उच्च माध्यमिक गणित · Cursos 10–12

8वर्णनात्मक सांख्यिकी

सांख्यिकी संख्याओं के किसी बड़े संग्रह — अंक, वेतन, तापमान — को कुछ सोच-समझकर चुने गए सूचकों में समेट देती है। यह अध्याय सूचकों के दो परिवार प्रस्तुत करता है: वे जो आँकड़ों का केंद्र बताते हैं (माध्य, माध्यिका) और वे जो उसका प्रसार नापते हैं (परास, चतुर्थक)। मानक विचलन सहित इसका गहरा उपचार अध्याय 17 में आता है।

8.1 आँकड़े और आपेक्षिक बारंबारताएँ

परिभाषा 8.1 (सांख्यिकीय श्रेणी)

सांख्यिकीय श्रेणी $N$ आकार की किसी समष्टि पर प्रेक्षित मानों $x_1, x_2, \dots, x_N$ की सूची है। जब कोई मान $x$ $n$ बार आता है, तब $n$ उसकी बारंबारता है और भागफल

f = \frac{n}{N}

उसकी आपेक्षिक बारंबारता है (जिसे प्रायः प्रतिशत में लिखा जाता है)। सभी मानों की आपेक्षिक बारंबारताओं का योग $1$ होता है।

उदाहरण 8.2

$5$ अंकों की एक लघु परीक्षा में $20$ विद्यार्थियों के अंक:

अंक $x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
बारंबारता $n$	$1$	$2$	$4$	$6$	$5$	$2$
आपेक्षिक बारंबारता $f$	$0.05$	$0.10$	$0.20$	$0.30$	$0.25$	$0.10$

जाँच: $1 + 2 + 4 + 6 + 5 + 2 = 20$ , और आपेक्षिक बारंबारताओं का योग $1$ है।

परीक्षा के अंकों का दंड आरेख: हर मान के लिए एक दंड, जिसकी ऊँचाई बारंबारता के बराबर है।

8.2 केंद्र के माप

परिभाषा 8.3 (माध्य)

श्रेणी का माध्य है

\bar x = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_N}{N}.

यदि मान $v_1, \dots, v_k$ बारंबारताओं $n_1, \dots, n_k$ के साथ आते हों, तो वही संख्या भारित माध्य के रूप में इस तरह निकाली जाती है

\bar x = \frac{n_1 v_1 + n_2 v_2 + \dots + n_k v_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k}.

उदाहरण 8.4

उदाहरण 8.2 की परीक्षा के लिए:

\bar x = \frac{1 \times 0 + 2 \times 1 + 4 \times 2 + 6 \times 3 + 5 \times 4 + 2 \times 5}{20} = \frac{0 + 2 + 8 + 18 + 20 + 10}{20} = \frac{58}{20} = 2.9 .

परिभाषा 8.5 (माध्यिका)

माध्यिका वह मान है जो क्रमबद्ध श्रेणी को दो हिस्सों में बाँट देता है: कम से कम आधे मान माध्यिका $\leq$ हैं और कम से कम आधे उससे $\geq$ हैं। व्यवहार में $N$ मानों को क्रम में लगाइए; तब

यदि $N$ विषम हो, तो माध्यिका बीच वाला मान है, जो स्थान $\frac{N+1}{2}$ पर है;
यदि $N$ सम हो, तो बीच वाले दोनों मानों का मध्यबिंदु लीजिए, जो स्थान $\frac N2$ और $\frac N2 + 1$ पर हैं।

उदाहरण 8.6

$7$ घरों के दामों की क्रमबद्ध श्रेणी (हज़ारों में): $120$ , $150$ , $160$ , $180$ , $210$ , $240$ , $900$ । माध्यिका $4$ -वाँ मान $180$ है। माध्य $\frac{1960}{7} = 280$ है — जो $7$ दामों में से $6$ से भी बड़ा है! एक चरम मान ( $900$ ) माध्य को माध्यिका की तुलना में कहीं अधिक खींच लेता है: माध्यिका सुदृढ़ है, माध्य नहीं।

8.3 प्रसार के माप

परिभाषा 8.7 (परास, चतुर्थक)

किसी क्रमबद्ध श्रेणी के लिए:

