ (अभिसारी अनुक्रम) और $F = c_0$ के लिए दर्शाइए कि $\bar x \mapsto \lim_nx_n$ के माध्यम से समदूरिक रूप से $c/c_0 \cong K$ ।

हल

हल — अभ्यास 8.11.

(क) सुपरिभाषित: $d(x, F)$ केवल $\bar x$ पर निर्भर करता है ( $x$ को $F$ से स्थानांतरित करने पर दूरी नहीं बदलती)। समघातता और त्रिभुज असमिका $\norm\cdot$ से निम्नतम के माध्यम से चली आती हैं। पृथक्करण को संवृतता चाहिए: $\norm{\bar x} = 0$ का अर्थ है $d(x, F) = 0$ , अर्थात् $x \in \bar F = F$ , अर्थात् $\bar x = 0$ । $\vertiii\pi \leq 1$ : $\norm{\bar x} \leq \norm x$ । विवृत गोले का विवृत गोले पर: यदि $\norm{\bar x} < 1$ हो, तो किसी प्रतिनिधि के लिए $\norm{x - y} < 1$ ; और विलोमतः मानक असमिका से $\pi(B_E(0,1)) \subseteq B_{E/F}(0,1)$ — अतः $\pi$ विवृत है, जो विवृत प्रतिचित्रण प्रमेय की आदर्श स्थिति है।

(ख) मान लीजिए $\sum_k\norm{\bar x_k} < \infty$ और $\norm{x_k} \leq \norm{\bar x_k} + 2^{-k}$ के साथ उठाइए: तब $\sum\norm{x_k} < \infty$ , अतः $s = \sum_kx_k$ बानाख $E$ में अभिसरित होता है (अभ्यास 7.1(ख)), और $\pi$ की सांतत्य $\sum_k\bar x_k = \bar s$ दे देती है: अर्थात् $E/F$ की प्रत्येक निरपेक्षतः अभिसारी श्रेणी अभिसरित होती है, जो पूर्णता के तुल्य है (वही अभ्यास)।

(ग) प्रतिचित्रण $\lambda(x) = \lim_nx_n$ रैखिक $c \to K$ है, ठीक $c_0$ पर लुप्त होता है, अतः वह कोई रैखिक एकैकी आच्छादन $c/c_0 \to K$ प्रेरित करता है। समदूरीयता: $d(x, c_0) = \abs{\lambda(x)}$ — $\leq$ : $x$ में से अनुक्रम $x - \lambda(x)\mathbf 1 \in c_0$ घटाइए, जिससे मानक $\abs{\lambda(x)}$ वाला $\lambda(x)\mathbf 1$ बचता है; $\geq$ : $y \in c_0$ के लिए $\norm{x - y}_\infty \geq \limsup_n\abs{x_n - y_n} = \abs{\lambda(x)}$ ।

अभ्यास 8.12 ★★

(परिबद्ध प्रक्षेप और पूरकित उपसमष्टियाँ) मान लीजिए $E$ एक बानाख समष्टि है और $P \colon E \to E$ $P^2 = P$ वाला रैखिक प्रतिचित्रण (एक बीजगणितीय प्रक्षेप), $V = \operatorname{im}P$ , $W = \ker P$ । (क) मान लीजिए $P$ परिबद्ध है। दर्शाइए कि $V$ और $W$ संवृत हैं और विघटन $x = Px + (x - Px)$ के साथ $E = V \oplus W$ । (ख) विलोमतः, मान लीजिए $E = V \oplus W$ है जहाँ $V, W$ दोनों संवृत हैं, और मान लीजिए $P$ $W$ के अनुदिश $V$ पर प्रक्षेप है। दर्शाइए कि $P$ परिबद्ध है। (संवृत आलेख: यदि $x_n \to x$ और $Px_n \to z$ हो, तो $z \in V$ , $x_n - Px_n \to x - z \in W$ , और विघटन की अद्वितीयता $z = Px$ की पहचान कर देती है।) (ग) तुल्यता निष्कर्ष के रूप में निकालिए: कोई उपसमष्टि $V$ परिबद्ध प्रक्षेप स्वीकार करती है तभी और केवल तभी जब वह संवृत हो और उसका कोई संवृत बीजगणितीय पूरक हो — और (बिना उपपत्ति के) ध्यान दीजिए कि इस गुण के बिना संवृत उपसमष्टियाँ विद्यमान हैं ( $\ell^\infty$ के भीतर $c_0$ शास्त्रीय उदाहरण है): हिल्बर्ट समष्टियाँ, जहाँ $V^\perp$ सदैव काम कर जाता है (अध्याय 13), अपवाद हैं, नियम नहीं।

हल

हल — अभ्यास 8.12.

(क) $W = \ker P$ संवृत है (किसी संतत प्रतिचित्रण के अंतर्गत $0$ का पूर्व-प्रतिबिंब); $V = \operatorname{im}P = \ker(I - P)$ (वस्तुतः $Px = x$ तभी और केवल तभी जब $x \in \operatorname{im}P$ , $P^2 = P$ का उपयोग करते हुए), जो इसी प्रकार संवृत है। प्रत्येक $x$ $Px \in V$ , $x - Px \in W$ के साथ $Px + (x - Px)$ में बँट जाता है, और $V \cap W = 0$ ( $x = Px = 0$ ): अतः $E = V \oplus W$ ।

(ख) आलेख तर्क: मान लीजिए $x_n \to x$ और $Px_n \to z$ । तब $z \in V$ ( $V$ संवृत, $Px_n \in V$ ) और $x_n - Px_n \to x - z \in W$ ( $W$ संवृत)। अतः $z \in V$ , $x - z \in W$ के साथ $x = z + (x - z)$ ; और विघटन की अद्वितीयता से $z = Px$ । $P$ का आलेख संवृत है, $E$ बानाख है: अतः $P$ परिबद्ध है (प्रमेय 8.14)।

(ग) (क) और (ख) मिलकर वही तुल्यता हैं। किसी हिल्बर्ट समष्टि में प्रत्येक संवृत $V$ का संवृत पूरक $V^\perp$ होता है (अध्याय 13): अतः प्रत्येक संवृत उपसमष्टि पूरक-युक्त है। व्यापक बानाख समष्टियों में यह विफल हो जाता है — $\ell^\infty$ में $c_0$ का कोई संवृत पूरक नहीं है (फिलिप्स की प्रमेय, हमारे साधनों से परे) — अतः परिबद्ध प्रक्षेप एक विशेषाधिकार हैं, और संवृत आलेख प्रमेय ठीक वही लेखा-जोखा है जो ज्यामितीय विभाजनों को परिबद्ध संकारकों में बदल देता है।

