विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · Bachelor Year 1

13सीमाएँ और सांतत्य

मध्यवर्ती मान प्रमेय और चरम मान प्रमेय उच्चतर माध्यमिक स्तर पर दृश्य विश्वास के भरोसे प्रयुक्त हुई थीं। अनुक्रम (अध्याय 11) और $\R$ की सांस्थिति (अध्याय 12) हाथ में आ जाने पर यह अध्याय उन्हें सिद्ध करता है — और सिद्धांत को एकदिष्ट एकैकी आच्छादन प्रमेय (जो अध्याय 4 के $\arcsin$ , $\operatorname{arcosh}$ और उनके सजातियों को वैध ठहराती है) तथा एकसमान सांतत्य पर हाइने की प्रमेय के साथ पूरा करता है।

आगे सर्वत्र $I$ एक अंतराल है और $f \colon I \to \R$ ; “ $x_0 \in \overline I$ ” सिरों पर सीमाओं की अनुमति देता है।

13.1 फलनों की सीमाएँ

परिभाषा 13.1 (किसी बिंदु पर सीमा)

मान लीजिए $x_0 \in \overline{I}$ और $\ell \in \R$ । तब $x \to x_0$ होने पर $f(x) \to \ell$ तब कहते हैं जब

\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x \in I, \qquad \abs{x - x_0} \leq \delta \implies \abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon .

$\pm\infty$ पर सीमाएँ और अनंत सीमाएँ उसी प्रतिरूप से परिभाषित होती हैं ( $\abs{x - x_0} \leq \delta$ के स्थान पर $x \geq M$ ; $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ के स्थान पर $f(x) \geq M'$ )। एकपक्षीय सीमाएँ $x$ को $x > x_0$ तक (लिखा जाता है $x \to x_0^+$ ) या $x < x_0$ तक सीमित कर देती हैं। सीमा, जब विद्यमान हो, अद्वितीय होती है (वही उपपत्ति जो प्रतिज्ञप्ति 11.4 की है)।

उदाहरण 13.2 (दबाव से एक सीमा)

$\lim_{x \to 0} x\,\bigl\lfloor \frac1x \bigr\rfloor$ संगणित कीजिए। फ़र्श का घेराव $\frac1x - 1 < \lfloor \frac1x \rfloor \leq \frac1x$ $x$ से गुणा करने पर (चिह्न का ध्यान रखिए!) देता है

1 - x < x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor \leq 1 \quad (x > 0), \qquad 1 \leq x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor < 1 - x \quad (x < 0),

और दोनों एकपक्षीय दबाव $1$ पर बंद हो जाते हैं: अतः सीमा $1$ है। ध्यान दीजिए कि अभी क्या हुआ: अकेला $\lfloor \frac1x\rfloor$ $0$ के पास जंगली छलाँगें लगाता है, पर गुणक $x$ प्रत्येक छलाँग को वश में कर लेता है ( $x$ गुना इकाई छलाँग छोटी होती है), और केवल घेराव बचा रहता है। समापन का सार: किसी छोटे गुणक और किसी परिबद्ध-दोलन वाले गुणक के गुणनफल की सीमाएँ दबाव की समस्याएँ हैं, संक्रिया-प्रमेय की कभी नहीं — संक्रिया-प्रमेय को दोनों गुणकों का अभिसरित होना चाहिए।

प्रमेय 13.3 (अनुक्रमीय अभिलक्षण)

$x \to x_0$ होने पर $f(x) \to \ell$ यदि और केवल यदि: $u_n \to x_0$ वाले $I$ के बिंदुओं के प्रत्येक अनुक्रम $(u_n)$ के लिए $f(u_n) \to \ell$ हो।

उपपत्ति. ( $\Rightarrow$ ) मान लीजिए $u_n \to x_0$ और $\varepsilon > 0$ । परिभाषा से $\delta$ लीजिए, फिर ऐसा $N$ कि $n \geq N$ के लिए $\abs{u_n - x_0} \leq \delta$ : तब $N$ के आगे $\abs{f(u_n) - \ell} \leq \varepsilon$ ।

( $\Leftarrow$ ) प्रतिधनात्मक रूप। यदि $f \not\to \ell$ : तो कोई $\varepsilon_0 > 0$ हर $\delta$ को हरा देता है; $\delta = \frac{1}{n+1}$ चुनने पर ऐसा $u_n \in I$ मिलता है कि $\abs{u_n - x_0} \leq \frac{1}{n+1}$ और $\abs{f(u_n) - \ell} > \varepsilon_0$ । तब $u_n \to x_0$ पर $f(u_n) \not\to \ell$ । ∎

उपप्रमेय 13.4 (संक्रियाएँ, संयोजन, क्रम)

सीमाओं के योग, गुणनफल, भागफल (नीचे अशून्य सीमा के साथ) वैसा ही व्यवहार करते हैं जैसा अनुक्रमों के लिए; और यदि $x_0$ पर $f \to \ell$ तथा $\ell$ पर $g \to m$ हो, $g$ $\ell$ के आसपास परिभाषित हो और $x_0$ के पास $g(\ell) = m$ या $f \neq \ell$ हो, तो $x_0$ पर $g \circ f \to m$ ; सीमाएँ चौड़ी असमिकाएँ सुरक्षित रखती हैं, और दबाव प्रमेय सत्य रहती है।

उपपत्ति. प्रत्येक कथन प्रमेय 13.3 के द्वारा अपने अनुक्रम-अनुरूप (प्रमेय 11.5 और 11.7) तक चला जाता है। संयोजन के लिए सीधी शृंखला एक बार लिख लेना उचित है: $\varepsilon > 0$ दिया हो, तो $\ell$ पर $g$ की सीमा ऐसा $\eta > 0$ देती है कि

\abs{y - \ell} \leq \eta \implies \abs{g(y) - m} \leq \varepsilon \quad (y \text{ के प्रांत में } g),

जहाँ स्थिति $y = \ell$ इसलिए ढँक जाती है कि $g(\ell) = m$ ; फिर $x_0$ पर $f$ की सीमा ऐसा $\delta > 0$ देती है कि $\abs{x - x_0} \leq \delta \implies \abs{f(x) - \ell} \leq \eta$ ; और शृंखला बनाने पर $\abs{x - x_0} \leq \delta$ $\abs{g(f(x)) - m} \leq \varepsilon$ दे देता है। वैकल्पिक परिकल्पना ( $x_0$ के पास $f \neq \ell$ ) में मान $y = \ell$ $g$ को कभी दिया ही नहीं जाता, अतः वहाँ उसका मान निरर्थक है। ∎

उदाहरण 13.5 (संयोजन की शर्त क्यों है)

मान लीजिए $y \neq 0$ के लिए $g(y) = 0$ और $g(0) = 1$ , और मान लीजिए $f$ तत्समक रूप से $0$ है। तब $x \to 0$ होने पर $f(x) \to 0$ , और $y \to 0$ होने पर $g(y) \to 0$ ; फिर भी प्रत्येक $x$ के लिए $g(f(x)) = g(0) = 1$ , अतः $g \circ f \to 1 \neq 0$ । भीतरी फलन सदा वर्जित मान $\ell = 0$ पर ही बैठा रहता है, और $0$ पर $g$ की सीमा इस बात की उपेक्षा करती है कि $0$ पर $g$ क्या करता है। उपप्रमेय 13.4 की शर्त — या तो $g(\ell) = m$ (अर्थात् $\ell$ पर $g$ संतत हो), या $x_0$ के पास $f \neq \ell$ — ठीक इसी को रोकने के लिए है। समापन का सार: व्यवहार में हम संतत फलनों का संयोजन करते हैं और यह शर्त मुफ़्त मिल जाती है; वह तभी काटती है जब सीमाएँ छिद्रित प्रतिवेशों के अनुदिश ली जाती हैं, और इसीलिए इस पुस्तक में प्रयुक्त $\lim_{x \to x_0}$ की परिभाषा उस बिंदु को, जब वह प्रांत में हो, समेट लेती है।

13.2 सांतत्य

परिभाषा 13.6

$f$ $x_0 \in I$ पर संतत तब है जब $x \to x_0$ होने पर $f(x) \to f(x_0)$ ; और $I$ पर संतत तब जब वह प्रत्येक बिंदु पर संतत हो। प्रमेय 13.3 से: $f$ $x_0$ पर संतत है तभी जब $I$ के प्रत्येक अनुक्रम $u_n \to x_0$ के लिए $f(u_n) \to f(x_0)$ हो।

उदाहरण 13.7 (असांतत्यों का वर्गीकरण)

किसी बिंदु पर विफल होने के तीन तरीके, बढ़ती गंभीरता के क्रम में। हटाने योग्य: $\R^*$ पर $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ की $0$ पर सीमा $1$ है; $f(0) = 1$ परिभाषित कर देने से वह सुधर जाता है — वह असांतत्य एक छेद था, कोई विशेषता नहीं। कूद: किसी पूर्णांक पर $\lfloor x \rfloor$ की एकपक्षीय सीमाएँ भिन्न हैं ( $n - 1$ और $n$ ); कोई भी मान उनमें मेल नहीं करा सकता, पर दोनों अर्ध-सीमाएँ विद्यमान हैं। अनिवार्य: $0$ पर $\sin\frac1x$ की कोई एकपक्षीय सीमा है ही नहीं (अभ्यास 13.1) — अर्थात् बिना ठहराव का दोलन। एकदिष्ट फलन केवल बीच वाला प्रकार उत्पन्न कर सकते हैं (उनकी एकपक्षीय सीमाएँ सदा विद्यमान होती हैं, क्योंकि वे उच्चतम और निम्नतम हैं), और इसीलिए उनके असांतत्य समुच्चय अधिकतम गणनीय होते हैं — प्रति कूद एक परिमेय संख्या। इसके विपरीत, डार्बू की प्रमेय (अभ्यास 14.10) से अवकलज केवल अंतिम प्रकार उत्पन्न कर सकते हैं: कूद वाले असांतत्य वाला फलन कभी किसी का अवकलज नहीं होता।

प्रतिज्ञप्ति 13.8

संतत फलनों के योग, गुणनफल, भागफल (जहाँ परिभाषित हों) और संयोजन संतत होते हैं। बहुपद, परिमेय भिन्नें (अपने ध्रुवों से बाहर), $\abs{\,\cdot\,}$ , $\exp$ , $\ln$ , त्रिकोणमितीय और अतिपरवलयिक फलन तथा उनके प्रतिलोम (अध्याय 4) अपने प्रांतों पर संतत हैं।

