विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · Bachelor Year 1

25दो चरों के फलन

वर्ष उच्चतर विमा में पहली चहलकदमी के साथ समाप्त होता है: दो वास्तविक चरों के फलन $f(x, y)$ । सब कुछ सामान्यीकृत हो जाता है — सीमाएँ, सांतत्य, अवकलज, चरम — पर हर धारणा में एक नया मोड़ आ जाता है: किसी सीमा तक एक साथ हर दिशा से पहुँचा जा सकता है, अवकलज आंशिक अवकलजों में बँट जाता है, और प्रवणता चढ़ाई की दिशा दिखा देती है। पूरा सिद्धांत (अवकल, व्यापक $\R^n$ , चिकनी उपसतहें) दूसरे वर्ष का विषय है; यहाँ हम शब्दावली और पहली ईमानदार प्रमेयें रखते हैं।

25.1 समतल $\R^2$ ; सांतत्य

परिभाषा 25.1

$\R^2$ पर यूक्लिडीय मानक $\norm{(x,y)} = \sqrt{x^2 + y^2}$ लीजिए (अध्याय 23)। विवृत गोले, प्रतिवेश और $\R^2$ के विवृत उपसमुच्चय ठीक वैसे ही परिभाषित होते हैं जैसे अध्याय 12 में, अंतरालों के स्थान पर गोलों के साथ। कोई फलन $f \colon U \to \R$ ( $U \subseteq \R^2$ विवृत) $a \in U$ पर संतत कहलाता है जब

\forall\varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0, \quad \norm{X - a} \leq \delta \implies \abs{f(X) - f(a)} \leq \varepsilon,

और एक चर वाली वही अनुक्रमीय अभिलक्षणता यहाँ भी चलती है। योग, गुणनफल, भागफल तथा एक चर वाले संतत फलनों के साथ संयोजन सांतत्य को बनाए रखते हैं; निर्देशांक प्रतिचित्रण संतत हैं, अतः $(x,y)$ के बहुपद भी।

उदाहरण 25.2 (ध्रुवीय परिबंध — किसी सीमा को सिद्ध करने का साफ़ रास्ता)

दिखाइए कि $f(x, y) = \dfrac{x^2y^2}{x^2 + y^2}$ (जहाँ $f(0,0) = 0$ ) मूल बिंदु पर संतत है। ध्रुवीय निर्देशांकों $x = \rho\cos\theta$ , $y = \rho\sin\theta$ में:

\abs{f} = \frac{\rho^4\cos^2\theta\sin^2\theta}{\rho^2} = \rho^2\,(\cos\theta\sin\theta)^2 \leq \frac{\rho^2}{4} \xrightarrow[\rho \to 0]{} 0 ,

एक ऐसा परिबंध जो $\theta$ से स्वतंत्र है: पहुँचने की दिशा चाहे कोई भी हो, मान $0$ की ओर दबा दिए जाते हैं। $\theta$ में यही एकरूपता सारा दम है — $\abs g = \abs{\cos\theta\sin\theta}$ जैसा परिबंध (जिसमें $\rho$ बचता ही नहीं) कुछ भी सिद्ध नहीं करता, और सचमुच वही $g$ अगले उदाहरण का असंतत त्रिज्य फंदा है।

उदाहरण 25.3 (त्रिज्य फंदा)

मान लीजिए $(x,y) \neq (0,0)$ के लिए $f(x, y) = \dfrac{xy}{x^2 + y^2}$ और $f(0, 0) = 0$ । प्रत्येक अक्ष के सहारे $f = 0 \to 0$ ; पर विकर्ण $y = x$ के सहारे $f(x, x) = \frac12 \not\to 0$ । मूल बिंदु पर कोई सीमा नहीं: हर रेखा के सहारे पहुँचना, और हर रेखा पर एक ही सीमा पा लेना भी, पर्याप्त नहीं है (यहाँ रेखीय सीमाएँ आपस में नहीं मिलतीं; इससे बदतर उदाहरण हर रेखा पर मिलते हैं और फिर किसी परवलय पर विफल हो जाते हैं, अभ्यास 25.3)। हर चर में अलग-अलग सांतत्य पूरा सांतत्य नहीं देता।

25.2 आंशिक अवकलज

परिभाषा 25.4

$(a, b)$ पर $f$ के आंशिक अवकलज अक्षों के सहारे लिए गए एक चर वाले अवकलज हैं:

\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h, b) - f(a,b)}{h}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) = \lim_{k \to 0} \frac{f(a, b + k) - f(a,b)}{k}.