8.6 समस्या: $\ell^p$ समष्टियों की द्वैतता

समस्या 8.1

सप्ताहांत समस्या — $(\ell^p)' = \ell^q$ , स्वद्वैतिता, और $\ell^\infty$ की विचित्रता

$1 < p < \infty$ स्थिर कीजिए और मान लीजिए $q$ संयुग्मी घातांक है, $\frac1p + \frac1q = 1$ । सर्वत्र युग्मन $\langle x, y\rangle = \sum_n x_ny_n$ है।

भाग I — अनुक्रमों के लिए होल्डर और मिन्कोव्स्की।

(यंग की असमिका) $a, b \geq 0$ के लिए $\log$ की अवतलता का उपयोग करके अथवा $t \mapsto \frac{t^p}p + \frac1q - t$ का अध्ययन करके $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ दर्शाइए।
(होल्डर) निष्कर्ष निकालिए: $x \in \ell^p$ , $y \in \ell^q$ के लिए $\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x_p\norm y_q$ ; और समता स्थिति पहचानिए।
(मिन्कोव्स्की) $\norm\cdot_p$ के लिए त्रिभुज असमिका निष्कर्ष के रूप में निकालिए। ( $\abs{x_n + y_n}^p \leq \abs{x_n}\,\abs{x_n{+}y_n}^{p-1} + \abs{y_n}\,\abs{x_n{+}y_n}^{p-1}$ लिखिए और प्रत्येक पद पर होल्डर लगाइए।)
सिद्ध कीजिए कि $\ell^p$ पूर्ण है और परिमित अनुक्रम उसमें सघन हैं।

भाग II — द्वैतता $(\ell^p)' = \ell^q$ ।

$y \in \ell^q$ के लिए दर्शाइए कि $\Lambda_y(x) = \langle x, y\rangle$ $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_q$ वाला $\Lambda_y \in (\ell^p)'$ परिभाषित करता है, और $x_n = \abs{y_n}^{q-1}\operatorname{sign}(y_n)$ पर (उपयुक्त रूप से छाँटकर और मानकीकृत करके) परीक्षा लेकर यह भी कि $\norm{\Lambda_y} = \norm y_q$ ।
विलोमतः, $\Lambda \in (\ell^p)'$ दिया हो तो $y_n = \Lambda(e_n)$ रखिए; दर्शाइए कि $\norm y_q \leq \norm\Lambda$ के साथ $y \in \ell^q$ (प्रश्न 5 की तरह छँटाइयों पर परीक्षा लीजिए और छँटाई की लंबाई बढ़ने दीजिए), और निष्कर्ष निकालिए $\Lambda = \Lambda_y$ : अर्थात् प्रतिचित्रण $y \mapsto \Lambda_y$ एक समदूरिक तुल्याकारिता $\ell^q \to (\ell^p)'$ है।
निष्कर्ष निकालिए कि $1 < p < \infty$ के लिए $\ell^p$ स्वद्वैती है: दोनों द्वैतताओं का संयोजन करने पर $(\ell^p)''$ का प्रत्येक अवयव $\ell^p$ से आता है; ध्यान से सत्यापित कीजिए कि यह संयोजन विहित $J$ ही है।

भाग III — $\ell^1$ और $\ell^\infty$ भिन्न प्राणी हैं।

दर्शाइए कि $\ell^p$ ( $1 \leq p < \infty$ ) और $c_0$ पृथक्करणीय हैं, पर $\ell^\infty$ नहीं। ( $\N$ के उपसमुच्चयों के अगणनीय संख्या के सूचक अनुक्रम जोड़े-जोड़े में दूरी $1$ पर हैं।)
अभ्यास 8.10 से निष्कर्ष निकालिए कि $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$ पर $(\ell^\infty)' \not\cong \ell^1$ : अर्थात् $\ell^1$ स्वद्वैती नहीं है। (यदि $(\ell^\infty)'$ $\ell^1$ होता, तो वह पृथक्करणीय होता, जिससे $\ell^\infty$ का पृथक्करणीय होना अनिवार्य हो जाता।)
(एक बानाख सीमा, स्पष्ट रूप से) $\ell^\infty_\R$ पर मान लीजिए $p(x) = \limsup_n \frac{x_1 + \dots + x_n}{n}$ । दर्शाइए कि $p$ उपरैखिक है, और यह कि अभिसारी अनुक्रमों की उपसमष्टि $c$ पर $\mathrm{LIM}(x) = \lim x$ $\mathrm{LIM} \leq p$ को संतुष्ट करता है। हान–बानाख से $\mathrm{LIM} \colon \ell^\infty_\R \to \R$ तक विस्तारित कीजिए और दर्शाइए: $\mathrm{LIM}$ धनात्मक है ( $x \geq 0 \Rightarrow \mathrm{LIM}(x) \geq 0$ ), विस्थापन-अपरिवर्ती है ( $\mathrm{LIM}(x_2, x_3, \dots) = \mathrm{LIM}(x)$ ), सीमा का विस्तार है, और $\liminf x \leq \mathrm{LIM}(x)\leq \limsup x$ को संतुष्ट करता है।
दर्शाइए कि $(\ell^\infty)'$ में देखा गया ऐसा $\mathrm{LIM}$ किसी भी $y \in \ell^1$ के लिए $\Lambda_y$ के रूप का नहीं है; इससे पुनः $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ निष्कर्ष निकालिए। (पहले इकाई अनुक्रमों $e_n$ पर मान लीजिए, फिर अचर अनुक्रम $1$ पर।)
$(0,1,0,1,\dots)$ पर $\mathrm{LIM}$ का मान निकालिए, और दर्शाइए कि सीमा का कोई विस्थापन-अपरिवर्ती गुणनात्मक विस्तार विद्यमान नहीं हो सकता ( $x = (0,1,0,1,\dots)$ और $x\cdot Sx$ पर विचार कीजिए, जहाँ $S$ विस्थापन है)।

भाग IV — उपसंहार: स्वद्वैतिता क्यों महत्त्वपूर्ण है।

उपप्रमेय 8.10 और प्रश्न 6 का उपयोग करके दर्शाइए कि $\ell^p$ ( $1 < p < \infty$ ) के प्रत्येक परिबद्ध अनुक्रम का कोई ऐसा उपानुक्रम $(x^{(k)})$ है जो दुर्बल रूप से अभिसरित होता है: अर्थात् प्रत्येक $\Lambda \in (\ell^p)'$ के लिए $\Lambda(x^{(k)})$ अभिसरित होता है। (गणनीय संख्या के निर्देशांकों पर विकर्ण निष्कर्षण; मानकों की एकसमान परिबद्धता और होल्डर का उपयोग करके $\ell^p$ में दुर्बल सीमा पहचानिए।) उदाहरण से दर्शाइए ( $\ell^1$ में $e_n$ , $\ell^\infty$ के सुचुने हुए अवयवों के सापेक्ष) कि $\ell^1$ में यह विफल हो जाता है: दुर्बल संहतता स्वद्वैती समष्टियों का विशेषाधिकार है।