उपपत्ति. संक्रियाएँ: उपप्रमेय 13.4। अचर और तत्समक फलन सीधे परिभाषा से संतत हैं (तत्समक के लिए $\delta = \varepsilon$ और अचरों के लिए कोई भी $\delta$ काम करता है); संतत फलनों के गुणनफल संतत होने से प्रत्येक एकपद $a_k x^k$ $k$ पर आगमन से निकल आता है, और योग बहुपदों का काम पूरा कर देते हैं; परिमेय भिन्न दो बहुपदों का भागफल है, जो जहाँ भी हर लुप्त न हो वहाँ संतत है। $\abs{\,\cdot\,}$ : विलोम त्रिभुज असमिका, $\bigl|\abs{f(x)} - \abs{f(x_0)}\bigr| \leq \abs{f(x) - f(x_0)}$ , अतः वही $\delta$ काम करता है। चिरपरिचित फलनों के लिए हम सांतत्य यहाँ दिया हुआ मान लेते हैं; अवकलनीयता (अध्याय 14 में सिद्ध) उससे प्रबल है। ∎

उदाहरण 13.9 (संतत फलनों के अधिकतम और न्यूनतम)

यदि $f, g$ संतत हैं, तो $\max(f, g)$ और $\min(f, g)$ भी संतत हैं: और इसके लिए किसी स्थिति-विश्लेषण की आवश्यकता नहीं, क्योंकि सर्वसमिकाएँ

\max(f, g) = \frac{f + g + \abs{f - g}}{2}, \qquad \min(f, g) = \frac{f + g - \abs{f - g}}{2},

तथा योगों और $\abs{\,\cdot\,}$ (प्रतिज्ञप्ति 13.8) की सांतत्य पर्याप्त हैं। विशेष रूप से $f^+ = \max(f, 0)$ और $f^- = \max(-f, 0)$ संतत हैं और $f = f^+ - f^-$ : अर्थात् श्रेणियों (अध्याय 17) में और, पूरे पैमाने पर, स्नातक वर्ष 3 के खंड के समाकलन सिद्धांत में प्रयुक्त चिह्न-विभाजन नियमितता की दृष्टि से मुफ़्त पड़ता है।

प्रमेय 13.10 (मध्यवर्ती मान प्रमेय)

मान लीजिए $f$ $\intcc{a}{b}$ पर संतत है और $f(a) \leq 0 \leq f(b)$ । तब किसी $c \in \intcc{a}{b}$ के लिए $f(c) = 0$ । फलस्वरूप, किसी अंतराल पर संतत फलन अपने किन्हीं दो मानों के बीच का हर मान लेता है: $f(I)$ एक अंतराल है।

उपपत्ति. द्विभाजन। $a_0 = a$ , $b_0 = b$ रखिए। $f(a_n) \leq 0 \leq f(b_n)$ वाला $\intcc{a_n}{b_n}$ दिया हो, तो मान लीजिए $m$ मध्यबिंदु है: यदि $f(m) \leq 0$ , तो $\intcc{m}{b_n}$ रखिए, अन्यथा $\intcc{a_n}{m}$ ; चिह्न की शर्तें बनी रहती हैं। अनुक्रम $(a_n), (b_n)$ संलग्न हैं ( $b_n - a_n = \frac{b-a}{2^n}$ ), जिनकी उभयनिष्ठ सीमा $c$ है (प्रमेय 11.11)। सांतत्य और प्रमेय 11.7 से: $f(c) = \lim f(a_n) \leq 0$ तथा $f(c) = \lim f(b_n) \geq 0$ , अतः $f(c) = 0$ ।

परिणाम के लिए: मान $f(u) < v < f(w)$ दिए हों, तो ऊपर वाली बात $u$ और $w$ सिरों वाले खंड पर $x \mapsto f(x) - v$ के लिए लगाइए; अतः $f(I)$ उत्तल है, अर्थात् एक अंतराल (प्रतिज्ञप्ति 10.19)। ∎

f(a) < 0 < f(b) वाले संतत फलन को अक्ष काटना ही पड़ता है: की द्विभाजन उपपत्ति एक कटान-बिंदु को संलग्न अनुक्रमों के बीच फँसा लेती है। — $f(a) < 0 < f(b)$ वाले संतत फलन को अक्ष काटना ही पड़ता है: प्रमेय 13.10 की द्विभाजन उपपत्ति एक कटान-बिंदु को संलग्न अनुक्रमों के बीच फँसा लेती है।

उदाहरण 13.11 (एक समीकरण, पूरा प्रोटोकॉल)

$\R$ पर $\eu^x = 3 - x$ हल कीजिए: अस्तित्व, अद्वितीयता, स्थान। $g(x) = \eu^x + x - 3$ रखिए, जो संतत है। स्थान और अस्तित्व: $g(0) = -2 < 0$ और $g(1) = \eu - 2 > 0$ , अतः मध्यवर्ती मान प्रमेय $\intoo{0}{1}$ में एक हल रोप देती है। अद्वितीयता: $g$ कठोरतः वर्धमान $\eu^x$ और $x - 3$ का योग है, अतः $\R$ पर कठोरतः वर्धमान; और कठोरतः एकदिष्ट फलन हर मान अधिक से अधिक एक बार लेता है, इसलिए हल पूरे $\R$ पर अद्वितीय है (केवल जाँचे गए अंतराल में नहीं)। यह प्रोटोकॉल — $g = 0$ के रूप में पुनर्व्यवस्था, अस्तित्व के लिए चिह्न-परिवर्तन, अद्वितीयता के लिए एकदिष्टता — “कितने हल” वाले अधिकांश प्रश्न तीन पंक्तियों में निपटा देता है, और अध्याय 14 की विचरण सारणियाँ $\R$ को एकदिष्ट शाखाओं में काटकर उसे अ-एकदिष्ट $g$ तक बढ़ा देती हैं।

उदाहरण 13.12 (कलनविधि के रूप में द्विभाजन)

प्रमेय 13.10 की उपपत्ति संगणना करती है। $f(x) = x^3 + x - 1$ लीजिए: $f(0) = -1 < 0 < 1 = f(1)$ , अतः कोई मूल $\intoo{0}{1}$ में है। आधा करने पर:

f(0.5) = -0.375 < 0, \qquad f(0.75) = 0.171875 > 0, \qquad f(0.625) = -0.130859375 < 0 ,

अतः मूल क्रमशः $\intoo{0.5}{1}$ में, फिर $\intoo{0.5}{0.75}$ में, फिर $\intoo{0.625}{0.75}$ में फँसता जाता है (सच्चा मान: $c \approx 0.6823$ )। $n$ पदों के बाद त्रुटि अधिक से अधिक $\frac{b - a}{2^n}$ है: दस पद तीन दशमलव देते हैं, बीस पद छह। समापन का सार: मध्यवर्ती मान प्रमेय केवल अस्तित्व का कथन नहीं है — उसकी द्विभाजन उपपत्ति एक गारंटीशुदा, यद्यपि धीमी, मूल-खोज कलनविधि है, जिसके सामने अध्याय 14 की तेज़ पर स्थानीय न्यूटन विधि को नापना चाहिए।

प्रमेय 13.13 (चरम मान प्रमेय)

खंड $\intcc{a}{b}$ पर संतत फलन परिबद्ध होता है और अपने परिबंध प्राप्त करता है: ऐसे $c, d \in \intcc{a}{b}$ हैं कि

f(c) = \inf_{\intcc{a}{b}} f, \qquad f(d) = \sup_{\intcc{a}{b}} f .

प्रमेय 13.10 के साथ मिलाकर: खंड का संतत प्रतिबिंब खंड होता है $\intcc{f(c)}{f(d)}$ ।

उपपत्ति. ऊपर से परिबद्ध: अन्यथा ऐसा $u_n$ चुनिए कि $f(u_n) \geq n$ । खंड की संहतता (प्रमेय 12.19) से कोई उपानुक्रम $u_{\varphi(n)} \to x \in \intcc{a}{b}$ ; सांतत्य $f(u_{\varphi(n)}) \to f(x)$ देती है, पर $f(u_{\varphi(n)}) \geq \varphi(n) \to +\infty$ : विरोधाभास।

उच्चतम प्राप्त होता है: मान लीजिए $M = \sup f$ और ऐसे $v_n$ चुनिए कि $f(v_n) > M - \frac{1}{n+1}$ (प्रतिज्ञप्ति 10.4)। $v_{\varphi(n)} \to d \in \intcc{a}{b}$ निकालिए: तब दबाव से $f(d) = \lim f(v_{\varphi(n)}) = M$ । निम्नतम $-f$ से सँभल जाता है। ∎

उदाहरण 13.14 (खंड पर धनात्मक न्यूनतम)

मान लीजिए $f$ $\intcc{0}{1}$ पर संतत है और प्रत्येक $x$ के लिए $f(x) > 0$ । तब $\inf f > 0$ : चरम मान प्रमेय से निम्नतम एक मान $f(c)$ है, और परिकल्पना से $f(c) > 0$ । अतः खंड पर संतत धनात्मक फलन $0$ से दूर परिबद्ध रहता है — यह दो पंक्ति का तर्क आगे के अध्यायों में दर्जन भर बार प्रयुक्त होता है (हर नियंत्रण में, सोपान-फलन के घेराव, त्रुटि के परिबंध)। असंहत अंतराल पर यह शानदार ढंग से विफल हो जाता है: $\intoc{0}{1}$ पर $f(x) = x$ संतत और धनात्मक है, $\inf f = 0$ के साथ, जो प्राप्त नहीं होता। समापन का सार: “धनात्मक” ठीक तब “एकसमान रूप से धनात्मक” बन जाता है जब प्रांत संहत हो; चरम मान प्रमेय की हर परिकल्पना भार ढो रही है।

टिप्पणी 13.15 (तीनों प्रमेयों के इर्द-गिर्द सामान्य भूलें)

(क) संतत प्रतिबिंब: केवल खंड ही दृढ़ हैं। विवृत अंतराल का संतत प्रतिबिंब विवृत होना आवश्यक नहीं ( $x \mapsto x^2$ $\intoo{-1}{1}$ को $\intco{0}{1}$ पर भेजता है), और संवृत समुच्चय का प्रतिबिंब संवृत होना आवश्यक नहीं ( $\arctan$ संवृत $\R$ को विवृत $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ पर भेजता है); पर खंड का प्रतिबिंब खंड होता है (प्रमेय 13.13)। (ख) मध्यवर्ती मान प्रमेय को अंतराल चाहिए: $\intco{-1}{0} \cup \intoc{0}{1}$ पर संतत फलन $x \mapsto \frac1x$ मान $-1$ और $1$ लेता है फिर भी कभी लुप्त नहीं होता — उसका प्रांत दो असंयुक्त टुकड़े हैं, और मान $0$ उस अंतराल में गिर जाता है; जिस अंतराल पर प्रमेय लगाई जा रही है उसका नाम सदा लीजिए। (ग) एकसमान सांतत्य (फलन, समुच्चय) युग्म का गुणधर्म है: $x^2$ हर खंड पर एकसमान रूप से संतत है पर $\R$ पर नहीं (उदाहरण 13.20) — प्रांत बताए बिना “एकसमान रूप से संतत” शब्द निरर्थक हैं। (घ) प्रतिलोम की सांतत्य औपचारिक नहीं है: वह एकदिष्टता के द्वारा अंतरालों पर सत्य है (प्रमेय 13.16), पर अंतरालों के सम्मिलनों के बीच कोई संतत एकैकी आच्छादन असंतत प्रतिलोम रख सकता है — उस प्रमेय के बाद वाली टिप्पणी इसीलिए है कि विद्यार्थी उसे अंतराल की परिकल्पना के बिना उद्धृत करते हैं।