$f$ $U$ पर $C^1$ वर्ग का कहलाता है जब दोनों विद्यमान हों और दोनों $U$ पर संतत हों। प्रवणता $\nabla f(a,b) = \bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\, \frac{\partial f}{\partial y}\bigr)(a,b)$ है।

प्रमेय 25.5 ( $C^1$ से स्पर्श समतल)

मान लीजिए $f$ $U$ पर $C^1$ है और $(a,b) \in U$ । तब, $(h, k) \to (0,0)$ होने पर:

f(a + h, b + k) = f(a, b) + h\,\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) + k\,\frac{\partial f}{\partial y}(a,b) + o\bigl(\norm{(h,k)}\bigr) .

विशेष रूप से $f$ संतत है, और आलेख $z = f(x,y)$ का प्रत्येक बिंदु पर वही स्पर्श समतल है जो इसी सूत्र से पढ़ लिया जाता है।

उदाहरण 25.6 (रैखिक सन्निकटन, काम पर)

$f(x, y) = x^3y^2$ के लिए $f(1.02,\ 0.99)$ का आकलन कीजिए। $(1, 1)$ पर: $f = 1$ , $\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2 = 3$ , $\frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y = 2$ , अतः प्रमेय 25.5 देती है

f(1.02,\ 0.99) \approx 1 + 3\,(0.02) + 2\,(-0.01) = 1.04 ,

जबकि यथार्थ मान $1.02^3 \times 0.99^2 = 1.04006\dots$ है — त्रुटि वृद्धियों में द्वितीय कोटि की है, जैसा $o(\norm{(h,k)})$ का वचन है। $(1, 1, 1)$ पर आलेख का स्पर्श समतल $z = 1 + 3(x - 1) + 2(y - 1)$ है, वही समीकरण जो इस आकलन में छिपा हुआ था।

उपपत्ति. एक बार में एक ही निर्देशांक हिलाइए:

f(a+h, b+k) - f(a,b) = \bigl[f(a+h, b+k) - f(a, b+k)\bigr] + \bigl[f(a, b+k) - f(a,b)\bigr].

एक चर वाली माध्य मान प्रमेय (प्रमेय 14.9) से पहला कोष्ठक किसी $\theta \in \intoo{0}{1}$ के लिए $h\,\frac{\partial f}{\partial x}(a + \theta h,\, b + k)$ है, और दूसरा $k\,\frac{\partial f}{\partial y}(a,\, b + \theta' k)$ । $(a,b)$ पर आंशिक अवकलजों का सांतत्य हमें प्रत्येक को ( $(a,b)$ पर का मान) $+$ (त्रुटि $\to 0$ ) के रूप में लिखने देता है; कुल त्रुटि $h\,\varepsilon_1 + k\,\varepsilon_2 = o(\norm{(h,k)})$ है, क्योंकि $\abs h, \abs k \leq \norm{(h,k)}$ । ∎

प्रमेय 25.7 (शृंखला नियम)

मान लीजिए $f$ $U$ पर $C^1$ है और $t \mapsto (x(t), y(t))$ किसी अंतराल से $U$ में $C^1$ है। तब $g(t) = f\bigl(x(t), y(t)\bigr)$ $C^1$ है, और

g'(t) = x'(t)\,\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(x(t),y(t)\bigr) + y'(t)\,\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(x(t),y(t)\bigr) = \bigl\langle \nabla f,\ (x', y')\bigr\rangle .

उपपत्ति. $(x(t), y(t))$ पर प्रमेय 25.5 को $(h, k) = (x(t+s) - x(t),\, y(t+s) - y(t))$ के साथ लगाइए: $s \to 0$ होने पर एक चर वाली अवकलनीयता $h = s\,x'(t) + o(s)$ तथा $k = s\,y'(t) + o(s)$ देती है, अतः $\norm{(h, k)} = O(s)$ और

g(t+s) - g(t) = h\,\frac{\partial f}{\partial x} + k\,\frac{\partial f}{\partial y} + o\bigl(\norm{(h,k)}\bigr) = s\,\Bigl(x'\,\frac{\partial f}{\partial x} + y'\,\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr) + o(s) ,

जहाँ अंतिम त्रुटि $h$ और $k$ दोनों के $o(s)$ को (आंशिक अवकलजों के नियत मानों से गुणित) तथा स्पर्श-समतल आकलन के $o(O(s))$ को — दोनों को सोख लेती है। $s$ से भाग दीजिए और $s \to 0$ लीजिए। $g'$ का सांतत्य सभी अवयवों के सांतत्य से निकल आता है। ∎