भाग V — दुर्बल संस्थिति काम पर, और शूर का आश्चर्य। किसी मानकित समष्टि $E$ में $x^{(k)} \rightharpoonup x$ (दुर्बल अभिसरण) तब लिखिए जब प्रत्येक $\Lambda \in E'$ के लिए $\Lambda(x^{(k)}) \to \Lambda(x)$ हो।

गणना पूरी कीजिए: प्रश्न 5–6 की योजना से समदूरिक रूप से $(c_0)' \cong \ell^1$ दर्शाइए (परीक्षण अनुक्रमों का स्थान क्या लेता है?)। क्रमागत द्वैतों की शृंखला $c_0 \to \ell^1 \to \ell^\infty \to \dots$ संकलित कीजिए और चिह्नित कीजिए कि स्वद्वैतिता कहाँ विफल होती है।
दर्शाइए कि किसी बानाख समष्टि का प्रत्येक दुर्बल अभिसारी अनुक्रम परिबद्ध होता है: $x^{(k)}$ को विहित अंतःस्थापन $J$ के माध्यम से $E'$ पर फलनिकों के रूप में देखिए और बानाख–श्टाइनहाउस (प्रमेय 8.9) लगाइए — किस बानाख समष्टि पर, और वहाँ पूर्णता क्यों उपलब्ध है?
दर्शाइए कि $\ell^p$ में $1 < p < \infty$ : $x^{(k)} \rightharpoonup x$ तभी और केवल तभी जब $\sup_k\norm{x^{(k)}}_p < \infty$ हो और प्रत्येक निर्देशांक $n$ के लिए $x^{(k)}_n \to x_n$ हो (एक दिशा विहित अंतःस्थापन से बानाख–श्टाइनहाउस का उपयोग करती है; दूसरी के लिए $y \in \ell^q$ का परिमित अनुक्रमों से आसन्नन कीजिए)। इससे $\ell^2$ में $e_k \rightharpoonup 0$ निष्कर्ष निकालिए, जबकि $\norm{e_k}_2 = 1$ : दुर्बल सीमाएँ द्रव्यमान खो सकती हैं।
दर्शाइए कि मानक दुर्बल रूप से अधोअर्धसंतत है: $x^{(k)} \rightharpoonup x$ से $\norm x \leq \liminf_k\,\norm{x^{(k)}}$ निकलता है ( $x$ के लिए कोई मानक निकालने वाला फलनिक चुनिए, उपप्रमेय 8.7)।
( $\ell^2$ में रादों–रीस) दर्शाइए कि $\ell^2$ में दुर्बल अभिसरण के साथ मानकों का अभिसरण मिलकर मानक अभिसरण दे देता है ( $\norm{x^{(k)} - x}_2^2$ का प्रसार कीजिए)। मानक परिकल्पना के बिना उसी कथन का प्रतिउदाहरण दीजिए।
(शूर, चरण 1) मान लीजिए $\ell^1$ में $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ और, विरोधाभास के लिए, मान लीजिए किसी उपानुक्रम के अनुदिश $\norm{x^{(k)}}_1 \geq \delta > 0$ । पहले दर्शाइए कि प्रत्येक $n$ के लिए $x^{(k)}_n \to 0$ (कौन-से फलनिक?), फिर पुनरावर्ती रूप से ऐसे सूचकांक $k_1 < k_2 < \cdots$ और पूर्णांक $0 = N_0 < N_1 < N_2 < \cdots$ बनाइए कि $x^{(k_j)}$ का द्रव्यमान खंड $B_j = \intoc{N_{j-1}}{N_j}$ पर संकेंद्रित हो जाए:

$\sum_{n \in B_j}\bigl|x^{(k_j)}_n\bigr| \geq \norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac\delta{10} .$
(शूर, चरण 2) $n \in B_j$ के लिए $y_n = \operatorname{sign}\bigl(x^{(k_j)}_n\bigr)$ से $y \in \ell^\infty$ परिभाषित कीजिए। दर्शाइए कि $\langle x^{(k_j)}, y\rangle \geq \norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac{2\delta}{10} \geq \frac{8\delta}{10}$ और $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ के साथ विरोधाभास निकालिए। शूर की प्रमेय निष्कर्ष के रूप में निकालिए: $\ell^1$ में दुर्बल अभिसारी अनुक्रम मानक में अभिसरित होते हैं।
निष्कर्ष निकालिए कि $\ell^1$ में $(e_k)$ का कोई दुर्बल अभिसारी उपानुक्रम नहीं है (उसकी एकमात्र संभावित सीमा निर्देशांकशः $0$ है — अब शूर लगाइए), जिससे प्रश्न 13 की दुर्बल संहतता की विफलता पुनः प्राप्त हो जाती है; और स्पष्ट विरोधाभास सुलझाइए: $\ell^1$ में अनुक्रमों का दुर्बल और मानक अभिसरण एक ही बात है, फिर भी दुर्बल और मानक संस्थितियाँ भिन्न हैं और परिबद्ध समुच्चय अब भी दुर्बल अनुक्रमीय संहत नहीं होते — इसमें कोई विरोधाभास नहीं, केवल स्वद्वैतिता की विफलता है।
(संश्लेषण सारणी) $E \in \{c_0,\ \ell^1,\ \ell^p\ (1{<}p{<}\infty),\ \ell^\infty\}$ के लिए सारणीबद्ध कीजिए: द्वैत; पृथक्करणीयता; स्वद्वैतिता; क्या परिबद्ध अनुक्रम दुर्बल अभिसारी उपानुक्रम स्वीकार करते हैं; और प्रत्येक समष्टि का एक विशिष्ट गुण, जिसे इस समस्या से एक पंक्ति में उचित ठहराया गया हो।