13.3 एकदिष्ट फलन और प्रतिलोम फलन

प्रमेय 13.16 (एकदिष्ट एकैकी आच्छादन प्रमेय)

मान लीजिए $f$ किसी अंतराल $I$ पर संतत और कठोरतः एकदिष्ट है। तब

$f$ $I$ से अंतराल $J = f(I)$ पर एकैकी आच्छादन है;
प्रतिलोम $f^{-1} \colon J \to I$ कठोरतः एकदिष्ट (उसी दिशा में) और संतत है।

उपपत्ति. मान लीजिए $f$ कठोरतः वर्धमान है। (1) एकैकीयता कठोर एकदिष्टता से तुरंत मिलती है; $f(I)$ पर आच्छादकता तुच्छ है, और प्रमेय 13.10 से $f(I)$ एक अंतराल है।

(2) $f^{-1}$ कठोरतः वर्धमान है: यदि $J$ में $y < y'$ पर $f^{-1}(y) \geq f^{-1}(y')$ , तो वर्धमान $f$ लगाने पर $y \geq y'$ मिलता, जो असंगत है। $y_0 = f(x_0) \in J$ पर $f^{-1}$ की सांतत्य: मान लीजिए $\varepsilon > 0$ । पहले मान लीजिए $x_0$ $I$ का आंतरिक बिंदु है, और $\varepsilon$ को इतना सिकोड़िए कि $x_0 \pm \varepsilon \in I$ : उनके प्रतिबिंब $f(x_0 - \varepsilon) < y_0 < f(x_0 + \varepsilon)$ संतुष्ट करते हैं। $\delta = \min\bigl(y_0 - f(x_0 - \varepsilon),\, f(x_0 + \varepsilon) - y_0\bigr) > 0$ लीजिए: $\abs{y - y_0} \leq \delta$ के लिए $f^{-1}$ की एकदिष्टता $f^{-1}(y)$ को $x_0 - \varepsilon$ और $x_0 + \varepsilon$ के बीच दबा देती है। यदि $x_0$ , मान लीजिए, $I$ का बायाँ सिरा है, तो केवल $x_0 + \varepsilon$ उपलब्ध है: तब $y_0 = \min J$ (एकदिष्टता), $y - y_0 \leq f(x_0 + \varepsilon) - y_0$ वाला प्रत्येक $y \in J$ $x_0 \leq f^{-1}(y) \leq x_0 + \varepsilon$ संतुष्ट करता है, और यह एकपक्षीय आकलन ही सिरे पर सांतत्य है; दायाँ सिरा सममित है। (ध्यान दीजिए: $f^{-1}$ की सांतत्य $f$ की सांतत्य से सममिति द्वारा नहीं निकाली गई — यह काम अंतराल पर एकदिष्टता करती है।) ∎

टिप्पणी 13.17

यही प्रमेय परिभाषा 4.9 और प्रतिज्ञप्ति 4.21 ने चुपचाप प्रयोग की थी: $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ , $\operatorname{arsinh}$ , … संतत हैं। एक पूरक (अभ्यास 13.10): अंतराल पर संतत एकैकी फलन स्वतः कठोरतः एकदिष्ट होता है, अतः एकदिष्टता की परिकल्पना कुछ भी महँगी नहीं पड़ती।

उदाहरण 13.18 (सभी कोटियों के मूल)

$n \in \N^*$ के लिए फलन $f(x) = x^n$ $\intco{0}{+\infty}$ पर संतत और कठोरतः वर्धमान है, जहाँ $f(0) = 0$ और $f(x) \to +\infty$ : उसका प्रतिबिंब $\intco{0}{+\infty}$ है (अंतराल-संरचना के लिए प्रमेय 13.10)। तब एकदिष्ट एकैकी आच्छादन प्रमेय एक ही चाल में कठोरतः वर्धमान संतत प्रतिलोम दे देती है

x \mapsto x^{1/n} \colon \intco{0}{+\infty} \to \intco{0}{+\infty} :

अर्थात् $n$ -वें मूलों का अस्तित्व, अद्वितीयता और सांतत्य, और वह भी बिना किसी संगणना के। अभ्यास 10.12 से तुलना कीजिए, जिसने $\sqrt y$ को उच्चतम से हाथ से बनाया था: एक अध्याय के सिद्धांत ने उस पूरे पृष्ठ के श्रम को दो पंक्तियों में सिकोड़ दिया, और उन्हीं दो पंक्तियों ने उससे पहले $\arcsin$ , $\arctan$ और $\operatorname{arsinh}$ को भी वैध ठहराया। समापन का सार: अच्छी प्रमेय संचित श्रम है।

13.4 एकसमान सांतत्य

परिभाषा 13.19

$f \colon I \to \R$ एकसमान रूप से संतत तब है जब

\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x, y \in I, \qquad \abs{x - y} \leq \delta \implies \abs{f(x) - f(y)} \leq \varepsilon .

मुख्य बात: $\delta$ केवल $\varepsilon$ पर निर्भर करता है, $I$ में स्थान पर नहीं। एकसमान सांतत्य से सांतत्य आती है; और लिप्शिट्ज़ फलन ( $\abs{f(x) - f(y)} \leq k \abs{x - y}$ ) एकसमान रूप से संतत होता है ( $\delta = \varepsilon/k$ )।

उदाहरण 13.20

$x \mapsto x^2$ $\R$ पर संतत है पर एकसमान रूप से संतत नहीं: $\abs{(n + \frac 1n)^2 - n^2} = 2 + \frac{1}{n^2} \geq 2$ , यद्यपि प्रांतिक $\frac 1n \to 0$ दूरी पर हैं। किसी भी परिबद्ध अंतराल पर वह लिप्शिट्ज़ है, अतः एकसमान रूप से संतत — जो नीचे हाइने की प्रमेय के अनुरूप है।

उदाहरण 13.21 (एकसमान मापांक, स्पष्ट रूप से)

खंड पर हाइने एकसमान $\delta$ की गारंटी देता है; प्रायः उसे संगणित भी किया जा सकता है। $\intcc{0}{10}$ पर $f(x) = x^2$ के लिए:

\abs{x^2 - y^2} = \abs{x + y}\,\abs{x - y} \leq 20\,\abs{x - y},

अतः $\delta = \frac{\varepsilon}{20}$ एकसमान रूप से काम करता है (एक लिप्शिट्ज़ मापांक, $\varepsilon$ में रैखिक)। $\intcc{0}{1}$ पर $\sqrt x$ के लिए: $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt{\abs{x - y}}$ (अभ्यास 13.9), अतः $\delta = \varepsilon^2$ काम करता है — एकसमान, पर रैखिक नहीं: $0$ के पास वर्गमूल खड़ा है, और उसकी क़ीमत $\varepsilon$ के घातांक में दिखाई देती है, एकसमानता की विफलता में नहीं। समापन का सार: एकसमान सांतत्य कोई हाँ/ना नहीं, एक पूरा वर्णक्रम है — फलन $\delta(\varepsilon)$ , जिसे मापांक कहते हैं, नापता है कि एकसमानता कितनी महँगी है, और लिप्शिट्ज़ उसका सर्वोत्तम श्रेणी-अंक भर है।

प्रमेय 13.22 (हाइने)

किसी खंड $\intcc{a}{b}$ पर संतत फलन एकसमान रूप से संतत होता है।

उपपत्ति. विरोधाभास से: मान लीजिए कोई $\varepsilon_0 > 0$ हर $\delta$ को हरा देता है। $\delta = \frac{1}{n+1}$ के साथ ऐसे $x_n, y_n \in \intcc{a}{b}$ चुनिए कि $\abs{x_n - y_n} \leq \frac{1}{n+1}$ और $\abs{f(x_n) - f(y_n)} > \varepsilon_0$ । संहतता (प्रमेय 12.19) $x_{\varphi(n)} \to c \in \intcc{a}{b}$ निकाल देती है; तब $y_{\varphi(n)} \to c$ भी ( $\abs{x - y}$ पर दबाव)। $c$ पर सांतत्य $f(x_{\varphi(n)}) \to f(c)$ और $f(y_{\varphi(n)}) \to f(c)$ देती है, अतः $\abs{f(x_{\varphi(n)}) - f(y_{\varphi(n)})} \to 0 < \varepsilon_0$ : विरोधाभास। ∎

उदाहरण 13.23 (परिबद्ध, संतत, फिर भी एकसमान नहीं)

फलन $f(x) = \sin(x^2)$ $\R$ पर संतत और परिबद्ध है, पर एकसमान रूप से संतत नहीं। लीजिए

x_n = \sqrt{2\pi n}, \qquad y_n = \sqrt{2\pi n + \tfrac\pi2}: \qquad y_n - x_n = \frac{\pi/2}{\sqrt{2\pi n + \frac\pi2} + \sqrt{2\pi n}} \longrightarrow 0 ,

फिर भी प्रत्येक $n$ के लिए $f(y_n) - f(x_n) = \sin\bigl(2\pi n + \frac\pi2\bigr) - \sin(2\pi n) = 1 - 0 = 1$ : कोई एक $\delta$ $\varepsilon = \frac12$ के लिए सर्वत्र काम नहीं कर सकता। ज्यामितीय रूप से, $\sin(x^2)$ के दोलन त्वरित होते जाते हैं: आलेख निरंतर छोटी होती खिड़कियों पर पूरी तरंग पूरी कर लेता है, अतः दिए हुए $\varepsilon$ के लिए आवश्यक क्षैतिज पैमाना $x$ के बढ़ने के साथ सिकुड़कर शून्य हो जाता है। समापन का सार: परिबद्धता एकसमानता नहीं ख़रीदती (यही उदाहरण), और अपरिबद्धता उसे रोकती नहीं ( $\sqrt x$ , अभ्यास 13.9); निर्णय दोलन का मापांक करता है, और हाइने की प्रमेय कहती है कि संहत प्रांत उसे स्वतः अनुशासित कर देते हैं।

