माध्य क्या है? — गणित

परिभाषा 8.3 उच्च माध्यमिक गणित · अध्याय 8 — वर्णनात्मक सांख्यिकी

श्रेणी का माध्य है

\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_N}{N}.

यदि मान $v_1, \dots, v_k$ बारंबारताओं $n_1, \dots, n_k$ के साथ आते हों, तो वही संख्या भारित माध्य के रूप में इस तरह निकाली जाती है

\bar x = \frac{n_1 v_1 + n_2 v_2 + \dots + n_k v_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k}.

उदाहरण

उदाहरण 8.4

उदाहरण 8.2 की परीक्षा के लिए:

\bar x = \frac{1 \times 0 + 2 \times 1 + 4 \times 2 + 6 \times 3 + 5 \times 4 + 2 \times 5}{20} = \frac{0 + 2 + 8 + 18 + 20 + 10}{20} = \frac{58}{20} = 2.9 .

उदाहरण 8.6

$7$ घरों के दामों की क्रमबद्ध श्रेणी (हज़ारों में): $120$ , $150$ , $160$ , $180$ , $210$ , $240$ , $900$ । माध्यिका $4$ -वाँ मान $180$ है। माध्य $\frac{1960}{7} = 280$ है — जो $7$ दामों में से $6$ से भी बड़ा है! एक चरम मान ( $900$ ) माध्य को माध्यिका की तुलना में कहीं अधिक खींच लेता है: माध्यिका सुदृढ़ है, माध्य नहीं।

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परिभाषा 17.1 उच्च माध्यमिक गणित · अध्याय 17 — वर्णनात्मक सांख्यिकी

मानों $x_1, x_2, \dots, x_n$ का माध्य है

\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}.

यदि मान $x_i$ बारंबारता $n_i$ के साथ आता हो (जहाँ $n_1 + \dots + n_k = n$ ), तो $\bar x = \frac{n_1 x_1 + \dots + n_k x_k}{n}$ ।

उदाहरण

उदाहरण 17.3

चलते आँकड़ा-समुच्चय के लिए योग $144$ है, इसलिए $\bar x = \frac{144}{12} = 12$ । बीच वाले दोनों मान (क्रमबद्ध सूची के $6$ -वाँ और $7$ -वाँ) दोनों $12$ हैं, इसलिए माध्यिका भी $12$ है। माध्य और माध्यिका का बराबर होना आवश्यक नहीं: माध्यिका इस बात की परवाह नहीं करती कि चरम मान कितनी दूर हैं, माध्य करता है। सबसे ऊपर के अंक $17$ के स्थान पर $20$ रख दीजिए तो माध्य $12.25$ हो जाता है, पर माध्यिका $12$ ही रहती है।

उदाहरण 17.8

चलते आँकड़ा-समुच्चय के लिए $\bar x = 12$ से विचलन $-4$ , $-3$ , $-2$ , $-2$ , $-1$ , $0$ , $0$ , $0$ , $1$ , $2$ , $4$ , $5$ हैं; उनके वर्गों का योग है

16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 4 + 16 + 25 = 80 .

अतः

V = \frac{80}{12} = \frac{20}{3} \approx 6.67, \qquad \sigma = \sqrt{20/3} \approx 2.6 \text{ अंक}.

मोटे तौर पर कहें तो कोई प्रारूपिक अंक माध्य से लगभग $2.6$ अंक दूर बैठा है।

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