17वर्णनात्मक सांख्यिकी

हल — समस्या 17.1.

1. माध्य $\bar x = \frac{25}{5} = 5$। वर्ग किए गए विचलन: $1, 9, 1, 0, 9$: प्रसरण $\frac{20}{5} = 4$, इसलिए $\sigma = 2$।

2. वर्गों का माध्य: $\frac{16 + 64 + 36 + 25 + 4}{5} = 29$; घटा $\bar x^2 = 25$: प्रसरण $4$। वही उत्तर, आधे काम में।

3. माध्य $= \frac{3 \times 8 + 5 \times 10 + 2 \times 14}{10} = 10.2$; प्रसरण $= \frac{3 \times 64 + 5 \times 100 + 2 \times 196}{10} - 10.2^2 = 108.4 - 104.04 = 4.36$; $\sigma \approx 2.09$।

4. माध्य: $1.8 \times 20 + 32 = 68\,^\circ$F; $\sigma$: $1.8 \times 3 = 5.4\,^\circ$F — खिसकाव $+32$ कुछ भी नहीं फैलाता।

5. $b$ जोड़ने पर: हर विचलन $x_i + b - (\bar x + b) = x_i - \bar x$ अपरिवर्तित रहता है, इसलिए प्रसरण भी। $a$ से गुणा करने पर: विचलन $a$ गुने हो जाते हैं, उनके वर्ग $a^2$ गुने, प्रसरण $a^2$ गुना, और $\sigma$ $\sqrt{a^2} = \abs a$ गुना।

6. $z_A = \frac{15 - 12}{2} = 1.5$; $z_B = \frac{13 - 8}{4} = 1.25$। ऐलिस अपनी भीड़ से अधिक ऊपर खड़ी है: कठिन परीक्षा का $15$ आसान परीक्षा के $13$ को हरा देता है।

7. $z$-मान: $-0.5,\ 1.5,\ 0.5,\ 0,\ -1.5$: माध्य $0$, मानक विचलन $1$। सामान्य रूप से मानकीकरण पहले $\bar x$ घटाता है (जिससे माध्य $0$ हो जाता है और $\sigma$ अछूता रहता है) और फिर $\sigma$ से भाग देता है (जिससे नया $\sigma$ $1$ हो जाता है): यानी प्रश्न 5, दो बार।

8. $z = 2$: $100 + 2 \times 15 = 130$। और $z(76) = \frac{76 - 100}{15} = -1.6$।

9. शिशु अपनी आयु के शिशुओं के माध्य भार से $2.5$ मानक विचलन नीचे है — अपने समूह के लिए चिंताजनक रूप से हल्का। कच्चे किलोग्राम अलग-अलग आयु के बीच तुलना नहीं करा सकते (हर शिशु भार बढ़ाता है); z-मान हर बच्चे को उसके अपने आयु-समूह के सामने नापते हैं, और सब आयु के लिए एक ही पैमाना देते हैं।

10. माध्य $5$; वर्गों का माध्य $\frac{622}{10} = 62.2$, प्रसरण $37.2$, $\sigma \approx 6.10$; $z(23) = \frac{18}{6.10} \approx 2.95$: ख़तरे की सीमा से ज़रा नीचे — परीक्षण मुश्किल से पलक झपकता है।

11. $23$ के बिना: माध्य $3$, प्रसरण $\frac{93}{9} - 9 \approx 1.33$, $\sigma \approx 1.15$; स्वच्छ पैमाने के सामने $23$ का मान $z \approx \frac{20}{1.15} \approx 17$ बनता है: एक दैत्य। बहिर्मान ने माध्य और $\sigma$ दोनों को फुला दिया और स्वयं को छिपा लिया — इसीलिए अभ्यास 17.10 दूषण का ख़तरा होने पर सुदृढ़ सारांश (माध्यिका, अंतर-चतुर्थक परास) की सलाह देता है।

12. प्रसरण के योग $\sigma^2 = \frac1N \sum (x_i - \bar x)^2$ में केवल वे पद रखिए जिनके लिए $\abs{x_i - \bar x} \geq k\sigma$ हो: ऐसे $pN$ पद हैं, और हर एक कम से कम $(k\sigma)^2$ है, इसलिए $\sigma^2 \geq \frac{1}{N} \cdot pN \cdot k^2\sigma^2 = p\,k^2\sigma^2$: $k^2 \sigma^2$ से भाग दीजिए (प्रसार शून्येतर): $p \leq \frac{1}{k^2}$।