उदाहरण 13.24 (कैलकुलेटर का प्रयोग, समझाया हुआ)

कैलकुलेटर में कोई भी संख्या टाइप कीजिए और बार-बार $\cos$ दबाइए: प्रदर्शन $0.7390851\dots$ पर जम जाता है। क्यों? एक बार दबाने के बाद मान $\intcc{-1}{1}$ में है, दो बार के बाद $\intcc{\cos 1}{1} \subseteq \intcc{0.54}{1}$ में, जो $\cos$ के लिए स्थायी अंतराल है। उस पर $\abs{\cos a - \cos b} \leq \sin(1)\,\abs{a - b}$ के साथ $\sin 1 = 0.841\dots < 1$ (समस्या 11.1 का गुणनफल-से-योग परिबंध, अथवा अध्याय 14 की माध्य मान असमिका): अर्थात् पुनरावृत्ति संकुचन करती है, अतः विधि 11.23 के त्रुटि-नियंत्रण पद से,

\abs{u_n - c} \leq (0.842)^{\,n-2}\,\abs{u_2 - c} \longrightarrow 0 ,

जहाँ $c$ अद्वितीय अचल बिंदु $\cos c = c$ है (अभ्यास 13.6)। लगभग $40$ बार दबाने से तीन दशमलव मिल जाते हैं ( $0.842^{40} \approx 10^{-3}$ ) — अर्थात् गुणोत्तर दर, जो द्विभाजन की प्रति पद $2^{-n}$ से मंद है, पर हर बार दबाने में एक ही कुंजी लगती है जबकि द्विभाजन के हर पद में पूरा चिह्न-मूल्यांकन। समापन का सार: अध्याय 11 का अचल-बिंदु चित्र और इस अध्याय की अस्तित्व-प्रमेयें एक ही कथा के दो आधे हैं — मध्यवर्ती मान प्रमेय $c$ ढूँढ़ लेती है, और संकुचन उस तक पहुँच जाता है।

टिप्पणी 13.25 (ये प्रमेयें आगे कहाँ काम करती हैं)

इस अध्याय के तीनों स्तंभ आगे एक-एक अध्याय को शक्ति देते हैं। मध्यवर्ती मान प्रमेय हलों के अस्तित्व के हर तर्क को और एकदिष्ट एकैकी आच्छादन प्रमेय को पोषित करती है; चरम मान प्रमेय इष्टतमीकरण की समस्याओं को प्रमेयों में बदल देती है (अध्याय 14 में रोल और माध्य मान प्रमेय ठीक वहीं से आरंभ होती हैं); और हाइने की प्रमेय ही वह कारण है कि खंडों पर संतत फलन अध्याय 15 में समाकलित किए जा सकते हैं — एकसमान $\delta$ ही रीमान योगों को अभिसरित कराता है। स्नातक वर्ष 2 के खंड में यही तिकड़ी मानकित सदिश समष्टियों में लौटती है, जहाँ वह काम संहतता करती है जो यहाँ खंड करते हैं।

टिप्पणी 13.26 (इस खंड के भीतर आगे की दृष्टि)

सांतत्य का दर्जा अब घटने वाला है, पर वह कभी सेवानिवृत्त नहीं होती। अध्याय 14 उसे अवकलनीयता तक प्रबल कर देता है और बदले में उपकार भी करता है (अवकलनीय होने से संतत होना निकलता है); अध्याय 15 उस पर दो बार टिकता है, हाइने के द्वारा निर्माण में और मूल प्रमेय के द्वारा, जिसकी केंद्रीय वस्तु $x \mapsto \int_a^x f$ मात्र संतत $f$ को $C^1$ प्रतिअवकलज तक उठा देती है। अध्याय 25 में दो चरों की सांतत्य में एक जाल है जिसकी झलक अभी देख लेनी चाहिए: फलन $\frac{xy}{x^2 + y^2}$ ( $0$ से विस्तारित) प्रत्येक नियत $y$ के लिए $x$ में और प्रत्येक नियत $x$ के लिए $y$ में संतत है, फिर भी मूलबिंदु पर संतत नहीं है — विकर्ण $x = y$ के अनुदिश वह सदा $\frac12$ रहता है। पृथक् सांतत्य सांतत्य से कठोरतः दुर्बल है: अनुक्रमीय अभिलक्षण $\R^2$ तक चला तो जाता है, पर अनुक्रमों को प्रत्येक दिशा से पास आने की अनुमति होनी चाहिए, केवल अक्षों के अनुदिश नहीं।

13.5 अभ्यास

अभ्यास 13.1 ★

अनुक्रमीय अभिलक्षण का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि $x \mapsto \sin\frac 1x$ की $0^+$ पर कोई सीमा नहीं है (दो अनुक्रम प्रस्तुत कीजिए)। क्या $x \mapsto x \sin\frac 1x$ की कोई सीमा है?

हल

हल — अभ्यास 13.1.

$u_n = \frac{1}{2\pi n + \pi/2}$ और $v_n = \frac{1}{2\pi n}$ लीजिए: दोनों $0^+$ की ओर जाते हैं, फिर भी $\sin\frac{1}{u_n} = 1$ और $\sin\frac{1}{v_n} = 0$ । दो अनुक्रम, प्रतिबिंबों की दो भिन्न सीमाएँ: अतः प्रमेय 13.3 से $0^+$ पर कोई सीमा नहीं।

$x \sin\frac1x$ : $\abs{x\sin\frac1x} \leq \abs x \to 0$ से दबा हुआ, अतः $0$ पर सीमा विद्यमान है और $0$ के बराबर है।

अभ्यास 13.2 ★

$\R$ पर $f(x) = \lfloor x \rfloor$ की, $g(x) = x - \lfloor x \rfloor$ की और $h(x) = \lfloor x \rfloor + (x - \lfloor x\rfloor)^2$ की सांतत्य का अध्ययन कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 13.2.

$f = \lfloor\cdot\rfloor$ $\R \setminus \Z$ पर संतत है (स्थानीय रूप से अचर) और प्रत्येक $n \in \Z$ पर असंतत: बाईं सीमा $n - 1$ , मान $n$ ।

$g(x) = x - \lfloor x\rfloor$ : वही असांतत्य-बिंदु (तत्समक फलन संतत है, अतः $g$ $f$ की कूदें विरासत में पाता है); $n \in \Z$ पर बाईं सीमा $1 \neq 0 = g(n)$ ।

$h(x) = \lfloor x\rfloor + (x - \lfloor x\rfloor)^2$ : $\intco{n}{n + 1}$ पर $h(x) = n + (x - n)^2$ , अतः वहाँ संतत; $x = n$ पर बाईं सीमा $(n-1) + 1 = n = h(n)$ है: कूदें कट जाती हैं। $h$ $\R$ पर संतत है (और कठोरतः वर्धमान)।

अभ्यास 13.3 ★

सिद्ध कीजिए कि समीकरण $x^5 - 3x + 1 = 0$ के कम से कम तीन वास्तविक हल हैं (सुचयनित बिंदुओं पर मान निकालिए और तीन असंयुक्त खंडों पर प्रमेय 13.10 लगाइए)।

हल

हल — अभ्यास 13.3.

$P(x) = x^5 - 3x + 1$ : $P(-2) = -32 + 6 + 1 = -25 < 0$ ; $P(0) = 1 > 0$ ; $P(1) = -1 < 0$ ; $P(2) = 27 > 0$ । असंयुक्त खंडों $\intcc{-2}{0}$ , $\intcc{0}{1}$ , $\intcc{1}{2}$ पर तीन चिह्न-परिवर्तन: अतः प्रमेय 13.10 से कम से कम तीन मूल। (घात $5$ होने से $P$ के अधिक से अधिक पाँच मूल हैं; विचरण-अध्ययन ठीक तीन दिखा देता।)

अभ्यास 13.4 ★

सिद्ध कीजिए कि विषम घात के प्रत्येक बहुपद का कोई वास्तविक मूल है।

हल

हल — अभ्यास 13.4.

मान लीजिए $a_{2m+1} > 0$ वाला $P = a_{2m+1}X^{2m+1} + \dots$ है (अन्यथा $P$ के स्थान पर $-P$ रखिए)। प्रभावी पद का गुणनखंडन करने पर $x \to \pm\infty$ होने पर $P(x) = a_{2m+1} x^{2m+1}\bigl(1 + o(1)\bigr)$ : अतः $+\infty$ पर $P(x) \to +\infty$ और $-\infty$ पर $-\infty$ । ऐसे $a$ और $b$ चुनिए कि $P(a) < 0$ और $P(b) > 0$ : $\intcc{a}{b}$ पर मध्यवर्ती मान प्रमेय एक मूल दे देती है।

अभ्यास 13.5 ★★

(अचल बिंदु) मान लीजिए $f \colon \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ संतत है। सिद्ध कीजिए कि $f$ का कोई अचल बिंदु है: किसी $c$ के लिए $f(c) = c$ । दिखाइए कि न सांतत्य छोड़ी जा सकती है और न खंड।

हल

हल — अभ्यास 13.5.

मान लीजिए $g(x) = f(x) - x$ , जो $\intcc{0}{1}$ पर संतत है। चूँकि $f$ $\intcc{0}{1}$ में भेजता है: $g(0) = f(0) \geq 0$ और $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$ । प्रमेय 13.10 से किसी $c$ के लिए $g(c) = 0$ : अर्थात् एक अचल बिंदु।

परिकल्पनाओं की आवश्यकता: $\intcc{0}{1}$ पर असंतत प्रतिचित्रण, जो $x \leq \frac12$ के लिए $f(x) = 1$ और $x > \frac12$ के लिए $f(x) = 0$ है, का कोई अचल बिंदु नहीं है; अंतराल $\intoo{0}{1}$ (जो खंड नहीं है) पर $f(x) = \frac x2$ $\intoo{0}{1}$ में संतत है और उसका कोई अचल बिंदु नहीं (उम्मीदवार $0$ अनुपस्थित है); और $\R$ पर $f(x) = x + 1$ ।

अभ्यास 13.6 ★★

सिद्ध कीजिए कि समीकरण $\cos x = x$ का ठीक एक वास्तविक हल है, और वह $\intoo{0}{1}$ में है।

हल

हल — अभ्यास 13.6.