परास सबसे बड़े और सबसे छोटे मान का अंतर है;
प्रथम चतुर्थक $Q_1$ वह सबसे छोटा मान है जिसके लिए कम से कम एक चौथाई ( $25\%$ ) मान $\leq Q_1$ हों; तृतीय चतुर्थक $Q_3$ वह सबसे छोटा मान है जिसके लिए कम से कम तीन चौथाई ( $75\%$ ) मान $\leq Q_3$ हों;
अंतर-चतुर्थक परास $Q_3 - Q_1$ आँकड़ों के मध्य आधे भाग का प्रसार नापता है।

विधि 8.8 (चतुर्थक ज्ञात करना)

$N$ क्रमबद्ध मानों की श्रेणी के लिए:

$\frac N4$ निकालिए; यदि वह पूर्णांक न हो तो उसे अगले पूर्णांक तक ऊपर पूर्णांकित कीजिए; उस स्थान का मान $Q_1$ है;
$\frac{3N}{4}$ निकालिए; आवश्यकता हो तो ऊपर पूर्णांकित कीजिए; उस स्थान का मान $Q_3$ है।

उदाहरण 8.9

$11$ क्रमबद्ध मान लीजिए:

2,\ 3,\ 5,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 9,\ 10,\ 12 .

माध्यिका: स्थान $\frac{11+1}{2} = 6$ , इसलिए माध्यिका $7$ है। $Q_1$ : $\frac{11}{4} = 2.75$ , ऊपर पूर्णांकित करके $3$ ; $3$ -वाँ मान $5$ है। $Q_3$ : $\frac{33}{4} = 8.25$ , ऊपर पूर्णांकित करके $9$ ; $9$ -वाँ मान $9$ है। परास: $12 - 2 = 10$ ; अंतर-चतुर्थक परास: $9 - 5 = 4$ ।

का बक्सा-आरेख: बक्सा अंतर-चतुर्थक अंतराल [Q_1, Q_3] में फैला है और आँकड़ों का मध्य आधा भाग समेटे है; मूँछें चरम मानों तक पहुँचती हैं। — उदाहरण 8.9 का बक्सा-आरेख: बक्सा अंतर-चतुर्थक अंतराल $\intcc{Q_1}{Q_3}$ में फैला है और आँकड़ों का मध्य आधा भाग समेटे है; मूँछें चरम मानों तक पहुँचती हैं।

उदाहरण 8.10 (दो समूहों की तुलना)

दो कक्षाएँ एक ही परीक्षा देती हैं ( $20$ में से अंक):

	माध्यिका	$Q_1$	$Q_3$
कक्षा A	$12$	$10$	$14$
कक्षा B	$12$	$6$	$17$

माध्यिका एक ही, पर प्रसार बहुत भिन्न: कक्षा A समरूप है (उसके आधे अंक $\intcc{10}{14}$ में), कक्षा B विषम (उसका मध्य आधा भाग $\intcc{6}{17}$ में फैला है)। अकेले केंद्र के सूचक कभी पूरी कहानी नहीं कहते।

टिप्पणी 8.11

न माध्य “बेहतर” है, न माध्यिका: माध्य हर मान का उपयोग करता है (और कुल निकालने के लिए वही चाहिए), जबकि माध्यिका चरम मानों के आगे टिकी रहती है। किसी श्रेणी का गंभीर सारांश कम से कम एक केंद्र-सूचक और एक प्रसार-सूचक अवश्य देता है।

8.4 अभ्यास

अभ्यास 8.1 ★

$15$ विद्यार्थियों ने एक वर्ष में जितनी पुस्तकें पढ़ीं उनकी संख्याएँ ये हैं:

0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 2,\ 3,\ 3,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 12 .

इस श्रेणी का माध्य, माध्यिका और परास निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 8.1.

योग: $0+1+1+2+2+2+3+3+4+4+5+6+7+8+12 = 60$ , इसलिए माध्य $\frac{60}{15} = 4$ है। श्रेणी पहले से क्रमबद्ध है और $N = 15$ विषम है: माध्यिका $8$ -वाँ मान $3$ है। परास: $12 - 0 = 12$ ।

अभ्यास 8.2 ★

एक पासा $50$ बार फेंका गया:

परिणाम	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
बारंबारता	$7$	$9$	$8$	$10$	$6$	$10$

हर परिणाम की आपेक्षिक बारंबारता और माध्य परिणाम निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 8.2.