13. $2\sigma$ से आगे: किसी भी आँकड़ा-समुच्चय का अधिक से अधिक $\frac14 = 25\,\%$; $3\sigma$ से आगे: अधिक से अधिक $\frac19 \approx 11\,\%$। प्रश्न 1 के आँकड़े: माध्य $5$ से $2\sigma = 4$ से आगे का अर्थ है $\leq 1$ या $\geq 9$: पाँचों में से कोई नहीं — $0\,\% \leq 25\,\%$, जैसा वादा था।

14. $\intcc{49.7}{50.3}$ के बाहर होने का अर्थ है $3\sigma$ से आगे: उत्पादन का अधिक से अधिक $\frac19$, और बंटन की आकृति चाहे जो हो — चेबिशेव माध्य और $\sigma$ के सिवा कुछ नहीं माँगता। घंटी-आकार वाला उत्पादन कहीं बेहतर सिमटता है ($3\sigma$ से आगे लगभग $0.3\,\%$): यही प्रसामान्य नियम है, कक्षा 12 में।

15. $-19\,\%$ माध्य $5$ से $24$ अंक नीचे है। निधि B: $24 = 2\sigma_B$: चेबिशेव इतने बुरे वर्षों को $\frac14$ तक की छूट देता है। निधि A: $24 = 12\sigma_A$: अधिक से अधिक $\frac{1}{144}$। एक ही औसत, पर ख़तरे की तुलना ही नहीं हो सकती — $\sigma$ को ही वित्त में जोखिम (या अस्थिरता) कहा जाता है।

16. $\bar x$ के परितः प्रसार कीजिए: $(x_i - c)^2 = \left((x_i - \bar x) + (\bar x - c)\right)^2 = (x_i - \bar x)^2 + 2(\bar x - c)(x_i - \bar x) + (\bar x - c)^2$। औसत लेने पर बीच वाला पद मर जाता है (माध्य से विचलनों का योग शून्य है), और $f(c) = \sigma^2 + (\bar x - c)^2$ बचता है — जो ठीक $c = \bar x$ पर न्यूनतम है, और उसका न्यूनतम मान $\sigma^2$ है। माध्य न्यूनतम-वर्ग वाला केंद्र है, जैसे माध्यिका न्यूनतम-निरपेक्ष वाला केंद्र है (समस्या 8.1)।

17. सीधे: $6$ से विचलन $-2, 2, 0, -1, -4$ हैं, वर्ग $4, 4, 0, 1, 16$: $f(6) = \frac{25}{5} = 5$। सूत्र से: $\sigma^2 + (5 - 6)^2 = 4 + 1 = 5$। मेल हो गया।

18. दोनों का माध्य $7$ है; प्रसरण: $P$: $\frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = 8$; $Q$: $\frac{36 + 0 + 0 + 0 + 36}{5} = 14.4$: एक ही माध्य के पीछे अलग-अलग प्रसार। $\{7 - a, 7, 7, 7, 7 + a\}$ के लिए: प्रसरण $\frac{2a^2}{5} = 8$ से $a = \sqrt{20} \approx 4.47$ मिलता है: आँकड़ा-समुच्चय $\{2.53, 7, 7, 7, 11.47\}$ $P$ का ठीक वही माध्य और प्रसरण उठाए हुए है पर उसका रूप बिलकुल अलग है — सारांश दबाते हैं, और दबाव में कुछ खोता है।

19. $\sigma^2 = 0$ का अर्थ है कि वर्गों का योग $(x_i - \bar x)^2$ लुप्त हो जाता है; वर्ग $\geq 0$ होते हैं, इसलिए शून्य योग हर पद को शून्य होने पर मजबूर कर देता है: सभी $i$ के लिए $x_i = \bar x$ — यानी सारे मान बराबर।

20. केंद्र बताते हैं कि आँकड़े कहाँ रहते हैं; प्रसार बताते हैं कि कितने ढीले-ढाले; z-मान सभी आँकड़ा-समुच्चयों, परीक्षाओं, आयु-समूहों और मुद्राओं पर एक ही पैमाना रख देता है; चेबिशेव $\sigma$ को एक बेशर्त गारंटी में बदल देता है; और प्रश्न 18 हमें ईमानदार रखता है — चंद संख्याएँ कभी पूरी कहानी नहीं समेटतीं। अगले वर्ष घंटी-वक्र इस पैमाने को यथार्थ प्रायिकताओं में पैना कर देगा।