$g(x) = \cos x - x$ संतत है, $g(0) = 1 > 0$ , $g(1) = \cos 1 - 1 < 0$ : अतः $\intoo{0}{1}$ में कोई हल विद्यमान है (प्रमेय 13.10)। अद्वितीयता: $g$ $\R$ पर कठोरतः ह्रासमान है — $x \leq 0$ के लिए $g(x) \geq 1 - x > 0$ का वैसे भी कोई शून्य नहीं है; और $g'(x) = -\sin x - 1 \leq 0$ , जहाँ समता केवल वियुक्त बिंदुओं पर ( $x \equiv -\frac\pi2 \bmod 2\pi$ ), अतः $g$ कठोरतः ह्रासमान है (अध्याय 14; वैकल्पिक रूप से: $\intcc{0}{1}$ पर $\cos$ कठोरतः ह्रासमान है और $-x$ भी, अतः $g$ भी)। कठोरतः एकदिष्ट फलन अधिक से अधिक एक बार लुप्त होता है।

अभ्यास 13.7 ★★

मान लीजिए $f \colon \R \to \R$ संतत है और $x \to \pm\infty$ होने पर $f(x) \to +\infty$ । सिद्ध कीजिए कि $f$ $\R$ पर समग्र न्यूनतम प्राप्त करता है। (किसी अधःस्तर समुच्चय को समेटने वाले खंड पर ले आइए।)

हल

हल — अभ्यास 13.7.

$M = f(0) + 1$ नियत कीजिए। ऐसा $A > 0$ है कि $\abs x \geq A$ के लिए $f(x) \geq M$ (दोनों अनंत सीमाओं की परिभाषा; बड़ी देहली लीजिए)। खंड $\intcc{-A}{A}$ पर चरम मान प्रमेय (प्रमेय 13.13) ऐसा $c$ देती है कि $f(c) = \inf_{\intcc{-A}{A}} f \leq f(0)$ । $\abs x \geq A$ के लिए: $f(x) \geq M > f(0) \geq f(c)$ । अतः $f(c)$ समग्र न्यूनतम है।

अभ्यास 13.8 ★★

मान लीजिए $f \colon \R \to \R$ संतत और आवर्ती है (आवर्तकाल $T > 0$ )। सिद्ध कीजिए कि $f$ परिबद्ध है और अपने परिबंध प्राप्त करता है, और यह कि ऐसा $c$ है कि $f(c + \frac T2) = f(c)$ । (दूसरे बिंदु के लिए एक आवर्तकाल पर $g(x) = f(x + \frac T2) - f(x)$ का अध्ययन कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 13.8.

खंड $\intcc{0}{T}$ पर $f$ परिबद्ध है और अपने परिबंध प्राप्त करता है (प्रमेय 13.13); और आवर्तिता से वही परिबंध पूरे $\R$ पर हैं, और वहीं प्राप्त भी होते हैं।

मान लीजिए $g(x) = f(x + \frac T2) - f(x)$ , जो संतत है। तब

g(0) + g\bigl(\tfrac T2\bigr) = \bigl(f(\tfrac T2) - f(0)\bigr) + \bigl(f(T) - f(\tfrac T2)\bigr) = f(T) - f(0) = 0 :

$g(0)$ और $g(\frac T2)$ के चिह्न विपरीत हैं (या कोई एक लुप्त है), अतः $\intcc{0}{T/2}$ पर मध्यवर्ती मान प्रमेय ऐसा $c$ देती है कि $g(c) = 0$ , अर्थात् $f(c + \frac T2) = f(c)$ ।

अभ्यास 13.9 ★★

सिद्ध कीजिए कि $x \mapsto \sqrt x$ $\intco{0}{+\infty}$ पर एकसमान रूप से संतत है, यद्यपि $0$ के पास वह लिप्शिट्ज़ नहीं है। ( $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt{\abs{x - y}}$ सिद्ध करके उसका प्रयोग कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 13.9.

पहले असमिका: $0 \leq y \leq x$ के लिए,

\bigl(\sqrt y + \sqrt{x - y}\bigr)^2 = x + 2\sqrt{y(x-y)} \geq x,

अतः $\sqrt x \leq \sqrt y + \sqrt{x - y}$ , अर्थात् $\sqrt x - \sqrt y \leq \sqrt{x - y}$ । इसलिए सभी $x, y \geq 0$ के लिए $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt{\abs{x - y}}$ ।

एकसमान सांतत्य: $\varepsilon > 0$ दिया हो, तो $\delta = \varepsilon^2$ लीजिए; तब $\abs{x - y} \leq \delta$ से $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt\delta = \varepsilon$ आ जाता है।

$0$ के पास लिप्शिट्ज़ नहीं: $x \to 0^+$ होने पर $\frac{\sqrt x - \sqrt 0}{x - 0} = \frac{1}{\sqrt x} \to +\infty$ , अतः कोई अचर $k$ सभी अंतर-भागफलों पर हावी नहीं हो सकता।

अभ्यास 13.10 ★★★

मान लीजिए $f$ किसी अंतराल $I$ पर संतत और एकैकी है। सिद्ध कीजिए कि $f$ कठोरतः एकदिष्ट है। संकेत: यदि नहीं, तो ऐसे $a < b < c$ हैं कि, मान लीजिए, $f(b) > f(a)$ और $f(b) > f(c)$ ; $\max(f(a), f(c))$ और $f(b)$ के बीच के किसी मान पर $b$ के दोनों ओर मध्यवर्ती मान प्रमेय लगाइए।

हल

हल — अभ्यास 13.10.

मान लीजिए $f$ एकैकी और संतत है पर कठोरतः एकदिष्ट नहीं। तब $I$ में ऐसे $a < b < c$ हैं कि $f(b)$ $f(a)$ और $f(c)$ के बीच नहीं है — वस्तुतः, यदि सभी त्रिकियों के लिए बीच का मान बाहरी दोनों के बीच होता, तो $f$ एकदिष्ट होता (किन्हीं दो युग्मों की तुलना कीजिए; एक छोटी स्थिति-जाँच)। मान लीजिए $f(b) > \max(f(a), f(c))$ (दूसरी स्थिति सममित है, $f$ के स्थान पर $-f$ रखिए)। ऐसा $v$ चुनिए कि $\max(f(a), f(c)) < v < f(b)$ । $\intcc{a}{b}$ पर और $\intcc{b}{c}$ पर मध्यवर्ती मान प्रमेय लगाने से ऐसे $u_1 \in \intoo{a}{b}$ और $u_2 \in \intoo{b}{c}$ हैं कि $f(u_1) = v = f(u_2)$ : अर्थात् बराबर प्रतिबिंब वाले दो भिन्न बिंदु, जो एकैकीयता का विरोध करता है।

अभ्यास 13.11 ★★★

(कोशी का फलनीय समीकरण, संतत स्थिति) मान लीजिए $f \colon \R \to \R$ संतत है और सभी $x, y$ के लिए $f(x + y) = f(x) + f(y)$ । सिद्ध कीजिए कि सभी $x$ के लिए $f(x) = f(1)\,x$ : पहले $\N$ , $\Z$ , $\Q$ पर (केवल योज्यता से), फिर $\R$ पर सांतत्य और सघनता से (प्रमेय 10.14)।

हल

हल — अभ्यास 13.11.

$f(0) = f(0+0) = 2f(0)$ $f(0) = 0$ देता है; $0 = f(x - x)$ से $f(-x) = -f(x)$ । $\alpha = f(1)$ रखिए। आगमन: $n \in \N$ के लिए $f(n) = n\alpha$ , फिर विषमता से $n \in \Z$ के लिए भी। $q \in \N^*$ के लिए: $q\,f(\frac pq) = f(p) = p\alpha$ ( $\frac pq$ को $q$ बार अपने में जोड़िए), अतः $f(\frac pq) = \alpha\frac pq$ : $\Q$ पर $f = \alpha\, \mathrm{id}$ ।

अब मान लीजिए $x \in \R$ और $(r_n)$ $r_n \to x$ वाला परिमेय संख्याओं का अनुक्रम है (सघनता, प्रमेय 10.14, नेस्टेड अंतरालों में लगाकर; अथवा $r_n = \frac{\lfloor nx\rfloor}{n}$ )। सांतत्य: $f(x) = \lim f(r_n) = \lim \alpha r_n = \alpha x$ ।

अभ्यास 13.12 ★★★

मान लीजिए $f \colon \intco{0}{+\infty} \to \R$ संतत है और $x \to +\infty$ होने पर $f(x) \to \ell \in \R$ । सिद्ध कीजिए कि $f$ $\intco{0}{+\infty}$ पर एकसमान रूप से संतत है। (किसी बड़े $A$ पर काटिए: $\intcc{0}{A+1}$ पर हाइने, और $A$ से आगे सीमा; दोनों क्षेत्रों को अतिव्यापी बनाइए।)

हल

हल — अभ्यास 13.12.

मान लीजिए $\varepsilon > 0$ । $+\infty$ पर सीमा से ऐसा $A$ है कि $x \geq A$ के लिए $\abs{f(x) - \ell} \leq \frac\varepsilon2$ ; अतः $x, y \geq A$ के लिए $\abs{f(x) - f(y)} \leq \varepsilon$ (किसी निकटता की आवश्यकता नहीं)।

खंड $\intcc{0}{A + 1}$ पर हाइने की प्रमेय (प्रमेय 13.22) इस $\varepsilon$ के लिए $\delta_0 > 0$ देती है; $\delta = \min(\delta_0, 1)$ रखिए।

अब $\abs{x - y} \leq \delta$ वाला कोई भी $x, y \geq 0$ लीजिए, मान लीजिए $x \leq y$ । यदि $y \leq A + 1$ : दोनों उस खंड में हैं, और हाइने वाला $\delta_0$ लागू हो जाता है। अन्यथा $y > A + 1$ , और तब $x \geq y - 1 > A$ : दोनों $\intco{A}{+\infty}$ में हैं, जहाँ सीमा वाला तर्क लागू होता है। दोनों स्थितियों में $\abs{f(x) - f(y)} \leq \varepsilon$ : अर्थात् एकसमान सांतत्य।

13.6 समस्या: कोशी का फलनीय समीकरण और उसकी बहनें

समस्या 13.1

सप्ताहांत समस्या — $f(x + y) = f(x) + f(y)$ : नियमितता रैखिकता पर बाध्य कर देती है, और राक्षसों का चित्र

कौन-से फलन सभी वास्तविक $x, y$ के लिए $f(x + y) = f(x) + f(y)$ संतुष्ट करते हैं? कोशी ने यह प्रश्न 1821 में उठाया था; उत्तर एक आदर्श है। अभ्यास 13.11 दिखाता है कि ऐसा योज्य फलन $\Q$ पर रैखिक होता है और पूरी सांतत्य $f(x) = cx$ पर बाध्य कर देती है। यह समस्या परिकल्पना को नाटकीय रूप से तीक्ष्ण करती है — एक ही बिंदु पर सांतत्य, अथवा एकदिष्टता, अथवा किसी एक छोटे अंतराल पर मात्र परिबद्धता, इनमें से हर एक पर्याप्त है — फिर किसी काल्पनिक अरैखिक हल का चित्र खींचती है (उसका आलेख समतल भर देता है), $\eu^{cx}$ , $c\ln x$ , $x^c$ और $cx^2$ को अभिलक्षित करने वाली बहन-समीकरण हल करती है, और येंसन के समीकरण तथा प्रमेय मध्यबिंदु-उत्तल $+$ संतत $\implies$ उत्तल पर समाप्त होती है। आगे सर्वत्र योज्य का अर्थ है: सभी $x, y \in \R$ के लिए $f(x + y) = f(x) + f(y)$ ।