आपेक्षिक बारंबारताएँ: $\frac{7}{50} = 0.14$ , $\frac{9}{50} = 0.18$ , $\frac{8}{50} = 0.16$ , $\frac{10}{50} = 0.20$ , $\frac{6}{50} = 0.12$ , $\frac{10}{50} = 0.20$ (योग $1$ )। माध्य परिणाम:

\bar x = \frac{7 \times 1 + 9 \times 2 + 8 \times 3 + 10 \times 4 + 6 \times 5 + 10 \times 6}{50} = \frac{7 + 18 + 24 + 40 + 30 + 60}{50} = \frac{179}{50} = 3.58 .

अभ्यास 8.3 ★

क्रमबद्ध श्रेणी

1,\ 2,\ 4,\ 4,\ 5,\ 6,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 9,\ 11 \qquad (N = 12),

की माध्यिका, $Q_1$ और $Q_3$ ज्ञात कीजिए और उसका बक्सा-आरेख खींचिए।

हल

हल — अभ्यास 8.3.

$N = 12$ (सम): माध्यिका $6$ -वें और $7$ -वें मानों का मध्यबिंदु है, और दोनों $6$ हैं: माध्यिका $6$ ।

$Q_1$ : $\frac{12}{4} = 3$ , इसलिए $Q_1$ $3$ -वाँ मान है: $4$ ।

$Q_3$ : $\frac{3 \times 12}{4} = 9$ , इसलिए $Q_3$ $9$ -वाँ मान है: $8$ ।

बक्सा-आरेख: बक्सा $4$ से $8$ तक, बीच में $6$ पर माध्यिका की पट्टी, और मूँछें $1$ से $11$ तक।

अभ्यास 8.4 ★

$24$ परीक्षा-अंकों का माध्य $11.5$ है। $25$ -वाँ विद्यार्थी परीक्षा देता है और $19$ अंक पाता है। कक्षा का नया माध्य क्या है?

हल

हल — अभ्यास 8.4.

$24$ अंकों का योग $24 \times 11.5 = 276$ है। नए अंक के साथ $25$ विद्यार्थियों का योग $276 + 19 = 295$ हो जाता है: नया माध्य $\frac{295}{25} = 11.8$ ।

अभ्यास 8.5 ★★

$5$ परीक्षाओं के बाद, जिनका भार समान है, किसी विद्यार्थी का माध्य $12$ है। $6$ -वीं परीक्षा में कितने अंक माध्य को $13$ तक ले जाएँगे? क्या $14$ का माध्य संभव है (अंक $20$ में से हैं)?

हल

हल — अभ्यास 8.5.

अभी का योग: $5 \times 12 = 60$ । $6$ परीक्षाओं पर $13$ का माध्य पाने के लिए योग $78$ चाहिए, इसलिए $6$ -वें अंक $78 - 60 = 18$ होने चाहिए। $14$ के माध्य के लिए $84 - 60 = 24 > 20$ चाहिए: वह असंभव है।

अभ्यास 8.6 ★★

$7$ अऋणात्मक मानों की ऐसी श्रेणी बनाइए जिसकी माध्यिका $10$ हो और माध्य $20$ से बड़ा; फिर ऐसी जिसकी माध्यिका $10$ हो और माध्य $6$ से छोटा। ऐसी श्रेणी का माध्य $\frac{40}{7}$ से छोटा कभी क्यों नहीं हो सकता? ये उदाहरण क्या दिखाते हैं?

हल

हल — अभ्यास 8.6.

माध्य $20$ से बड़ा: जैसे $1,\ 2,\ 3,\ 10,\ 40,\ 50,\ 60$ — माध्यिका $10$ ( $4$ -वाँ क्रमबद्ध मान), माध्य $\frac{166}{7} \approx 23.7$ ।

माध्य $6$ से छोटा: जैसे $0,\ 0,\ 0,\ 10,\ 10,\ 10,\ 10$ — माध्यिका $10$ , माध्य $\frac{40}{7} \approx 5.7$ ।