भाग VI — पूरक: निकटतम बिंदु, औसतीकृत अभिसरण, और किसी बानाख सीमा का मान।

(निकटतम बिंदु: स्वद्वैतिता का लाभांश) मान लीजिए $F$ $\ell^p$ ( $1 < p < \infty$ ) की संवृत उपसमष्टि है और $x \in \ell^p$ । दर्शाइए कि $d = \operatorname{dist}(x, F)$ प्राप्त हो जाता है: किसी न्यूनीकारी अनुक्रम से कोई दुर्बल अभिसारी उपानुक्रम निकालिए (प्रश्न 13), हान–बानाख से ऐसा फलनिक बनाकर जो $F$ पर लुप्त हो पर उसके बाहर के किसी बिंदु पर नहीं, दुर्बल सीमा को $F$ के भीतर रखिए, और प्रश्न 17 से निष्कर्ष निकालिए। फिर दिखाइए कि यह विशेषाधिकार सार्वत्रिक नहीं है: $c_0$ में, $\Lambda(x) = \sum_n2^{-n}x_n$ के लिए, सिद्ध कीजिए कि इकाई गोले पर $\norm\Lambda = 1$ प्राप्त नहीं होता, दूरी सूत्र $\operatorname{dist}(x, \ker\Lambda) = \abs{\Lambda(x)}$ स्थापित कीजिए, और निष्कर्ष निकालिए कि संवृत अधिसमतल $\ker\Lambda$ में किसी भी $x \notin \ker\Lambda$ का कोई निकटतम बिंदु नहीं है।
( $\ell^2$ में बानाख–साक्स) मान लीजिए $\ell^2_{\R}$ में $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ और $\norm{x^{(k)}}_2 \leq C$ । ऐसा उपानुक्रम $(y_j)$ बनाइए जिसके लिए सभी $i < j$ पर $\abs{\langle y_i, y_j\rangle} \leq \frac1j$ हो, और निष्कर्ष निकालिए

$\Bigl\lVert\frac{y_1 + \dots + y_m}m\Bigr\rVert_2^2 \leq \frac{C^2 + 2}m \longrightarrow 0 :$

अर्थात् निष्कर्षण के बाद चेज़ारो माध्य मानक में अभिसरित होते हैं। $(e_k)$ पर जाँचिए, जिसके माध्यों का मानक $\frac1{\sqrt m}$ है: दुर्बल अभिसरण, जो स्वयं अनुक्रम के लिए निरर्थक था (प्रश्न 16), औसतों के लिए मानक अभिसरण बन जाता है।
(किसी बानाख सीमा का मान) मान लीजिए $L$ कोई बानाख सीमा है (प्रश्न 10) और $A_mx = \frac1m(x + Sx + \dots + S^{m-1}x)$ । दर्शाइए कि $L(A_mx) = L(x)$ और $\liminf A_mx \leq L(x) \leq \limsup A_mx$ ; इससे निष्कर्ष निकालिए कि सभी बानाख सीमाएँ आवर्ती अनुक्रमों पर सहमत होती हैं, और उनका मान एक आवर्त पर का माध्य होता है — $(1, 0, 0, 1, 0, 0, \dots)$ पर $\frac13$ , जो प्रश्न 12 के $\frac12$ के अनुरूप है। फिर दिखाइए कि व्यापक रूप में सहमति विफल हो जाती है: उस खंड अनुक्रम $x$ के लिए जो सम $j$ के लिए $\intoc{3^{j-1}}{3^j}$ पर $1$ है और अन्यत्र $0$ , दर्शाइए कि चेज़ारो माध्य $\leq \frac13$ और $\geq \frac23$ के बीच दोलन करते हैं, और $L_-(x) \leq \frac13 < \frac23 \leq L_+(x)$ वाली दो बानाख सीमाएँ $L_\pm$ बनाइए ( $c \oplus \R x$ से चरम स्वीकार्य मानों $\pm$ के साथ विस्तार कीजिए: जाँचिए कि $\Lambda(y + tx) = \lim y + t\,p(x)$ प्रश्न 10 के उपरैखिक $p$ से प्रभावित है)।

हल

हल — समस्या 8.1.

1. $a, b > 0$ के लिए: $\log$ की अवतलता से $\log\bigl(\tfrac{a^p}p + \tfrac{b^q}q\bigr) \geq \tfrac1p\log a^p + \tfrac1q\log b^q = \log(ab)$ ; अब चरघातांक लीजिए। (यदि $ab = 0$ हो तो असमिका तुच्छ है।) बराबरी तभी और केवल तभी जब $a^p = b^q$ ।

2. हम मान सकते हैं $\norm x_p = \norm y_q = 1$ (समघातता; शून्य स्थितियाँ तुच्छ)। तब

\abs{\langle x, y\rangle} \leq \sum_n\abs{x_n}\abs{y_n} \leq \sum_n\Bigl(\frac{\abs{x_n}^p}p + \frac{\abs{y_n}^q}q\Bigr) = \frac1p + \frac1q = 1 = \norm x_p\norm y_q .

बराबरी के लिए सभी $n$ के लिए $\abs{x_n}^p = \abs{y_n}^q$ (यंग की बराबरी स्थिति) और $x_ny_n$ की कलाओं का संरेखण चाहिए।

3. $\abs{x_n + y_n}^p \leq \bigl(\abs{x_n} + \abs{y_n}\bigr)\abs{x_n + y_n}^{p-1}$ ; योग करके और होल्डर लगाकर ( $q$ के विरुद्ध $p$ , यह ध्यान देते हुए कि $(p - 1)q = p$ ):

\norm{x + y}_p^p \leq \bigl(\norm x_p + \norm y_p\bigr)\,\Bigl(\sum_n\abs{x_n + y_n}^{p}\Bigr)^{1/q} = \bigl(\norm x_p + \norm y_p\bigr)\,\norm{x+y}_p^{p/q};

यदि $\norm{x + y}_p \neq 0$ हो (अन्यथा तुच्छ), तो $\norm{x+y}_p^{p/q}$ से भाग दीजिए और $p - \frac pq = 1$ का उपयोग कीजिए। (पहले $\norm{x+y}_p$ की परिमितता: $\abs{x_n+y_n}^p \leq 2^p(\abs{x_n}^p + \abs{y_n}^p)$ ।)

4. पूर्णता: $\ell^1$ (अभ्यास 8.3) की भाँति, निर्देशांकशः सीमाएँ और साथ में एकसमान पुच्छ परिबंध $\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n}^p \leq \varepsilon^p$ , जिसमें पहले $l$ फिर $N$ को अनंत की ओर ले जाइए। परिमित अनुक्रमों की सघनता: $\norm{x - \sum_{n\leq N}x_ne_n}_p^p = \sum_{n > N}\abs{x_n}^p \to 0$ ।

5. होल्डर $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm x_p\norm y_q$ देता है: $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_q$ । परीक्षा: $n \leq N$ के लिए $x^{(N)}_n = \abs{y_n}^{q-1}\overline{\operatorname{sign}}(y_n)$ और उसके परे $0$ लीजिए ( $\operatorname{sign}$ एकमापांकी कला, ताकि $x_ny_n = \abs{y_n}^q$ )। तब $\Lambda_y(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q$ और $\norm{x^{(N)}}_p = \bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^{q}\bigr)^{1/p}$ (जब $(q-1)p = q$ ), अतः

\norm{\Lambda_y} \geq \Bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\Bigr)^{1 - 1/p} \xrightarrow[N\to\infty]{} \norm y_q .