भाग I — $\Q$ -रैखिकता, और सांतत्य का एक बिंदु।

मान लीजिए $f$ योज्य है। अभ्यास 13.11 से परिमेय $r$ के लिए $f(r) = f(1)\,r$ । नीचे प्रयुक्त होने वाला सूक्ष्मतर कथन सिद्ध कीजिए: प्रत्येक $x \in \R$ और $r \in \Q$ के लिए $f(rx) = r\,f(x)$ ( $f$ $\Q$ -रैखिक है)।
मान लीजिए योज्य $f$ किसी एक ही बिंदु $x_0$ पर संतत है। दिखाइए कि $f$ सर्वत्र संतत है ( $f(x + h) - f(x)$ को $f(x_0 + h) - f(x_0)$ के पदों में संगणित कीजिए), अतः $f(x) = f(1)\,x$ ।
दिखाइए कि योज्य फलन किसी भी सघन उपसमूह पर अपने प्रतिबंधन से निर्धारित हो जाता है: यदि दो योज्य फलन $\Z + \sqrt2\,\Z$ पर मेल खाते हों और दोनों संतत हों, तो वे बराबर हैं — जबकि सांतत्य के बिना $f(1) = 0$ और $f(\sqrt 2) = 1$ निर्धारित कर देना उस उपसमूह पर $\Q$ -रैखिकता के अनुरूप है। इस निर्धारण के लिए $f(m + n\sqrt2)$ संगणित कीजिए।
मान लीजिए $f$ योज्य है और $a < b$ वाले किसी अंतराल $\intcc{a}{b}$ पर ऊपर से $M$ द्वारा परिबद्ध है। दिखाइए कि $f$ $\intcc{0}{\ell}$ , $\ell = b - a$ पर ऊपर से परिबद्ध है ( $a$ से स्थानांतरण कीजिए)।

भाग II — नियमितता की सीढ़ी।

प्रश्न 4 को आगे बढ़ाते हुए: $f(\ell - t) + f(t) = f(\ell)$ का प्रयोग करके दिखाइए कि $f$ $\intcc{0}{\ell}$ पर नीचे से भी परिबद्ध है: वहाँ $\abs f \leq C$ ।
दिखाइए कि $t \in \intcc{0}{\ell/n}$ के लिए $\abs{f(t)} \leq \frac{C}{n}$ , और उससे निकालिए कि $f$ $0$ पर संतत है (विषमता बाईं ओर सँभाल लेती है), अतः सर्वत्र (प्रश्न 2): अर्थात् किसी एक अंतराल पर परिबद्ध योज्य फलन रैखिक होता है।
एकदिष्ट स्थिति निकालिए: किसी $\intcc{a}{b}$ ( $a < b$ ) पर अह्रासमान योज्य फलन $c \geq 0$ के साथ $f(x) = cx$ है।
नियमितता की सीढ़ी जोड़िए: योज्य $f$ के लिए ये तुल्य हैं — (क) $f(x) = cx$ ; (ख) $f$ संतत; (ग) $f$ किसी एक बिंदु पर संतत; (घ) $f$ किसी अनपकर्षी अंतराल पर एकदिष्ट; (ङ) $f$ किसी अनपकर्षी अंतराल पर परिबद्ध। निहितार्थों को इस प्रकार सजाइए कि हर एक या तो तुच्छ हो या पहले ही सिद्ध।
सत्यापित कीजिए कि प्रश्न 4–6 ने केवल ऊपर का परिबंध खपाया: अर्थात् किसी एक अनपकर्षी अंतराल पर ऊपर से परिबद्ध योज्य फलन पहले ही रैखिक है। नीचे के परिबंध के लिए दर्पण कथन निकालिए, और इस प्रकार मिले सीढ़ी के डंडे (ङ) का प्रबलतम रूप लिखिए।

भाग III — किसी राक्षस का चित्र। अब मान लीजिए $f$ योज्य है पर रैखिक नहीं।

दिखाइए कि ऐसी अशून्य वास्तविक संख्याएँ $u, v$ हैं कि $\dfrac{f(u)}{u} \neq \dfrac{f(v)}{v}$ , और यह कि सदिश $(u, f(u))$ तथा $(v, f(v))$ समतल को फैलाते हैं (उनका सारणिक $u f(v) - v f(u)$ अशून्य है)।
दिखाइए कि $f$ के आलेख में ये सभी बिंदु हैं

$r\,(u, f(u)) + s\,(v, f(v)), \qquad r, s \in \Q ,$

और उससे निकालिए कि वह आलेख $\R^2$ में सघन है: समतल के प्रत्येक बिंदु $(x_0, y_0)$ और प्रत्येक $\varepsilon > 0$ के लिए कोई $(x, f(x))$ उससे $\varepsilon$ के भीतर है ( $2\times2$ वास्तविक निकाय हल कीजिए, फिर वास्तविक गुणांकों का परिमेय संख्याओं से सन्निकटन कीजिए)।
प्रश्न 11 से पूरा चित्र निकालिए: अरैखिक योज्य फलन प्रत्येक अनपकर्षी अंतराल पर अपरिबद्ध है, प्रत्येक बिंदु पर असंतत है, किसी भी अंतराल पर एकदिष्ट नहीं है, और किसी भी अंतराल का उसका प्रतिबिंब $\R$ में सघन है। प्रश्न 8 के साथ मेल बैठाइए।
राक्षस विद्यमान हैं — किसी सघन उपसमूह पर, रचनात्मक रूप से: $G = \Z + \sqrt2\,\Z$ पर $f(m + n\sqrt2) = n$ परिभाषित कीजिए। दिखाइए कि $f$ $G$ पर सुपरिभाषित और योज्य है, और यह कि प्रत्येक $\varepsilon > 0$ के लिए $f$ $G \cap \intoo{0}{\varepsilon}$ पर अपरिबद्ध है (नियत $N$ के लिए केवल परिमित कितने $g = m + n\sqrt2 \in \intoo{0}{1}$ के लिए $\abs n \leq N$ ; फिर भी $G \cap \intoo{0}{\varepsilon}$ अनंत है)। एक अनुच्छेद में समझाइए कि ऐसे $f$ को पूरे $\R$ तक बढ़ाने के लिए $\R$ का $\Q$ -सदिश समष्टि के रूप में आधार (अर्थात् हामेल आधार) क्यों चाहिए, जिसका अस्तित्व चयन-अभिगृहीत का विषय है और इस खंड से परे।

भाग IV — बहन-समीकरण। यहाँ सभी फलन संतत हैं।

मान लीजिए $f \colon \R \to \R$ संतत है, तत्समक रूप से $0$ नहीं, और $f(x + y) = f(x)f(y)$ । दिखाइए $f(x) = f\bigl(\frac x2\bigr)^2 \geq 0$ , फिर सर्वत्र $f > 0$ , फिर किसी $c$ के लिए $f(x) = \eu^{cx}$ : अर्थात् चरघातांकी ही $(\R, +)$ से $(\R^*, \times)$ तक की संतत समाकारिताएँ हैं।
मान लीजिए $f \colon \intoo{0}{+\infty} \to \R$ संतत है और $f(xy) = f(x) + f(y)$ । दिखाइए $f(x) = c\ln x$ ( $\exp$ से ले जाइए)।
मान लीजिए $f \colon \intoo{0}{+\infty} \to \intoo{0}{+\infty}$ संतत है और $f(xy) = f(x)f(y)$ । दिखाइए $f(x) = x^c$ ।
ऐसे सभी संतत $f \colon \R \to \R$ खोजिए जिनके लिए

$f(x + y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y) .$

( $h = 1 + f$ का अध्ययन कीजिए; अपकर्षी स्थिति अलग से सँभालिए।)
(समांतर चतुर्भुज) ऐसे सभी संतत $f \colon \R \to \R$ खोजिए जिनके लिए $f(x + y) + f(x - y) = 2f(x) + 2f(y)$ : दिखाइए कि $f$ सम है, $f(0) = 0$ , आगमन से $f(nx) = n^2 f(x)$ , फिर $f(x) = f(1)\,x^2$ । (यह समीकरण द्विघात रूपों की पहचान है — वही समांतर चतुर्भुज नियम, जो स्नातक वर्ष 2 के खंड में यह पकड़ लेता है कि कौन-से मानक किसी अंतर्गुणन से आते हैं।)

भाग V — येंसन और मध्यबिंदु उत्तलता।

(येंसन का समीकरण) मान लीजिए $f \colon \R \to \R$ संतत है और $f\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr) = \frac{f(x) + f(y)}{2}$ । दिखाइए कि $g = f - f(0)$ $g\bigl(\frac x2\bigr) = \frac{g(x)}{2}$ संतुष्ट करता है, उससे निकालिए कि $g$ योज्य है, और निष्कर्ष निकालिए $f(x) = cx + d$ ।
अब केवल असमिका मान लीजिए: $f$ संतत है और

$f\Bigl(\frac{x + y}{2}\Bigr) \leq \frac{f(x) + f(y)}{2} \qquad (x, y \in \R).$

$n$ पर आगमन से सिद्ध कीजिए कि सभी द्विआधारी भार $\lambda = \frac{k}{2^n} \in \intcc{0}{1}$ के लिए:

$f\bigl(\lambda x + (1 - \lambda)y\bigr) \leq \lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y) .$
सांतत्य और द्विआधारी संख्याओं की सघनता (अभ्यास 10.8) से इसे प्रत्येक $\lambda \in \intcc{0}{1}$ तक बढ़ाइए: अर्थात् संतत मध्यबिंदु-उत्तल फलन पूरी उत्तलता असमिका संतुष्ट करता है (यह धारणा अध्याय 14 में व्यवस्थित रूप से पढ़ी गई है)।
दिखाइए कि सांतत्य छोड़ी नहीं जा सकती: कोई अरैखिक योज्य $f$ प्रश्न 19 की मध्यबिंदु समता तो संतुष्ट करता है पर किसी भी अंतराल पर कोई उत्तलता असमिका नहीं (प्रश्न 12)। उपदेश: मध्यबिंदु उत्तलता गणनीय-चरण वाला गुणधर्म है (द्विआधारी), और उत्तलता सातत्य वाला; सांतत्य ही सेतु है — ठीक वैसे ही जैसे भाग I और II में।