माध्य $\frac{40}{7}$ से नीचे नहीं जा सकता: माध्यिका ( $4$ -वाँ क्रमबद्ध मान) $10$ होने के लिए स्थान $4$ से $7$ तक के सभी मानों का $\geq 10$ होना आवश्यक है, इसलिए योग कम से कम $40$ है और माध्य कम से कम $\frac{40}{7}$ — दूसरा उदाहरण चरम स्थिति है।

ये उदाहरण दिखाते हैं कि माध्य और माध्यिका काफ़ी हद तक एक-दूसरे से स्वतंत्र हैं: एक जान लेने से दूसरे के बारे में कम ही पता चलता है, और इसीलिए अच्छा सारांश दोनों बताता है।

अभ्यास 8.7 ★★

किसी कंपनी में $9$ कर्मचारी प्रति माह $1800$ कमाते हैं और निदेशक $12000$ ।

माध्य और माध्यिका वेतन निकालिए।
यहाँ “प्रारूपिक” वेतन का सबसे अच्छा वर्णन कौन-सा सूचक करता है? क्यों?

हल

हल — अभ्यास 8.7.

1. माध्य: $\frac{9 \times 1800 + 12000}{10} = \frac{16200 + 12000}{10} = 2820$ । माध्यिका: क्रम में लगाने पर $10$ वेतन नौ बार $1800$ और फिर $12000$ हैं; माध्यिका $5$ -वें और $6$ -वें मानों का मध्यबिंदु है, और दोनों $1800$ हैं: माध्यिका $1800$ ।

2. माध्यिका ( $1800$ ) प्रारूपिक वेतन बताती है: $10$ में से $9$ कर्मचारी सचमुच यही कमाते हैं। माध्य ( $2820$ ) को अकेला ऊँचा वेतन खींच ले जाता है और वह किसी की भी वेतन-पर्ची से मेल नहीं खाता।

अभ्यास 8.8 ★★

$12$ लड़कों की एक कक्षा की माध्य लंबाई $168$ cm है; उसी कक्षा की $18$ लड़कियों की माध्य लंबाई $163$ cm है। पूरी कक्षा की माध्य लंबाई निकालिए। (सावधान: वह $168$ और $163$ का मध्यबिंदु नहीं है — माध्यों को समूह के आकार से भारित कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 8.8.

कुल लंबाई: $30$ विद्यार्थियों के लिए $12 \times 168 + 18 \times 163 = 2016 + 2934 = 4950$ cm, इसलिए माध्य $\frac{4950}{30} = 165$ cm है। वह लड़कियों के माध्य के अधिक पास है क्योंकि वे अधिक संख्या में हैं (भारित माध्य, भार $12$ और $18$ )।

अभ्यास 8.9 ★★★

$N$ मानों $x_1, \dots, x_N$ की श्रेणी का माध्य $\bar x$ है। हर मान को नियत संख्याओं $a$ और $b$ के लिए $y_i = a x_i + b$ में बदल दिया जाता है।

दिखाइए कि नई श्रेणी का माध्य $a \bar x + b$ है।
किसी सप्ताह के तापमानों का माध्य सेल्सियस में $20$ है। फ़ारेनहाइट में उनका माध्य क्या है ( $F = 1.8\,C + 32$ )?

हल

हल — अभ्यास 8.9.

1. नया माध्य है

\bar y = \frac{y_1 + \dots + y_N}{N} = \frac{(a x_1 + b) + \dots + (a x_N + b)}{N} = \frac{a(x_1 + \dots + x_N) + Nb}{N} = a \bar x + b .

2. $a = 1.8$ और $b = 32$ के साथ: माध्य $1.8 \times 20 + 32 = 68$ डिग्री फ़ारेनहाइट।

8.5 समस्या: औसत व्यक्ति होता ही नहीं

समस्या 8.1

सप्ताहांत समस्या — माध्य बनाम माध्यिका: बहिर्मान, अंक-सुधार, सड़क किनारे का गोदाम, और वह कॉकपिट जो किसी के लिए नहीं बना