6. $y_n = \Lambda(e_n)$ रखिए। उन्हीं परीक्षण सदिशों के साथ $\sum_{n \leq N}\abs{y_n}^q = \Lambda(x^{(N)}) \leq \norm\Lambda\,\bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/p}$ , जिससे प्रत्येक $N$ के लिए $\bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/q} \leq \norm\Lambda$ : $y \in \ell^q$ , $\norm y_q \leq \norm\Lambda$ । फलनक $\Lambda$ और $\Lambda_y$ सघन परिमित अनुक्रमों पर सहमत हैं (प्रश्न 4): $\Lambda = \Lambda_y$ । प्रश्न 5 के साथ, $y \mapsto \Lambda_y$ कोई समदूरीय तुल्याकारिता $\ell^q \cong (\ell^p)'$ है।

7. मान लीजिए $\xi \in (\ell^p)''$ । प्रश्न 6 की समदूरीयता $\ell^q \cong (\ell^p)'$ के साथ संयोजित करने पर $\xi$ $(\ell^q)'$ का कोई अवयव परिभाषित करता है, जो ( $p, q$ की अदला-बदली के साथ प्रश्न 6) किसी अद्वितीय $z \in \ell^p$ के लिए $\Lambda_z$ है: अर्थात् प्रत्येक $y \in \ell^q$ के लिए $\xi(\Lambda_y) = \sum_nz_ny_n$ । दूसरी ओर $J(z)(\Lambda_y) = \Lambda_y(z) = \sum_ny_nz_n$ : वही मान। चूँकि $(\ell^p)'$ का प्रत्येक अवयव कोई $\Lambda_y$ है, अतः $\xi = J(z)$ : $J$ आच्छादक है — अर्थात् $\ell^p$ स्वद्वैती है।

8. परिमेय (वास्तविक और काल्पनिक) प्रविष्टियों वाले परिमित अनुक्रम गणनीय हैं और $\ell^p$ ( $p < \infty$ ) तथा $c_0$ में सघन हैं। $\ell^\infty$ में: कुल $\{\mathbf 1_A : A \subseteq \N\}$ अगणनीय है जिसमें $A \neq B$ के लिए $\norm{\mathbf 1_A - \mathbf 1_B}_\infty = 1$ ; गोले $B(\mathbf 1_A, \frac12)$ युग्मशः असंयुक्त हैं, और किसी सघन समुच्चय को प्रत्येक से मिलना चाहिए: अतः कोई गणनीय सघन समुच्चय विद्यमान नहीं।

9. यदि $\ell^1$ स्वद्वैती होता, तो $(\ell^\infty)' \cong ((\ell^1)')' = J(\ell^1)$ पृथक्करणीय होता (पृथक्करणीय $\ell^1$ का समदूरीय प्रतिबिंब); और अभ्यास 8.10 से द्वैत $(\ell^\infty)'$ की पृथक्करणीयता $\ell^\infty$ को पृथक्करणीय होने पर बाध्य कर देती — जो प्रश्न 8 का खंडन करता है। अतः $\ell^1$ स्वद्वैती नहीं है (और $(\ell^\infty)'$ $\ell^1$ से कड़ाई से बड़ा है, जैसा प्रश्न 11 मूर्त रूप से दिखाता है)।

10. $p$ की समघातता स्पष्ट है; उप-योज्यता: औसत रैखिक हैं, और $\limsup(u_n + v_n) \leq \limsup u_n + \limsup v_n$ । $c$ पर: किसी अभिसारी अनुक्रम के चेज़ारो माध्य उसकी सीमा पर अभिसरित होते हैं, अतः वहाँ $p(x) = \lim x = \mathrm{LIM}(x)$ ; विशेष रूप से $c$ पर $\mathrm{LIM} \leq p$ । हान–बानाख (प्रमेय 8.6) $\mathrm{LIM}$ को $\ell^\infty_\R$ तक बढ़ा देती है, जिसमें वैश्विक रूप से $\mathrm{LIM} \leq p$ । धनात्मकता: $x \geq 0$ के लिए $-\mathrm{LIM}(x) = \mathrm{LIM}(-x) \leq p(-x) = \limsup\text{औसत}(-x) \leq 0$ । विस्थापन-निश्चरता: $x - Sx$ के औसत $\frac{x_1 - x_{n+1}}n \to 0$ तक दूरबीनी हो जाते हैं, अतः $p(\pm(x - Sx)) = 0$ और $\mathrm{LIM}(x - Sx) = 0$ । परिबंध: $\mathrm{LIM}(x) \leq p(x) \leq \limsup x$ (औसत उच्चतमों से पीछे रहते हैं), और इसे $-x$ पर लगाने से निचला परिबंध मिलता है।

11. $e_n \in c_0$ , अतः सभी $n$ के लिए $\mathrm{LIM}(e_n) = 0$ । यदि $y \in \ell^1$ के साथ $\mathrm{LIM} = \Lambda_y$ हो, तो सभी $n$ के लिए $y_n = \Lambda_y(e_n) = 0$ : $\Lambda_y = 0$ ; पर $\mathrm{LIM}(\mathbf 1) = 1$ । अतः $\mathrm{LIM} \in (\ell^\infty)' \setminus \{\Lambda_y : y \in \ell^1\}$ : पुनः $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ ।

12. $x = (0,1,0,1,\dots)$ के लिए: $x + Sx = \mathbf 1$ , अतः $2\,\mathrm{LIM}(x) = \mathrm{LIM}(x) + \mathrm{LIM}(Sx) = 1$ : $\mathrm{LIM}(x) = \frac12$ । यदि $\varphi$ सीमा का कोई विस्थापन-निश्चर गुणनात्मक विस्तार होता: $x\cdot Sx = 0$ से $\varphi(x)\varphi(Sx) = \varphi(x)^2 = 0$ मिलता, अतः $\varphi(x) = 0$ ; पर $\varphi(x) + \varphi(Sx) = \varphi(\mathbf 1) = 1$ से $2\varphi(x) = 1$ मिलता है: विरोधाभास। औसत लेना और गुणा करना साथ नहीं रह सकते।