भाग VI — अंतिम रूपांतर और संश्लेषण।

ऐसे सभी संतत $f \colon \R \to \R$ खोजिए जिनके लिए $f(x + y) = f(x) + f(y) + xy$ (विशिष्ट हल $\frac{x^2}{2}$ घटा दीजिए)।
सिद्ध कीजिए: यदि $f \colon \R \to \R$ संतत है और केवल किसी सघन उपसमूह $G$ पर योज्य है (अर्थात् $g, g' \in G$ के लिए $f(g + g') = f(g) + f(g')$ ), तो $f$ $\R$ पर योज्य है। और अधिक व्यापक रूप से, $\R$ के किसी सघन उपसमुच्चय पर मेल खाने वाले दो संतत फलन बराबर होते हैं।
संश्लेषण, एक-एक वाक्य में: (क) प्रश्न 8 की नियमितता की सीढ़ी स्मरण से कहिए; (ख) समझाइए कि नियमितता की विफलता के लिए “आलेख समतल में सघन” सही मानसिक चित्र क्यों है; (ग) भाग IV और V में अभिलक्षित पाँचों चिरपरिचित फलन और वह एक विधि गिनाइए जिसने उन सबको पकड़ा; (घ) वे दो स्थान बताइए जहाँ $\R$ में $\Q$ (या द्विआधारी संख्याओं) की सघनता ने तर्क ढोया, और वह स्थान जहाँ वह ऐसा नहीं कर सकी (प्रश्न 13)।

हल

हल — समस्या 13.1.

1. $n \in \N$ के लिए: आगमन से $f(nx) = n f(x)$ ( $f((n+1)x) = f(nx) + f(x)$ )। साथ ही $f(0) = 2f(0)$ $f(0) = 0$ देता है, और $0 = f(x - x) = f(x) + f(-x)$ विषमता देता है, अतः $n \in \Z$ के लिए $f(nx) = nf(x)$ । $r = \frac pq$ के लिए: $q\,f\bigl(\tfrac pq x\bigr) = f(px) = p\,f(x)$ , अतः $f(rx) = r f(x)$ : अर्थात् $f$ $\Q$ -रैखिक है।

2. योज्यता सभी $x$ और $h$ के लिए देती है:

f(x + h) - f(x) = f(h) = f(x_0 + h) - f(x_0) .

जब $h \to 0$ , तब $x_0$ पर सांतत्य से दायाँ पक्ष $0$ की ओर जाता है; अतः $f(x + h) \to f(x)$ : अर्थात् प्रत्येक $x$ पर सांतत्य। फिर अभ्यास 13.11 $f(x) = f(1)\,x$ दे देता है।

3. दो संतत योज्य फलन $cx$ और $c'x$ रूप के हैं (प्रश्न 2); यदि वे सघन उपसमूह $\Z + \sqrt2\,\Z$ (अभ्यास 10.9) पर मेल खाते हैं, तो उसके किसी $g \neq 0$ के लिए $c\,g = c'g$ : $c = c'$ , अर्थात् दोनों फलन बराबर हैं। सांतत्य के बिना: $\Q$ -रैखिकता केवल $\Q$ -संयोजनों पर मान बाँधती है, और $1, \sqrt2$ $\Q$ -स्वतंत्र हैं ( $\sqrt2 \notin \Q$ ), अतः $f(1) = 0$ , $f(\sqrt2) = 1$ संगत है और उपसमूह पर बाध्य कर देता है

f(m + n\sqrt2) = m\,f(1) + n\,f(\sqrt2) = n .

4. $t \in \intcc{0}{\ell}$ के लिए: $a + t \in \intcc{a}{b}$ , अतः $f(t) = f(a + t) - f(a) \leq M - f(a) =: M'$ ।

5. $t \in \intcc{0}{\ell}$ के लिए $\ell - t \in \intcc{0}{\ell}$ भी, और योज्यता $f(t) = f(\ell) - f(\ell - t) \geq f(\ell) - M'$ देती है। अतः $C = \max\bigl(\abs{M'}, \abs{f(\ell) - M'}\bigr)$ के साथ $\intcc{0}{\ell}$ पर $\abs{f} \leq C$ ।

6. $t \in \intcc{0}{\ell/n}$ के लिए: $nt \in \intcc{0}{\ell}$ और $f(t) = \frac{f(nt)}{n}$ (प्रश्न 1), अतः $\abs{f(t)} \leq \frac Cn$ । $\varepsilon > 0$ दिया हो, तो $n > \frac C\varepsilon$ चुनिए: $0 \leq h \leq \frac\ell n$ के लिए $\abs{f(h)} \leq \varepsilon$ , और ऋणात्मक $h$ के लिए $f(h) = -f(-h)$ का प्रयोग कीजिए। अतः $h \to 0$ होने पर $f(h) \to 0 = f(0)$ : $0$ पर सांतत्य, इसलिए सर्वत्र (प्रश्न 2), और इसलिए $f(x) = f(1)x$ ।

7. यदि $f$ $\intcc{a}{b}$ पर अह्रासमान है, तो वहाँ $f(a) \leq f(x) \leq f(b)$ : अर्थात् परिबद्ध, अतः प्रश्न 6 से रैखिक, $f(x) = cx$ ; और $c(b - a) = f(b) - f(a) \geq 0$ $c \geq 0$ पर बाध्य कर देता है।

8. (क) $\Rightarrow$ (ख) $\Rightarrow$ (ग): तुच्छ। (ग) $\Rightarrow$ (क): प्रश्न 2। (क) $\Rightarrow$ (घ): रैखिक फलन सर्वत्र एकदिष्ट है। (घ) $\Rightarrow$ (ङ): $\intcc{a}{b}$ पर एकदिष्ट फलन वहाँ अपने सिरों के मानों से परिबद्ध है। (ङ) $\Rightarrow$ (क): प्रश्न 4–6। पाँचों कथन तुल्य हैं — अर्थात् नियमितता की सीढ़ी।

9. प्रश्न 4 ने केवल ऊपरी परिबंध $M$ प्रयुक्त किया; प्रश्न 5 ने परावर्तन $f(t) = f(\ell) - f(\ell - t)$ के द्वारा निचला परिबंध ऊपरी से व्युत्पन्न किया; और फिर प्रश्न 6 $\abs f \leq C$ पर चला। अतः: किसी एक अनपकर्षी अंतराल पर योज्य और ऊपर से परिबद्ध होना ही रैखिकता दे देता है। निचले परिबंध के लिए यही $-f$ (जो योज्य और ऊपर से परिबद्ध है) पर लगाइए। प्रबलतम डंडा (ङ): किसी एक अंतराल पर एकपक्षीय परिबंध पर्याप्त है।

10. यदि सभी $x \neq 0$ के लिए $\frac{f(x)}{x}$ कोई एक ही अचर $c$ होता, तो $f$ रैखिक होता; अतः ऐसे अशून्य $u, v$ हैं कि $\frac{f(u)}u \neq \frac{f(v)}v$ , अर्थात् $u f(v) - v f(u) \neq 0$ : सदिशों $(u, f(u))$ , $(v, f(v))$ का सारणिक अशून्य है, और वे $\R^2$ को फैलाते हैं।

11. $r, s \in \Q$ के लिए: $f(ru + sv) = r f(u) + s f(v)$ (प्रश्न 1 दो बार और योज्यता), अतः आलेख में ये हैं

\bigl(ru + sv,\; r f(u) + s f(v)\bigr) = r\,(u, f(u)) + s\,(v, f(v)) .

$(x_0, y_0)$ और $\varepsilon > 0$ दिए हों: $2 \times 2$ निकाय $a(u, f(u)) + b(v, f(v)) = (x_0, y_0)$ का (अद्वितीय) वास्तविक हल $(a, b)$ है, क्योंकि सारणिक अशून्य है। परिमेय $r_n \to a$ , $s_n \to b$ चुनिए: तब निर्देशांक-दर-निर्देशांक $r_n(u, f(u)) + s_n(v, f(v)) \to (x_0, y_0)$ , और इनमें से हर बिंदु आलेख पर है: अतः आलेख $\R^2$ में सघन है।

12. मान लीजिए $I$ कोई अनपकर्षी अंतराल है, $x_0$ उसका मध्यबिंदु, और $M$ स्वेच्छ: सघनता $(x_0, M + 1)$ के $\min\bigl(\frac{\abs I}{2}, 1\bigr)$ के भीतर कोई आलेख-बिंदु देती है, अर्थात् $f(x) > M$ वाला $x \in I$ : अतः $I$ पर अपरिबद्ध, इसलिए (प्रश्न 8) प्रत्येक बिंदु पर असंतत और किसी भी अंतराल पर एकदिष्ट नहीं; और किसी भी लक्ष्य $y_0$ के लिए $(x_0, y_0)$ के पास के आलेख-बिंदु $x \in I$ वाला $f(x)$ $y_0$ के मनचाहे निकट दे देते हैं: अर्थात् $f(I)$ $\R$ में सघन है। यह प्रश्न 8 को उलटी दिशा में पढ़ना है: चूँकि सभी डंडे तुल्य हैं, अतः अरैखिक योज्य फलन को उन सबमें, और सर्वत्र, विफल होना ही पड़ता है।

13. सुपरिभाषित: $m + n\sqrt2 = m' + n'\sqrt2$ $(n - n')\sqrt2 = m' - m \in \Z$ पर बाध्य करता है, अतः $n = n'$ (अन्यथा $\sqrt2 \in \Q$ ) और $m = m'$ । $G$ पर योज्यता तब निर्देशांक-दर-निर्देशांक स्पष्ट है। $0^+$ के पास अपरिबद्धता: $\varepsilon \in \intoo{0}{1}$ और $N \in \N$ नियत कीजिए। $\abs n \leq N$ वाले प्रत्येक नियत $n$ के लिए शर्त $m + n\sqrt2 \in \intoo{0}{1}$ $m$ को $1$ लंबाई के अंतराल में कील देती है: अतः प्रति $n$ अधिक से अधिक एक पूर्णांक $m$ , इसलिए $G \cap \intoo{0}{1}$ के अधिक से अधिक $2N + 1$ अवयवों के लिए $\abs{f} \leq N$ । पर $G \cap \intoo{0}{\varepsilon}$ अनंत है ( $G$ सघन है, अभ्यास 10.9); अतः उसमें ऐसा कोई $g$ है कि $\abs{f(g)} > N$ : अर्थात् $f$ $0$ के प्रत्येक दक्षिण प्रतिवेश पर अपरिबद्ध है। $f$ को $\R$ पर योज्य फलन तक बढ़ाने का अर्थ है वास्तविक संख्याओं के ऐसे परिवार पर संगत रूप से मान चुनना जो $\Q$ -रैखिकतः स्वतंत्र हो और $\Q$ पर $\R$ को फैलाता हो — अर्थात् एक हामेल आधार; और ऐसा एक उत्पन्न करने के लिए चयन-अभिगृहीत चाहिए, तथा कोई स्पष्ट सूत्र यह नहीं कर सकता: रचनात्मक रूप से यह राक्षस हमारे पास केवल $G$ पर है।