1950 में एक वायुसेना ने $4\,000$ वैमानिकों के शरीर की दस माप-राशियाँ नापीं और कॉकपिट औसत आदमी के लिए बनाया। एक लेफ़्टिनेंट ने गिनकर पाया कि वह असल में लगभग किसी पर भी ठीक नहीं बैठता था। सांख्यिकी भीड़ को अकेली-अकेली संख्याओं में समेटती है, और हर सारांश किसी बात का सच बताता है तथा किसी और बात पर झूठ बोलता है। यह समस्या माध्य और माध्यिका (परिभाषा 8.3, परिभाषा 8.5) को कठघरे में खड़ा करती है, दोनों को अपनी-अपनी सर्वोत्तम बात दिखाने देती है, और कॉकपिट का मुक़दमा बंद करती है।

भाग I — दो सारांश कठघरे में।

एक गली में सात घर बिकते हैं, हज़ार यूरो में: $200$ , $210$ , $220$ , $230$ , $240$ , $250$ — और एक हवेली $1\,200$ की। माध्य और माध्यिका दाम निकालिए। “इस गली का एक घर” कौन-सी संख्या बताती है?
हवेली हटाकर दोनों फिर से निकालिए। हर सारांश कितना खिसका? बहिर्मानों के बारे में सीख बताइए।
जनगणना की एक सारणी: $100$ परिवारों में से $20$ के कोई संतान नहीं, $25$ के एक, $30$ के दो, $15$ के तीन और $10$ के चार हैं। संतानों की माध्य संख्या निकालिए। किसी परिवार में “ $1.7$ संतानें” नहीं होतीं — तो माध्य कौन-सी वास्तविक राशि समेटे है? (उसे $100$ से गुणा कीजिए।)
पंद्रह अंकों $4, 6, 7, 8, 9, 10, 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 17, 19$ के लिए माध्यिका और चतुर्थक $Q_1$ , $Q_3$ ज्ञात कीजिए (विधि 8.8)।
उसी श्रेणी के लिए परास और अंतर-चतुर्थक परास बताइए। हर एक क्या नापता है?

भाग II — अंक-सुधार और मिली हुई कक्षाएँ।

अभ्यास 8.9 से: हर मान में $+b$ जोड़ने पर माध्य, माध्यिका और चतुर्थक भी $+b$ खिसक जाते हैं; $a$ से गुणा करने पर वे $a$ गुने हो जाते हैं। खिसकाने पर परास और अंतर-चतुर्थक परास का क्या होता है? गुणा करने पर? पुष्ट कीजिए।
किसी परीक्षा का माध्य $9$ है ( $20$ में से) और अध्यापक $12$ माध्य चाहते हैं। दो सुधार सुझाए जाते हैं: सबको $3$ अंक जोड़ देना, या हर अंक को $\frac43$ से गुणा कर देना। हर सुधार के अधीन $6$ वाले और $18$ वाले विद्यार्थी का भाग्य निकालिए। कौन-सा सुधार किसके पक्ष में जाता है — और किसमें ऊपरी सीमा की समस्या है?
कक्षा A ( $20$ विद्यार्थी) का माध्य $12$ है; कक्षा B ( $30$ विद्यार्थी) का माध्य $10$ । दोनों को मिलाकर $50$ विद्यार्थियों का माध्य निकालिए, और समझाइए कि वह $11$ क्यों नहीं है (माध्यमिक विद्यालय खंड की हरात्मक-माध्य वाली सप्ताहांत समस्या का भारित-औसत वाला पाठ, अब कक्षा में)।
दिखाइए कि माध्यिकाएँ यह खेल खेलने से मना कर देती हैं: $A = \{1, 2, 3\}$ और $B = \{0, 10\}$ की माध्यिकाएँ निकालिए, फिर दोनों को मिलाकर बनी सूची की माध्यिका, और उसकी तुलना दोनों माध्यिकाओं के आकार-भारित औसत से कीजिए।
स्केटिंग: पाँच निर्णायक $5.2$ , $5.3$ , $5.4$ , $5.5$ , $9.9$ अंक देते हैं। माध्य, माध्यिका और कटा-छँटा माध्य (सबसे नीचे और सबसे ऊपर वाला हटाकर शेष का औसत) निकालिए। अधिकांश निर्णायक-आधारित खेल काट-छाँट क्यों करते हैं?