उदाहरण 25.8 (शृंखला नियम, दोनों तरफ़ से जाँचा हुआ)

मान लीजिए $f(x, y) = x^2 y$ और $g(t) = f(t, t^2)$ । सीधे: $g(t) = t^2\cdot t^2 = t^4$ , अतः $g'(t) = 4t^3$ । शृंखला नियम से: $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$ और $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2$ , जिन्हें वक्र $(t, t^2)$ पर आँका जाए:

g'(t) = 1\cdot 2t\cdot t^2 + 2t\cdot t^2 = 2t^3 + 2t^3 = 4t^3 .

दोनों संगणनाएँ मेल खाती हैं, और यह बँटवारा अर्थपूर्ण है: वृद्धि का $2t^3$ $x$ -प्रवणता से होकर दाईं ओर चलने से आता है, और $2t^3$ $y$ -प्रवणता से होकर ऊपर चलने से। जिन वक्रों पर $g$ का कोई संवृत रूप नहीं होता, वहाँ केवल दूसरी संगणना बची रहती है — प्रमेय का सारा प्रयोजन यही है।

टिप्पणी 25.9 (प्रवणता को पढ़ना)

किसी एकक दिशा $u$ के सहारे $t \mapsto f(a + tu)$ पर शृंखला नियम दैशिक अवकलज $\langle \nabla f(a), u\rangle$ देता है: यह तब उच्चतम होता है जब $u$ $\nabla f(a)$ की दिशा में हो (कोशी–श्वार्ट्ज़ से, प्रमेय 23.4)। प्रवणता तीव्रतम आरोहण की दिशा है, और वह स्तर वक्रों $\{f = c\}$ पर लांबिक है (किसी स्तर समुच्चय में खींचे गए वक्र के सहारे $f$ को अवकलित कीजिए: शृंखला नियम $\langle\nabla f,\, \text{स्पर्शरेखा}\rangle = 0$ देता है)।

उदाहरण 25.10 (स्तर वक्र और प्रवणताएँ, एक ही फलन पर)

$f(x, y) = x^2 - y^2$ लीजिए। उसके स्तर समुच्चय: $c > 0$ के लिए $\{f = c\}$ दाएँ-बाएँ खुलता अतिपरवलय है, $c < 0$ के लिए ऊपर-नीचे खुलता, और $c = 0$ के लिए एक-दूसरे को काटती रेखाओं का युग्म $y = \pm x$ — किसी पर्वतीय दर्रे का समोच्च चित्र, जिसका काठी बिंदु मूल बिंदु पर है, जहाँ दोनों शून्य-स्तर रेखाएँ कटती हैं। प्रवणता: $\nabla f = (2x, -2y)$ । बिंदु $(2, 1)$ पर (स्तर $c = 3$ पर): $\nabla f = (4, -2)$ , जबकि स्तर वक्र का स्पर्श सदिश, यदि उसे उस बिंदु के पास $\bigl(t, \sqrt{t^2 - 3}\bigr)$ से प्राचलित किया जाए, $\bigl(1, \frac{t}{\sqrt{t^2 - 3}}\bigr)$ है, अर्थात् $t = 2$ पर $(1, 2)$ — और सचमुच

\langle (4, -2),\ (1, 2)\rangle = 4 - 4 = 0 :

प्रवणता समोच्च पर लंब है और $f$ के बड़े मानों की ओर संकेत करती है (यहाँ: $y$ -अक्ष से दूर)। दो और पाठ: प्रवणता ठीक काठी पर लुप्त होती है, जहाँ समोच्च चित्र सिकुड़ कर चिमटी बन जाता है; और $(2,1)$ पर स्तर वक्र की स्पर्शरेखा $4(x - 2) - 2(y - 1) = 0$ , अर्थात् $2x - y = 3$ है — वही समीकरण “ $\langle \nabla f,\ M - M_0\rangle = 0$ ” जो अभ्यास 24.11 की दीर्घवृत्त-स्पर्शरेखा का सामान्यीकरण है।

प्रमेय 25.11 (श्वार्ट्ज़)

यदि $f$ $C^2$ वर्ग का है (आंशिक अवकलजों के आंशिक अवकलज विद्यमान और संतत हैं), तो

\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} .