14. $f(x) = f(\frac x2 + \frac x2) = f(\frac x2)^2 \geq 0$ । यदि $f(x_0) = 0$ , तो सभी $x$ के लिए $f(x) = f(x - x_0)f(x_0) = 0$ : वर्जित। अतः $f > 0$ और $g = \ln \circ f$ संतत है (प्रतिज्ञप्ति 13.8) और $g(x + y) = g(x) + g(y)$ : अभ्यास 13.11 से $g(x) = cx$ , अतः $f(x) = \eu^{cx}$ । विलोमतः प्रत्येक $\eu^{cx}$ काम करता है: अर्थात् संतत समाकारिताएँ $(\R, +) \to (\R^*, \times)$ ठीक चरघातांकी हैं।

15. $g(u) = f(\eu^u)$ संतत है और $g(u + v) = f(\eu^u \eu^v) = g(u) + g(v)$ : $g(u) = cu$ , और प्रत्येक $x > 0$ $u = \ln x$ के साथ $x = \eu^u$ लिखा जाता है: $f(x) = c\ln x$ ।

16. $h = \ln \circ f$ $\intoo{0}{+\infty}$ पर संतत है और $h(xy) = h(x) + h(y)$ : अतः प्रश्न 15 से $h(x) = c\ln x$ , इसलिए $f(x) = \eu^{c\ln x} = x^c$ ।

17. $x = y = 0$ : $f(0) = 2f(0) + f(0)^2$ , अतः $f(0)(1 + f(0)) = 0$ । यदि $f(0) = -1$ : $y = 0$ रखने पर सभी $x$ के लिए $f(x) = f(x) + f(0) + f(x)f(0) = -1$ : अर्थात् अचर $f \equiv -1$ (जो सचमुच समीकरण संतुष्ट करता है)। अन्यथा $f(0) = 0$ ; $h = 1 + f$ संतत है, $h(0) = 1$ , और

h(x + y) = 1 + f(x) + f(y) + f(x)f(y) = h(x)\,h(y) :

प्रश्न 14 से $h(x) = \eu^{cx}$ , अर्थात् $f(x) = \eu^{cx} - 1$ (और स्थिति $c = 0$ $f \equiv 0$ देती है)। पूरी सूची: $f \equiv -1$ और $f(x) = \eu^{cx} - 1$ , $c \in \R$ ।

18. $x = y = 0$ : $2f(0) = 4f(0)$ , अतः $f(0) = 0$ । $x = 0$ : $f(y) + f(-y) = 2f(y)$ , अतः $f$ सम है। $y = x$ : $f(2x) = 4f(x)$ । $(x, y) \to (nx, x)$ का प्रयोग करते हुए आगमन:

f((n{+}1)x) = 2f(nx) + 2f(x) - f((n{-}1)x) = (2n^2 + 2 - (n-1)^2) f(x) = (n+1)^2 f(x) .

फिर $f(x) = f\bigl(q\cdot\frac xq\bigr) = q^2 f\bigl(\frac xq\bigr)$ $f\bigl(\frac pq x\bigr) = \frac{p^2}{q^2}f(x)$ देता है: $\Q$ पर $f(r) = r^2 f(1)$ (समता चिह्न सँभाल लेती है)। दोनों संतत फलन $f$ और $x \mapsto f(1)x^2$ सघन समुच्चय $\Q$ पर मेल खाते हैं, अतः सर्वत्र (प्रश्न 24): $f(x) = f(1)\,x^2$ ; और प्रत्येक $cx^2$ समीकरण संतुष्ट करता है।

19. $g = f - f(0)$ संतत है, $g(0) = 0$ , और येंसन का समीकरण संतुष्ट करता है (अचर कट जाते हैं)। $y = 0$ लेने पर: $g\bigl(\frac x2\bigr) = \frac{g(x)}{2}$ । फिर सभी $x, y$ के लिए:

\frac{g(x + y)}{2} = g\Bigl(\frac{x+y}{2}\Bigr) = \frac{g(x) + g(y)}{2} ,

अतः $g$ योज्य और संतत है: $g(x) = cx$ (प्रश्न 2), और $d = f(0)$ के साथ $f(x) = cx + d$ । सभी ऐफ़ीन फलन येंसन को संतुष्ट करते हैं: सूची पूरी है।

20. $n$ पर आगमन। $n = 0$ के लिए: $\lambda \in \{0, 1\}$ , जो तुच्छ है। असमिका को सभी भार $\frac{k}{2^n}$ के लिए मान लीजिए। सम $k$ वाला भार $\lambda = \frac{k}{2^{n+1}}$ स्तर $n$ पर आ जाता है; और $k = 2j + 1$ के लिए $\lambda$ $\lambda_1 = \frac{j}{2^n}$ तथा $\lambda_2 = \frac{j+1}{2^n}$ का मध्यबिंदु है। $z_i = \lambda_i x + (1 - \lambda_i)y$ के साथ: $\lambda x + (1-\lambda)y = \frac{z_1 + z_2}{2}$ , अतः

f\bigl(\lambda x + (1{-}\lambda)y\bigr) \leq \frac{f(z_1) + f(z_2)}{2} \leq \frac{(\lambda_1 + \lambda_2)f(x) + (2 - \lambda_1 - \lambda_2)f(y)}{2} = \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(y) .

21. $x, y$ नियत कीजिए। प्रतिचित्रण $\lambda \mapsto f(\lambda x + (1 - \lambda)y)$ और $\lambda \mapsto \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(y)$ $\intcc{0}{1}$ पर संतत हैं (संयोजन और बीजगणित, प्रतिज्ञप्ति 13.8)। असमिका द्विआधारी भारों पर सत्य है, जो $\intcc{0}{1}$ में सघन हैं (अभ्यास 10.8); स्वेच्छ $\lambda$ के लिए द्विआधारी $\lambda_n \to \lambda$ लीजिए और सीमा तक जाइए (प्रमेय 13.3 और प्रमेय 11.7): अतः उत्तलता असमिका प्रत्येक $\lambda \in \intcc{0}{1}$ के लिए सत्य है — अर्थात् मध्यबिंदु उत्तलता और सांतत्य मिलकर उत्तलता हैं (यही धारणा अध्याय 14 की है)।

22. कोई अरैखिक योज्य $f$ $f\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr) = \frac{f(x) + f(y)}{2}$ को ठीक-ठीक संतुष्ट करता है ( $r = \frac12$ के साथ प्रश्न 1, फिर योज्यता): अर्थात् वह मध्यबिंदु-उत्तल, बल्कि मध्यबिंदु-ऐफ़ीन है। यदि वह किसी अंतराल $\intcc{x}{y}$ पर पूरी उत्तलता असमिका संतुष्ट करता, तो $\lambda \in \intcc{0}{1}$ के लिए $f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \max(f(x), f(y))$ — अर्थात् किसी अनपकर्षी अंतराल पर ऊपर से परिबद्ध, इसलिए प्रश्न 9 से रैखिक: विरोधाभास। अतः प्रश्न 21 में सांतत्य कोई विलासिता नहीं है: उसके बिना मध्यबिंदु उत्तलता केवल गणनीय द्विआधारी ढाँचे को नियंत्रित करती है, और बीच का सातत्य जंगली भागता रहता है।

23. $p(x) = \frac{x^2}{2}$ $p(x+y) = p(x) + p(y) + xy$ संतुष्ट करता है। यदि $f$ कोई भी संतत हल है, तो $g = f - p$ संतत और योज्य है, अतः $g(x) = cx$ :

f(x) = \frac{x^2}{2} + cx , \qquad c \in \R ,

और इनमें से हर एक हल है: सूची पूरी है।

24. व्यापक सिद्धांत: यदि $u, v$ संतत हैं और किसी सघन $D \subseteq \R$ पर मेल खाते हैं, तो $x \in \R$ के लिए ऐसे $d_n \in D$ चुनिए कि $d_n \to x$ (प्रतिज्ञप्ति 12.11); $u(x) = \lim u(d_n) = \lim v(d_n) = v(x)$ । अब मान लीजिए $f$ संतत है और सघन उपसमूह $G$ पर योज्य है। $x, y \in \R$ नियत कीजिए और ऐसे $g_n \to x$ , $g'_n \to y$ लीजिए कि $g_n, g'_n \in G$ ; तब $g_n + g'_n \to x + y$ , और $x + y$ पर अनुक्रमीय सांतत्य से $x$ तथा $y$ :

f(x + y) = \lim f(g_n + g'_n) = \lim\bigl(f(g_n) + f(g'_n)\bigr) = f(x) + f(y) :

अतः $f$ पूरे $\R$ पर योज्य है (और इसलिए प्रश्न 2 से रैखिक)।

25. (क) योज्य $f$ के लिए: रैखिक $\iff$ संतत $\iff$ किसी एक बिंदु पर संतत $\iff$ किसी अंतराल पर एकदिष्ट $\iff$ किसी अंतराल पर (एकपक्षीय तक) परिबद्ध। (ख) आलेख का समतल में सघन होना दिखाता है कि विफलता कोई स्थानीय दोष नहीं, बल्कि समग्र विस्फोट है: हर उपअंतराल के ऊपर मान पूरे $\R$ पर बिखर जाते हैं, अतः नियमितता का हर गुणधर्म एक साथ सर्वत्र विफल हो जाता है। (ग) पकड़: $cx$ , $\eu^{cx}$ , $c\ln x$ , $x^c$ , $cx^2$ और $cx + d$ — छह अभिलक्षण, और एक ही विधि: समीकरण को कोशी वाले पर ले जाइए, $\Q$ -ढाँचा आगमन से सिद्ध कीजिए, और सघनता तथा सांतत्य से $\R$ तक उठाइए। (घ) $\Q$ (या द्विआधारी संख्याओं) की सघनता ने अभ्यास 13.11 में और प्रश्न 21 में उन्नयन ढोए; प्रश्न 13 में उसने कुछ नहीं ढोया, क्योंकि सांतत्य के बिना मान किसी सघन समुच्चय से उसके संवरक तक नहीं फैलते — सघनता सूचना केवल सांतत्य के अनुदिश ले जाती है।