भाग III — बंटनों को पढ़ना।

दो कारख़ाने ऐसे बोल्ट बनाते हैं जिनकी माध्य लंबाई $50$ mm है। कारख़ाना A: $Q_1 = 49.9$ , $Q_3 = 50.1$ ; कारख़ाना B: $Q_1 = 48$ , $Q_3 = 52$ । आपको आपस में बदले जा सकने वाले बोल्ट चाहिए: कौन-सा कारख़ाना, और किस सांख्यिकी ने निर्णय किया?
किसी चिकित्सालय में प्रतीक्षा की माध्यिका $10$ मिनट है पर माध्य प्रतीक्षा $25$ है। यह युग्म आँकड़ों की किस आकृति की चुगली करता है? ठीक इसी माध्यिका और माध्य वाले पाँच मानों का एक आँकड़ा-समुच्चय बनाइए।
“आपका शिशु लंबाई में 75-वें शतमक पर है” — इस वाक्य का अर्थ क्या है? और क्या किसी नगर का हर बच्चा “औसत से ऊपर” हो सकता है? माध्यिका से ऊपर? अंतर समझाइए।
कक्षा A: न्यूनतम $4$ , $Q_1\,8$ , माध्यिका $11$ , $Q_3\,13$ , अधिकतम $17$ । कक्षा B: न्यूनतम $2$ , $Q_1\,9$ , माध्यिका $11$ , $Q_3\,12$ , अधिकतम $19$ । तुलना कीजिए: प्रारूपिक अंक, मध्य आधे भाग की समरूपता, और चरम मानों का उत्पात।
पत्रकार की जाँच-सूची: एक सुर्ख़ी कहती है “टेककॉर्प में औसत वेतन: $5\,000$ यूरो”। इस समस्या ने आपको जो तीन प्रश्न पूछना सिखाया है उन्हें गिनाइए, जिन्हें पूछे बिना यह मान लेना कि सुर्ख़ी किसी प्रारूपिक कर्मचारी के बारे में कुछ कह रही है, ठीक नहीं।

भाग IV — कॉकपिट का मुक़दमा।

अपने प्रमाण स्वयं बनाइए: ऐसे पाँच घरों के दाम बनाइए जिनका माध्य $300$ और माध्यिका $200$ हो (हज़ार यूरो में)।
माध्य संतुलन-बिंदु है: परिभाषा से सिद्ध कीजिए कि माध्य से विचलन सदा कट जाते हैं, $\sum (x_i - \bar x) = 0$ , और इसे प्रश्न 16 के अपने आँकड़ा-समुच्चय पर जाँचिए।
माध्यिका फेरे-न्यूनतमकारी है: किसी सड़क के $1$ , $3$ , $4$ , $9$ , $13$ किलोमीटर पर दुकानें हैं, और एक गोदाम को पाँचों दुकानों तक की कुल दूरी न्यूनतम करनी है। माध्यिका ( $4$ ) पर, माध्य ( $6$ ) पर और $5$ पर बने गोदाम के लिए वह कुल दूरी निकालिए। कौन जीता? (यह सामान्य बात है: माध्यिका कुल निरपेक्ष दूरी को न्यूनतम करती है — कोई भी दूसरा स्थान जाँच लीजिए।)
कॉकपिट का निपटारा: मान लीजिए किसी वैमानिक के शरीर की एक माप-राशि पर “औसत के पास” होने की संभावना $30\,\%$ है, और दसों माप-राशियों पर यह स्वतंत्र रूप से लागू होती है ( $10$ राशियाँ)। दसों पर औसत के पास होने की संभावना का आकलन कीजिए — और इस परिणाम को उससे मिलाइए जो लेफ़्टिनेंट ने $4\,000$ वैमानिकों में पाया था। वायुसेना ने औसत कॉकपिट के बदले क्या बनाया?
समापन — उपयोग-निर्देश, एक-एक पंक्ति में: जब कुल ही महत्त्वपूर्ण हो (बजट, फ़सल), तब … का उपयोग कीजिए; जब प्रारूपिक व्यक्ति महत्त्वपूर्ण हो (वेतन, प्रतीक्षा-काल), तब … का; जब प्रसार की समता महत्त्वपूर्ण हो, तब … बताइए; और जब दूषण का ख़तरा हो, तब … का उपयोग कीजिए। मुक़दमा समस्या के शीर्षक से बंद कीजिए।

हल

हल — समस्या 8.1.