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

25.3 स्थानीय चरम

विधि 25.12 (चरम-अध्ययन, क्रम से)

$\nabla f = 0$ को पूरा-पूरा हल कीजिए। जहाँ भी संभव हो, प्रत्येक आंशिक अवकलज का गुणनखंडन कीजिए (रैखिक गुणनखंडों के गुणनफल निकाय को पारदर्शी स्थितियों में बाँट देते हैं, जैसे नीचे उदाहरण 25.16 में); एक भूली हुई स्थिति एक भूला हुआ क्रांतिक बिंदु है।
प्रत्येक बिंदु का वर्गीकरण मोंज राशियों $r, s, t$ से कीजिए — और उन्हें हर बिंदु पर फिर से संगणित कीजिए, एक ही बार सबके लिए नहीं।
यदि $rt - s^2 = 0$ , तो उस बिंदु से होकर जाने वाले सुचुने वक्रों पर (पहले रेखाएँ, फिर परवलय) $f$ की सीधी जाँच कीजिए, और या तो दो चिह्न ढूँढ़िए (कोई चरम नहीं) या एक जकड़ा हुआ चिह्न, जिसके साथ सभी दिशाओं को ढकने वाला तर्क हो।
समग्र चित्र के लिए पीछे हटिए: अनंत पर व्यवहार जाँचिए (कोई स्थानीय न्यूनतम समग्र भी हो, यह ज़रूरी नहीं), और यदि प्रांत विवृत न हो, तो उसकी परिसीमा का अलग उपचार कीजिए (अभ्यास 25.12) — क्रांतिक बिंदु वाली प्रमेय केवल अंतःभाग के बिंदु देखती है।

प्रमेय 25.13 (क्रांतिक बिंदु)

यदि विवृत समुच्चय $U$ पर $C^1$ फलन $f$ का $(a,b) \in U$ पर स्थानीय चरम है, तो $\nabla f(a,b) = (0,0)$ : वह बिंदु क्रांतिक कहलाता है।

उपपत्ति. एक चर वाले फलनों $x \mapsto f(x, b)$ तथा $y \mapsto f(a, y)$ के क्रमशः $a$ और $b$ पर भीतरी स्थानीय चरम हैं: प्रतिज्ञप्ति 14.7 दोनों आंशिक अवकलजों को मार देती है। ∎

विधि 25.14 (द्वितीय-कोटि कसौटी (मोंज संकेतन))

किसी $C^2$ फलन के क्रांतिक बिंदु पर रखिए

r = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \qquad s = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}, \qquad t = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \qquad (\text{बिंदु पर के मान}).

यदि $rt - s^2 > 0$ : स्थानीय चरम — $r > 0$ पर न्यूनतम, $r < 0$ पर अधिकतम;
यदि $rt - s^2 < 0$ : कोई चरम नहीं (एक काठी बिंदु);
यदि $rt - s^2 = 0$ : कसौटी मौन है; सीधी जाँच कीजिए।

(इसकी पुष्टि — कोटि $2$ तक का टेलर–यंग प्रसार और द्विघात रूप $r h^2 + 2shk + tk^2$ का चिह्न-अध्ययन — दूसरे वर्ष में की जाती है; यहाँ कसौटी काम के औज़ार की तरह प्रयोग होती है।)

उदाहरण 25.15

$f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$ । क्रांतिक बिंदु: $\nabla f = (3x^2 - 3y,\; 3y^2 - 3x) = 0$ से $y = x^2$ और $x = y^2$ , अतः $x = x^4$ : $x \in \{0, 1\}$ : बिंदु $(0,0)$ और $(1,1)$ ।

द्वितीय अवकलज: $r = 6x$ , $s = -3$ , $t = 6y$ । $(0,0)$ पर: $rt - s^2 = -9 < 0$ : काठी। $(1,1)$ पर: $rt - s^2 = 36 - 9 > 0$ , $r = 6 > 0$ : स्थानीय न्यूनतम, $f(1,1) = -1$ । (समग्र नहीं: $f(x, 0) = x^3 \to -\infty$ ।)

उदाहरण 25.16 (चार बिंदुओं का पूरा अध्ययन)

$f(x, y) = xy\,(3 - x - y) = 3xy - x^2y - xy^2$ । प्रवणता:

\frac{\partial f}{\partial x} = y\,(3 - 2x - y), \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = x\,(3 - x - 2y).

