प्रतिवेश, विवृत समुच्चय কী?

उदाहरण 12.2

विवृत अंतराल विवृत हैं: $x \in \intoo{a}{b}$ के लिए $r = \min(x - a,\, b - x) > 0$ लीजिए। अर्धरेखाएँ $\intoo{a}{+\infty}$ विवृत हैं; $\R$ और $\emptyset$ विवृत हैं (दूसरा रिक्तार्थ रूप से)। $\intcc{0}{1}$ विवृत नहीं है: $0$ के चारों ओर का कोई अंतराल भीतर नहीं रहता।

उदाहरण 12.4 (स्पष्ट त्रिज्याओं से विवृतता प्रमाणित करना)

क्या $U = \{x \in \R : x^2 > 2\}$ विवृत है? हाँ, और प्रमाणपत्र लिखा जा सकता है: $U = \intoo{-\infty}{-\sqrt2} \cup \intoo{\sqrt2}{+\infty}$, अर्थात् दो विवृत अर्धरेखाओं का सम्मिलन, जो प्रतिज्ञप्ति 12.3 से विवृत है। वैकल्पिक रूप से, बिंदु-दर-बिंदु तर्क कीजिए: $x > \sqrt 2$ वाले $x \in U$ के लिए $r = x - \sqrt2 > 0$ लीजिए: प्रत्येक $y \in \intoo{x - r}{x + r}$ $y > \sqrt 2$ संतुष्ट करता है, अतः $y^2 > 2$; और बाईं ओर सममित रूप से। दोनों शैलियाँ महत्त्व रखती हैं — संरचनात्मक शैली (ज्ञात विवृत समुच्चयों से सम्मिलन और परिमित प्रतिच्छेदन द्वारा बनाना) बड़े पैमाने पर बेहतर काम करती है, और $\varepsilon$-शैली तब काम आती है जब कोई संरचना दिखाई न दे; और अध्याय 13 तीसरी, सबसे शक्तिशाली शैली जोड़ेगा: $U$ संतत $x \mapsto x^2$ के अंतर्गत विवृत $\intoo{2}{+\infty}$ का पूर्वप्रतिबिंब है।

उदाहरण 12.8

खंड $\intcc{a}{b}$, अर्धरेखाएँ $\intco{a}{+\infty}$, परिमित समुच्चय, $\Z$ (पूर्णांकों का अभिसारी अनुक्रम अंततः अचर होता है) संवृत हैं। $\intoc{0}{1}$ न विवृत है ($1$ पर विफल) और न संवृत ($\frac 1n \to 0 \notin$ समुच्चय): अधिकांश समुच्चय दोनों में से कुछ भी नहीं हैं। $\R$ और $\emptyset$ दोनों विवृत भी हैं और संवृत भी — और $\R$ के ऐसे केवल यही उपसमुच्चय हैं (अभ्यास 12.9)।