13. मान लीजिए $\norm{x^{(k)}}_p \leq M$ । निर्देशांक $M$ से परिबद्ध हैं: कोई विकर्ण निष्कर्षण ऐसा उपानुक्रम (जिसे अब भी $x^{(k)}$ लिखा जाएगा) देता है कि प्रत्येक $n$ के लिए $x^{(k)}_n \to x_n$ । तब $x \in \ell^p$ : सभी $N$ के लिए $\sum_{n\leq N}\abs{x_n}^p = \lim_k\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n}^p \leq M^p$ । दुर्बल अभिसरण: $y \in \ell^q$ और स्वेच्छ $N$ के लिए

\abs{\Lambda_y(x^{(k)} - x)} \leq \Bigl|\sum_{n \leq N}(x^{(k)}_n - x_n)y_n\Bigr| + 2M\Bigl(\sum_{n>N}\abs{y_n}^q\Bigr)^{1/q},

जहाँ $k \to \infty$ पर पहला पद $0$ की ओर जाता है (परिमित संख्या के निर्देशांक) और दूसरा बड़े $N$ के लिए छोटा है (पुच्छ पर होल्डर): अतः प्रत्येक $y$ के लिए $\Lambda_y(x^{(k)}) \to \Lambda_y(x)$ — अर्थात् दुर्बल अभिसरण, क्योंकि प्रत्येक फलनक कोई $\Lambda_y$ है (प्रश्न 6)। $\ell^1$ में यह विफल हो जाता है: परिबद्ध $(e_n)$ लीजिए। कोई भी उपानुक्रम $(e_{n_k})$ निर्देशांकशः $0$ पर अभिसरित होता है, अतः उसका एकमात्र संभावित दुर्बल सीमा $0$ है; पर $y_{n_k} = (-1)^k$ (और अन्यत्र $0$ ) से परिभाषित $y \in \ell^\infty$ के विरुद्ध परीक्षा लेने पर $\Lambda_y(e_{n_k}) = (-1)^k$ अपसारित होता है। अतः कोई दुर्बल अभिसारी उपानुक्रम नहीं: गोलों की दुर्बल अनुक्रमिक संहतता स्वद्वैती जगत को अभिलक्षित करती है।

14. $y \in \ell^1$ के लिए $\Lambda_y(x) = \sum x_ny_n$ $c_0$ पर $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm x_\infty\norm y_1$ के साथ परिभाषित है, और $x^{(N)} = (\operatorname{sign}y_1, \dots, \operatorname{sign}y_N, 0, \dots) \in c_0$ पर परीक्षा लेने से $\Lambda_y(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n} \to \norm y_1$ मिलता है: $\norm{\Lambda_y} = \norm y_1$ । विलोमतः $\Lambda \in (c_0)'$ के लिए $y_n = \Lambda(e_n)$ रखिए; वही परीक्षाएँ $\sum_{n \leq N}\abs{y_n} = \Lambda(x^{(N)}) \leq \norm\Lambda$ देती हैं, अतः $y \in \ell^1$ , और सघन परिमित अनुक्रमों पर $\Lambda = \Lambda_y$ , इसलिए सर्वत्र। द्वैतों की शृंखला: $(c_0)' = \ell^1$ , $(\ell^1)' = \ell^\infty$ (अभ्यास 8.10), $(\ell^\infty)' \supsetneq \ell^1$ (प्रश्न 9–11): स्वद्वैतता पहले ही चरण पर विफल हो जाती है — $c_0'' = \ell^\infty \neq c_0$ — और फिर कभी नहीं सँभलती।

15. $J x^{(k)} \in E'' = (E')'$ बानाख समष्टि $E'$ पर परिबद्ध फलनकों का कुल है (द्वैत पूर्ण होते हैं, प्रतिज्ञप्ति 8.2); और प्रत्येक $\Lambda \in E'$ के लिए अनुक्रम $Jx^{(k)}(\Lambda) = \Lambda(x^{(k)})$ अभिसरित होता है, अतः परिबद्ध है। $E'$ पर बानाख–श्टाइनहाउस $\sup_k\norm{Jx^{(k)}} < \infty$ देता है, और $J$ समदूरीय है (टिप्पणी 8.8): $\sup_k\norm{x^{(k)}} < \infty$ ।

16. ( $\Rightarrow$ ) परिबद्धता प्रश्न 15 है; और निर्देशांक फलनक $\Lambda_{e_n}$ हैं। ( $\Leftarrow$ ) मान लीजिए $M = \sup_k\norm{x^{(k)}}_p$ , $y \in \ell^q$ , $\varepsilon > 0$ ; $\bigl(\sum_{n>N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/q} < \varepsilon$ वाला $N$ चुनिए। तब

\abs{\Lambda_y(x^{(k)} - x)} \leq \sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x_n}\,\abs{y_n} + \norm{x^{(k)} - x}_p\,\varepsilon \leq \sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x_n}\abs{y_n} + (M + \norm x_p)\,\varepsilon,

और परिमित योग $0$ की ओर जाता है: अतः प्रत्येक $\varepsilon$ के लिए $\limsup \leq (M + \norm x_p)\varepsilon$ । ( $\norm x_p \leq M$ के साथ $x \in \ell^p$ फातू-शैली के परिमित-अनुभाग परिबंधों से निकलता है: $\sum_{n \leq N}\abs{x_n}^p = \lim_k\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n}^p \leq M^p$ ।) $\ell^2$ में $e_k$ के लिए: परिबद्ध, निर्देशांकशः $\to 0$ , अतः $e_k \rightharpoonup 0$ , फिर भी $\norm{e_k} = 1$ : द्रव्यमान की इकाई अनंत सूचकांक की ओर पलायन कर जाती है, जो प्रत्येक स्थिर फलनक को अदृश्य है।

17. $\norm\Lambda = 1$ और $\Lambda(x) = \norm x$ (उपप्रमेय 8.7) वाला $\Lambda$ लीजिए। तब $\norm x = \lim\Lambda(x^{(k)}) \leq \liminf\norm\Lambda\,\norm{x^{(k)}} = \liminf\norm{x^{(k)}}$ । ( $e_k \rightharpoonup 0$ के साथ: $0 \leq \liminf 1$ , और असमिका कड़ी हो सकती है।)

18. $\ell^2$ में $\norm{x^{(k)} - x}_2^2 = \norm{x^{(k)}}_2^2 - 2\operatorname{Re}\langle x^{(k)}, x\rangle + \norm x_2^2$ (वास्तविक स्थिति: $-2\langle x^{(k)}, x\rangle$ )। फलनक $\Lambda_x$ पर लगाया गया दुर्बल अभिसरण $\langle x^{(k)}, x\rangle \to \norm x_2^2$ देता है, और परिकल्पना से मानक अभिसरित होते हैं: अतः दायाँ पक्ष $\norm x^2 - 2\norm x^2 + \norm x^2 = 0$ की ओर जाता है। मानक अभिसरण के बिना प्रतिउदाहरण: $e_k \rightharpoonup 0$ , $\norm{e_k - 0} = 1 \not\to 0$ ।

