Qu'est-ce que « Moyenne » ? — Mathématiques

Définition 8.3 Mathématiques du lycée · Chapitre 8 — Statistique descriptive

La moyenne de la série est

\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_N}{N}.

Si les valeurs $v_1, \dots, v_k$ apparaissent avec les effectifs $n_1, \dots, n_k$ , le même nombre se calcule comme la moyenne pondérée

\bar x = \frac{n_1 v_1 + n_2 v_2 + \dots + n_k v_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k}.

Exemples

Exemple 8.4

Pour le quiz de l’Exemple 8.2 :

\bar x = \frac{1 \times 0 + 2 \times 1 + 4 \times 2 + 6 \times 3 + 5 \times 4 + 2 \times 5}{20} = \frac{0 + 2 + 8 + 18 + 20 + 10}{20} = \frac{58}{20} = 2.9 .

Exemple 8.6

Série triée de $7$ prix de maisons (en milliers) : $120$ , $150$ , $160$ , $180$ , $210$ , $240$ , $900$ . La médiane est la $4$ -ième valeur, $180$ . La moyenne est $\frac{1960}{7} = 280$ — plus grande que $6$ des $7$ prix ! Une valeur extrême ( $900$ ) tire la moyenne bien plus que la médiane : la médiane est robuste, la moyenne ne l’est pas.

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Définition 17.1 Mathématiques du lycée · Chapitre 17 — Statistique descriptive

La moyenne des valeurs $x_1, x_2, \dots, x_n$ est

\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}.

Si la valeur $x_i$ apparaît avec l’effectif $n_i$ (avec $n_1 + \dots + n_k = n$ ), alors $\bar x = \frac{n_1 x_1 + \dots + n_k x_k}{n}$ .

Exemples

Exemple 17.3

Pour le jeu fil rouge, la somme est $144$ , donc $\bar x = \frac{144}{12} = 12$ . Les deux valeurs centrales ( $6$ -ième et $7$ -ième de la liste triée) sont toutes deux $12$ , donc la médiane est $12$ aussi. Moyenne et médiane n’ont pas besoin de coïncider : la médiane ignore à quel point les valeurs extrêmes sont éloignées, la moyenne non. Remplacer la note haute $17$ par $20$ déplace la moyenne à $12.25$ mais laisse la médiane à $12$ .

Exemple 17.8

Pour le jeu fil rouge, les écarts à $\bar x = 12$ sont $-4$ , $-3$ , $-2$ , $-2$ , $-1$ , $0$ , $0$ , $0$ , $1$ , $2$ , $4$ , $5$ ; leurs carrés somment à

16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 4 + 16 + 25 = 80 .

D’où

V = \frac{80}{12} = \frac{20}{3} \approx 6.67, \qquad \sigma = \sqrt{20/3} \approx 2.6 \text{ points}.

En gros, une note typique se situe à environ $2.6$ points de la moyenne.

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