1. माध्य: $\frac{2\,550}{7} \approx 364$ हज़ार यूरो; माध्यिका: सात क्रमबद्ध दामों में चौथा, $230$ । गली का वर्णन माध्यिका करती है — सात में से छह घरों का दाम $364$ के आसपास भी नहीं है।

2. हवेली के बिना: माध्य $\frac{1\,350}{6} = 225$ , माध्यिका $\frac{220 + 230}{2} = 225$ । माध्य लगभग $139$ गिरा; माध्यिका $5$ । एक चरम मान माध्य को कहीं भी घसीट सकता है; माध्यिका उसे मुश्किल से ही देखती है — वह सुदृढ़ है।

3. माध्य $= \frac{0 \times 20 + 1 \times 25 + 2 \times 30 + 3 \times 15 + 4 \times 10}{100} = \frac{170}{100} = 1.7$ । किसी परिवार में $1.7$ संतानें नहीं हैं, पर $1.7 \times 100 = 170$ संतानों की ठीक-ठीक कुल संख्या है: माध्य कुल को समान रूप से बाँटकर अपने भीतर समेटे रखता है — यही उसकी असली प्रतिभा है।

4. $N = 15$ : माध्यिका $=$ आठवाँ मान $= 11$ ; $Q_1 =$ चौथा मान $= 8$ ; $Q_3 =$ बारहवाँ मान $= 14$ ।

5. परास $19 - 4 = 15$ : पूरा प्रसार, चरम मान सहित। अंतर-चतुर्थक परास $14 - 8 = 6$ : मध्य आधे भाग की चौड़ाई — चरम मानों के शोर के बिना प्रसार।

6. $+b$ का खिसकाव हर मान को हटा देता है, इसलिए मानों के अंतर — परास, अंतर-चतुर्थक परास — अपरिवर्तित रहते हैं: $(x_i + b) - (x_j + b) = x_i - x_j$ । $a$ से गुणा करने पर सभी अंतर $a$ गुने हो जाते हैं: परास और अंतर-चतुर्थक परास $\abs a$ गुने हो जाते हैं।

7. जोड़ वाला सुधार: $6 \to 9$ और $18 \to 21$ — कमज़ोर विद्यार्थी को $50\,\%$ मिलता है, तेज़ को $17\,\%$ , और $21$ $20$ -अंक के पैमाने को थोड़ा ही फोड़ता है। गुणा वाला: $6 \to 8$ और $18 \to 24$ — अनुपात बने रहते हैं, पर $20$ के पैमाने पर $24$ असंभव है: वही ऊपरी सीमा की समस्या। जोड़ वाले सुधार नीचे वालों को सँवारते हैं; गुणा वाले ऊपर वालों को उड़ा देते हैं।

8. कुल अंक: $20 \times 12 + 30 \times 10 = 540$ , इसलिए मिला हुआ माध्य $\frac{540}{50} = 10.8$ है: कक्षा B के तीस विद्यार्थी कक्षा A के बीस पर भारी पड़ते हैं — माध्य भारित औसत से मिलते हैं, कभी साधारण औसत से नहीं।

9. $A$ की माध्यिका: $2$ ; $B$ की: $5$ । मिली हुई सूची $\{0, 1, 2, 3, 10\}$ : माध्यिका $2$ । माध्यिकाओं का आकार-भारित औसत $\frac{3 \times 2 + 2 \times 5}{5} = 3.2 \neq 2$ होता: माध्यिकाएँ कोई कुल नहीं उठातीं, इसलिए उनके मिलाने का कोई सूत्र नहीं है — पूरी सूची फिर से क्रमबद्ध करनी पड़ती है।

10. माध्य: $\frac{31.3}{5} = 6.26$ । माध्यिका: $5.4$ । कटा-छँटा माध्य: $\frac{5.3 + 5.4 + 5.5}{3} = 5.4$ । एक उत्साही (या भ्रष्ट) निर्णायक ने माध्य को लगभग एक अंक हिला दिया; माध्यिका और कटे-छँटे माध्य ने कंधे उचका दिए — इसीलिए निर्णायक-आधारित खेलों में काट-छाँट के नियम हैं।

11. कारख़ाना A: मध्य आधा भाग $0.2$ mm के भीतर; कारख़ाना B: $4$ mm के भीतर। माध्य एक ही, विश्वसनीयता उलटी: A से ख़रीदिए। निर्णय अंतर-चतुर्थक परास ने किया — अकेले माध्य केंद्र मिलाते हैं, एकरूपता कभी नहीं।