19. निर्देशांक अभिसरण: फलनक $\Lambda_{e_n} \in (\ell^1)' = \ell^\infty$ ( $y = e_n$ ) लगाइए। रचना: $k_{j-1}, N_{j-1}$ चुन लेने के बाद $k_j > k_{j-1}$ इतना बड़ा लीजिए कि $\sum_{n \leq N_{j-1}}\abs{x^{(k_j)}_n} < \frac\delta{20}$ (परिमित संख्या के निर्देशांक, प्रत्येक $\to 0$ ), फिर $N_j > N_{j-1}$ इतना बड़ा कि पुच्छ $\sum_{n > N_j}\abs{x^{(k_j)}_n} < \frac\delta{20}$ संतुष्ट करे ( $\norm{x^{(k_j)}}_1$ को परिभाषित करने वाली श्रेणी का अभिसरण)। तब खंड $B_j = \intoc{N_{j-1}}{N_j}$ $x^{(k_j)}$ के द्रव्यमान का $\frac\delta{10}$ छोड़कर शेष सब ढो लेता है।

20. परिभाषित $y$ के साथ (सर्वत्र $\abs{y_n} \leq 1$ ):

\langle x^{(k_j)}, y\rangle = \sum_{n \in B_j}\abs{x^{(k_j)}_n} + \sum_{n \notin B_j}x^{(k_j)}_ny_n \geq \Bigl(\norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac\delta{10}\Bigr) - \frac\delta{10} \geq \delta - \frac{2\delta}{10} = \frac{4\delta}5 > 0,

जिसमें बीच वाली असमिका इसलिए है कि खंड से बाहर का द्रव्यमान अधिक से अधिक $\frac\delta{10}$ है (प्रश्न 19)। पर $y \in \ell^\infty = (\ell^1)'$ और $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ से $\langle x^{(k_j)}, y\rangle \to 0$ अनिवार्य हो जाता है: विरोधाभास। अतः $\ell^1$ के दुर्बल-शून्य अनुक्रम मानक-शून्य होते हैं, और स्थानांतरण से दुर्बल अभिसारी अनुक्रम मानक में अभिसरित होते हैं: यही शूर की प्रमेय है।

21. $(e_k)$ के किसी दुर्बल अभिसारी उपानुक्रम की सीमा $0$ होती (निर्देशांक), अतः शूर से $\norm{e_{k_j}}_1 \to 0$ — पर मानक $1$ हैं। इसलिए कोई दुर्बल अभिसारी उपानुक्रम विद्यमान नहीं, जैसा प्रश्न 13 में हाथ से मिला था। कोई विरोधाभास नहीं: शूर कहते हैं कि $\ell^1$ में अनुक्रम दुर्बल संस्थिति को मानक संस्थिति से पृथक नहीं कर सकते (स्वयं दोनों संस्थितियाँ भिन्न हैं — दुर्बल प्रतिवेश कभी मानक-परिबद्ध नहीं होते), और इकाई गोले की दुर्बल अनुक्रमिक संहतता एक भिन्न, प्रबलतर गुण है, जो स्वद्वैतता के तुल्य है (एबर्लाइन–श्मूल्यान, हमारे साधनों से परे; कम से कम विफलता तो हमने सिद्ध कर ही दी है)।

22. जनगणना।

$E$	$E'$	पृथक्.	स्वद्वै.	दुर्बल अनुक्र. संहत गोले
$c_0$	$\ell^1$	हाँ	नहीं	नहीं ( $e_1{+}\dots{+}e_k$ )
$\ell^1$	$\ell^\infty$	हाँ	नहीं	नहीं ( $e_k$ , प्र. 21)
$\ell^p$	$\ell^q$	हाँ	हाँ	हाँ (प्र. 13)
$\ell^\infty$	$\supsetneq\ell^1$	नहीं	नहीं	नहीं

हस्ताक्षर: $c_0$ — उसका द्विद्वैत $\ell^\infty$ है: पहला अस्वद्वैती चरण (प्रश्न 14); $\ell^1$ — शूर गुण (प्रश्न 20); $\ell^p$ — स्वद्वैतता और दुर्बल संहतता (प्रश्न 7, 13); $\ell^\infty$ — अपृथक्करणीयता और बानाख सीमाएँ: ऐसे फलनक जिन्हें कोई अनुक्रम निरूपित नहीं कर सकता (प्रश्न 8, 10–11)। एक ही समष्टि-कुल, चार भिन्न जगत।

23. $\norm{x - f_k} \to d$ के साथ $(f_k) \subseteq F$ लीजिए। तब $\norm{f_k} \leq \norm x + \sup_k\norm{x - f_k}$ : परिबद्ध, अतः प्रश्न 13 से कोई उपानुक्रम $f_{k_j} \rightharpoonup f$ । यदि $f \notin F$ हो, तो $\delta = \operatorname{dist}(f, F) > 0$ ( $F$ संवृत); और $F \oplus \R f$ पर रैखिक रूप $\lambda(g + tf) = t$ $\abs{\lambda(u)} \leq \norm u/\delta$ संतुष्ट करता है (क्योंकि $\norm{g + tf} \geq \abs t\,\delta$ ), तथा हान–बानाख उसे $\Lambda\restriction_F = 0$ , $\Lambda(f) = 1$ वाले $\Lambda \in (\ell^p)'$ तक बढ़ा देती है; पर तब $0 = \Lambda(f_{k_j}) \to \Lambda(f) = 1$ : विरोधाभास। अतः $f \in F$ , और $x - f_{k_j} \rightharpoonup x - f$ प्रश्न 17 से

d \leq \norm{x - f} \leq \liminf_j\,\norm{x - f_{k_j}} = d :

