ما معنى المتوسط الحسابي؟ — الرياضيات

تعريف 8.3 رياضيات المرحلة الثانوية · الفصل 8 — الإحصاء الوصفي

المتوسط الحسابي للسلسلة هو

\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_N}{N}.

وإذا ظهرت القيم $v_1, \dots, v_k$ بتكرارات $n_1, \dots, n_k$ ، حُسب العدد نفسه على صورة المتوسط المرجّح

\bar x = \frac{n_1 v_1 + n_2 v_2 + \dots + n_k v_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k}.

أمثلة

مثال 8.4

من أجل الاختبار في المثال 8.2:

\bar x = \frac{1 \times 0 + 2 \times 1 + 4 \times 2 + 6 \times 3 + 5 \times 4 + 2 \times 5}{20} = \frac{0 + 2 + 8 + 18 + 20 + 10}{20} = \frac{58}{20} = 2.9 .

مثال 8.6

سلسلة مرتَّبة لأسعار $7$ منازل (بالآلاف): $120$ و $150$ و $160$ و $180$ و $210$ و $240$ و $900$ . الوسيط هو القيمة الرابعة، $180$ . أما المتوسط الحسابي فهو $\frac{1960}{7} = 280$ — وهو أكبر من $6$ من الأسعار السبعة! فقيمة متطرفة واحدة ( $900$ ) تجرّ المتوسط أكثر بكثير من الوسيط: فالوسيط صامد والمتوسط ليس كذلك.

اقرأ في الفصل ←

تعريف 17.1 رياضيات المرحلة الثانوية · الفصل 17 — الإحصاء الوصفي

المتوسط الحسابي للقيم $x_1, x_2, \dots, x_n$ هو

\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}.

وإذا ظهرت القيمة $x_i$ بتواتر $n_i$ (حيث $n_1 + \dots + n_k = n$ )، فإن $\bar x = \frac{n_1 x_1 + \dots + n_k x_k}{n}$ .

أمثلة

مثال 17.3

في معطياتنا المتواصلة، المجموع هو $144$ ، إذن $\bar x = \frac{144}{12} = 12$ . والقيمتان الوسطيان (رقم $6$ ورقم $7$ في القائمة المرتَّبة) كلتاهما $12$ ، فالوسيط هو $12$ أيضًا. وليس من الضروري أن يتطابق المتوسط والوسيط: فالوسيط يتجاهل كم تبعد القيم المتطرفة، أما المتوسط فلا. واستبدال $20$ بالعلامة العليا $17$ ينقل المتوسط إلى $12.25$ لكنه يترك الوسيط عند $12$ .

مثال 17.8

في معطياتنا المتواصلة، الانحرافات عن $\bar x = 12$ هي $-4$ و $-3$ و $-2$ و $-2$ و $-1$ و $0$ و $0$ و $0$ و $1$ و $2$ و $4$ و $5$ ؛ ومجموع مربعاتها

16 + 9 + 4 + 4 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 4 + 16 + 25 = 80 .

ومنه

V = \frac{80}{12} = \frac{20}{3} \approx 6.67, \qquad \sigma = \sqrt{20/3} \approx 2.6 \text{ علامة}.

وبعبارة تقريبية، تبتعد العلامة النموذجية نحو $2.6$ علامة عن المتوسط.

اقرأ في الفصل ←

أمثلة

أمثلة

مصطلحات ذات صلة