12. माध्यिका का माध्य से बहुत नीचे होना लंबी दाहिनी पूँछ की चुगली करता है: अधिकांश प्रतीक्षाएँ छोटी, कुछ विनाशकारी। उदाहरण: $\{5, 5, 10, 10, 95\}$ — माध्यिका $10$ , माध्य $\frac{125}{5} = 25$ ।

13. इसका अर्थ है कि उस आयु के $75\,\%$ शिशु उससे छोटे हैं (और $25\,\%$ बड़े): यह एक क्रमांक है, कोई नाप नहीं। “हर बच्चा माध्य से ऊपर” असंभव है — यदि सभी मान माध्य से बड़े होते, तो उनका औसत भी माध्य से बड़ा होता, जबकि वह स्वयं माध्य है: विरोधाभास। पर लगभग सभी हो सकते हैं: एक बहुत छोटा बच्चा माध्य को बाक़ी सबसे नीचे रोक सकता है। माध्यिका से ऊपर: परिभाषा से ही कभी आधे से अधिक नहीं। क्रमांकों की चापलूसी नहीं हो सकती; औसतों की हो सकती है।

14. प्रारूपिक अंक: दोनों के लिए एक ही, माध्यिका $11$ । मध्य भाग की समरूपता: B अधिक कसी हुई (अंतर-चतुर्थक परास $3$ बनाम $5$ )। चरम: B अधिक उत्पाती (परास $17$ बनाम $13$ )। B एक जैसे विद्यार्थियों की कक्षा है जिसमें कुछ बहिर्मान हैं; A समान रूप से फैली है।

15. (1) $5\,000$ माध्य है या माध्यिका — और क्या मुझे माध्यिका मिल सकती है? (2) प्रसार क्या है (चतुर्थक), ताकि पता चले कि “प्रारूपिक” कितना प्रारूपिक है? (3) किन्हें गिना गया — प्रतिदर्श का आकार और चयन (माध्यमिक विद्यालय खंड की “आँकड़े कैसे झूठ बोलते हैं” वाली सप्ताहांत समस्या का सर्वेक्षण वाला पाठ)?

16. जैसे $100, 150, 200, 250, 800$ : माध्यिका $200$ , माध्य $\frac{1\,500}{5} = 300$ ।

17. $\sum (x_i - \bar x) = \sum x_i - N \bar x = N\bar x - N\bar x = 0$ । जाँच: $-200 - 150 - 100 - 50 + 500 = 0$ । माध्य वह बिंदु है जहाँ विचलन संतुलित हो जाते हैं — आँकड़ों का गुरुत्व केंद्र (माध्यमिक विद्यालय खंड की केन्द्रक वाली सप्ताहांत समस्या का $G$ , एक विमा में)।

18. माध्यिका $4$ पर: $3 + 1 + 0 + 5 + 9 = 18$ km। माध्य $6$ पर: $5 + 3 + 2 + 3 + 7 = 20$ km। $5$ पर: $4 + 2 + 1 + 4 + 8 = 19$ km। माध्यिका जीतती है — उससे हटने पर हमेशा जितनी दुकानें पास आती हैं उससे अधिक दूर चली जाती हैं, इसलिए कुल केवल बढ़ ही सकता है।

19. $0.3^{10} \approx 6 \times 10^{-6}$ : प्रति दस लाख लगभग छह वैमानिक। $4\,000$ वैमानिकों में अपेक्षित संख्या $0.02$ है — यानी शून्य, जैसा लेफ़्टिनेंट डेनियल्स ने पाया। वायुसेना ने औसत आदमी के लिए बनाना बंद कर दिया और सब कुछ समायोज्य बना दिया: सीटें, पैडल, पट्टियाँ — रचना केंद्र के लिए नहीं, प्रसार के लिए।

20. कुल: माध्य। प्रारूपिक व्यक्ति: माध्यिका। प्रसार की समता: चतुर्थक (और अंतर-चतुर्थक परास)। दूषण: कटा-छँटा माध्य। और अंतिम पंक्ति: औसत व्यक्ति होता ही नहीं — पर माध्यिका वाला व्यक्ति लगभग होता है।