दे देता है: दूरी $f$ पर प्राप्त हो जाती है। $c_0$ में: प्रत्येक $x \neq 0$ के लिए $\abs{\Lambda(x)} \leq \sum_n2^{-n}\abs{x_n} < \norm x_\infty$ (कोई शून्येतर अकिंचन अनुक्रम सभी $n$ के लिए $\abs{x_n} = \norm x_\infty$ संतुष्ट नहीं कर सकता), जबकि कर्तित $(1, \dots, 1, 0, \dots)$ $\Lambda = 1 - 2^{-N} \to 1$ देते हैं: अतः $\norm\Lambda = 1$ , जो कभी प्राप्त नहीं होती। दूरी सूत्र: $f \in \ker\Lambda$ के लिए $\abs{\Lambda(x)} = \abs{\Lambda(x - f)} \leq \norm{x - f}$ , अतः $\operatorname{dist}(x, \ker\Lambda) \geq \abs{\Lambda(x)}$ ; और विलोमतः इकाई गोले में $\Lambda(u) \geq 1 - \varepsilon$ वाले $u$ के लिए सदिश $f = x - \frac{\Lambda(x)}{\Lambda(u)}u$ $\ker\Lambda$ में $\norm{x - f} \leq \frac{\abs{\Lambda(x)}}{1 - \varepsilon}$ के साथ होता है: अर्थात् बराबरी। यदि कोई $f \in \ker\Lambda$ उसे प्राप्त कर लेता, तो $z = x - f$ $\abs{\Lambda(z)} = \abs{\Lambda(x)} = \norm z \neq 0$ संतुष्ट करता, अतः $\Lambda$ अपना मानक $z/\norm z$ पर प्राप्त कर लेता: असंभव। अर्थात् $c_0$ का कोई ऐसा संवृत अधिसमतल जिसके कहीं भी निकटतम बिंदु नहीं हैं — स्वद्वैतता सजावट नहीं थी।

24. $y_1 = x^{(1)}$ रखिए। $y_1, \dots, y_j$ दिया हो, तो प्रत्येक प्रतिचित्रण $k \mapsto \langle y_i, x^{(k)}\rangle$ $0$ की ओर जाता है ( $y_i \in \ell^2 = (\ell^2)'$ ), अतः पिछले सूचकांक के परे ऐसा $k_{j+1}$ है कि $i = 1, \dots, j$ के लिए $\abs{\langle y_i, x^{(k_{j+1})}\rangle} \leq \frac1{j+1}$ ; इस चयन को $y_{j+1}$ कहिए। तब

\Bigl\lVert\sum_{j=1}^my_j\Bigr\rVert_2^2 = \sum_{j=1}^m\norm{y_j}_2^2 + 2\sum_{j=2}^m\sum_{i<j}\langle y_i, y_j\rangle \leq mC^2 + 2\sum_{j=2}^m\frac{j-1}j \leq mC^2 + 2m,

और $m^2$ से भाग देने पर: $\norm{\frac1m\sum_jy_j}_2^2 \leq \frac{C^2 + 2}m \to 0$ । (किसी दुर्बल सीमा $x \neq 0$ के लिए इसे $x^{(k)} - x$ पर लगाइए।) लांबिक-प्रसामान्य $(e_k)$ पर तो किसी निष्कर्षण की आवश्यकता भी नहीं: $\norm{\frac1m(e_1 + \dots + e_m)}_2 = \frac{\sqrt m}m = \frac1{\sqrt m}$ । औसत दुर्बल अभिसरण को मानक अभिसरण में बदल देते हैं: यही $\ell^2$ का बानाख–साक्स गुण है।

25. $A_mx = \frac1m\sum_{i=0}^{m-1}S^ix$ , अतः रैखिकता और विस्थापन-निश्चरता $L(A_mx) = L(x)$ दे देती हैं। किसी भी परिबद्ध $u$ और $\varepsilon > 0$ के लिए $n \geq N$ के लिए $u_n \leq \limsup u + \varepsilon$ वाला $N$ चुनिए; $(\limsup u + \varepsilon)\mathbf 1 - S^Nu \geq 0$ और $L(S^Nu) = L(u)$ पर लगाई गई धनात्मकता $L(u) \leq \limsup u + \varepsilon$ देती है, और सममित रूप से $L(u) \geq \liminf u - \varepsilon$ : अतः प्रत्येक $m$ के लिए $\liminf A_mx \leq L(x) \leq \limsup A_mx$ । यदि $x$ $T$ -आवर्ती हो, तो $A_Tx$ आवर्त माध्य $\mu$ के बराबर अचर अनुक्रम है: प्रत्येक बानाख सीमा के लिए $L(x) = \mu$ — $(1,0,0,\dots)$ पर $\frac13$ , और $(0,1,0,1,\dots)$ पर $\frac12$ , जैसा प्रश्न 12 में। खंड अनुक्रम के लिए: सम $j$ के साथ $N = 3^j$ पर अंतिम खंड सर्वथा एक है, अतः चेज़ारो माध्य $\geq \frac{3^j - 3^{j-1}}{3^j} = \frac23$ है; और विषम $j$ के साथ $N = 3^j$ पर सारे एक $\intoc0 {3^{j-1}}$ में बैठते हैं, अतः माध्य $\leq \frac13$ है। इसलिए $p(x) \geq \frac23$ और $-p(-x) = \liminf_n\frac{x_1 + \dots + x_n}n \leq \frac13$ । $M = c \oplus \R x$ पर $\Lambda_+(y + tx) = \lim y + t\,p(x)$ परिभाषित कीजिए। $p$ से प्रभुत्व: $t > 0$ के लिए उप-रैखिकता $p(tx) \leq p(y + tx) + p(-y)$ देती है, अर्थात् $p(y + tx) \geq t\,p(x) + \lim y$ (ध्यान दीजिए कि $y \in c$ के लिए $p(\pm y) = \pm\lim y$ : किसी अभिसारी अनुक्रम के चेज़ारो माध्य उसकी सीमा पर अभिसरित होते हैं); $t = -s < 0$ के लिए $p(y) \leq p(y - sx) + p(sx)$ $p(y - sx) \geq \lim y - s\,p(x)$ देता है; और $t = 0$ के लिए बराबरी है। अतः $M$ पर $\Lambda_+ \leq p$ , और हान–बानाख उसे $\ell^\infty_\R$ पर $L_+ \leq p$ तक बढ़ा देती है, जो ठीक प्रश्न 10 की भाँति कोई बानाख सीमा है ( $p$ से प्रभुत्व धनात्मकता, विस्थापन-निश्चरता और $c$ पर मान $\lim$ दे देता है), जिसमें $L_+(x) = p(x) \geq \frac23$ । $\Lambda_-(y + tx) = \lim y - t\,p(-x)$ के साथ वही परिकलन ( $t = -s < 0$ स्थिति के लिए $p(-sx) \leq p(y - sx) + p(-y)$ का उपयोग करते हुए) $L_-(x) = -p(-x) \leq \frac13$ वाली कोई बानाख सीमा $L_-$ देता है। दो बानाख सीमाएँ, एक अनुक्रम, दो मान: आवर्ती (और, अधिक व्यापक रूप से, लगभग अभिसारी) जगत के बाहर कोई बानाख सीमा सचमुच एक चयन है।