क्रांतिक बिंदु: यदि $y = 0$ , तो दूसरा समीकरण $x \in \{0, 3\}$ देता है; यदि $x = 0$ , तो पहला $y \in \{0, 3\}$ देता है; और यदि $xy \neq 0$ , तो $2x + y = 3$ , $x + 2y = 3$ हल कीजिए: $x = y = 1$ । चार बिंदु: $(0,0)$ , $(3,0)$ , $(0,3)$ , $(1,1)$ । द्वितीय अवकलज: $r = -2y$ , $s = 3 - 2x - 2y$ , $t = -2x$ ।

$(1,1)$ : $r = -2$ , $s = -1$ , $t = -2$ : $rt - s^2 = 3 > 0$ , $r < 0$ : स्थानीय अधिकतम, $f(1,1) = 1$ ।
$(0,0)$ : $r = t = 0$ , $s = 3$ : $rt - s^2 = -9 < 0$ : काठी; इसी प्रकार $(3, 0)$ ( $s = -3$ ) और $(0, 3)$ : तीन काठियाँ।

अधिकतम केवल स्थानीय है: $f(-T, -T) = T^2(3 + 2T) \to +\infty$ । सममिति की जाँच: $f(x, y) = f(y, x)$ , और सचमुच क्रांतिक समुच्चय तथा वर्गीकरण दोनों $x \leftrightarrow y$ में सममित हैं। व्याख्या: $x, y \geq 0$ , $x + y \leq 3$ वाले ढीले आयतों में $3$ के तीनों “भागों” का गुणनफल $xy(3 - x - y)$ तब सबसे बड़ा होता है जब भाग बराबर हों — समांतर माध्य–गुणोत्तर माध्य वाले सिद्धांत की दो चरों वाली छाया।

f = x3 + y3 - 3xy के लिए दोनों वक्र f = 0 क्रांतिक बिंदुओं (0,0) (काठी) और (1,1) (स्थानीय न्यूनतम) पर कटते हैं। — $f = x^3 + y^3 - 3xy$ के लिए दोनों वक्र $\nabla f = 0$ क्रांतिक बिंदुओं $(0,0)$ (काठी) और $(1,1)$ (स्थानीय न्यूनतम) पर कटते हैं।

टिप्पणी 25.17 (आम फिसलनें)

आंशिक अवकलज किसी असांतत्य के बिंदु पर भी हो सकते हैं: उदाहरण 25.3 के त्रिज्य फंदे $g(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$ के लिए $\frac{\partial g}{\partial x}(0,0) = \frac{\partial g}{\partial y}(0,0) = 0$ है (दोनों अक्ष-प्रतिबंध सर्वत्र लुप्त हैं), फिर भी $g$ की मूल बिंदु पर कोई सीमा नहीं — आंशिक अवकलज केवल दो दिशाएँ टटोलते हैं, जबकि सांतत्य को सब चाहिए; व्यवस्था केवल $C^1$ परिकल्पना लौटाती है (प्रमेय 25.5)। रेखीय सीमाएँ कभी पर्याप्त नहीं: अभ्यास 25.3 के फलन की हर रेखा के सहारे सीमा $0$ है और फिर भी कोई सीमा नहीं — परवलय हमेशा आज़माइए (या $\theta$ में एकरूप ध्रुवीय परिबंध)। क्रांतिक होना आवश्यक है, पर्याप्त नहीं: काठियाँ भरी पड़ी हैं (उदाहरण 25.16 के चार में से तीन बिंदु); और प्रमेय केवल विवृत समुच्चयों पर लागू होती है — किसी संवृत चक्रिका पर चरम अशून्य प्रवणता के साथ परिसीमा पर बैठ सकते हैं (अभ्यास 25.12)। मौन स्थिति $rt - s^2 = 0$ सचमुच मौन है: $x^4 + y^4$ (न्यूनतम) और $x^3 + y^3$ (कुछ भी नहीं) — दोनों के लिए मूल बिंदु पर $r = s = t = 0$ है; निर्णय केवल सीधा चिह्न-अध्ययन करता है (अभ्यास 25.6, फलन $h$ )। प्रवणता स्तर वक्रों पर लांबिक है, उनके सहारे नहीं: किसी समोच्च रेखा पर चलने के लिए $\nabla f$ के लंब चलिए; सबसे तेज़ चढ़ने के लिए उसी के सहारे — दोनों को मिला देना हर समोच्च चित्र की ज्यामिति उलट देता है।

टिप्पणी 25.18 (दो चर किधर ले जाते हैं)

यह अध्याय एक द्वार है। प्रवणता और शृंखला नियम स्नातक वर्ष 2 के खंड में अक्षरशः $n$ चरों तक फैल जाते हैं, जहाँ प्रमेय 25.5 का $o(\norm{(h,k)})$ अवकल बन जाता है और मोंज कसौटी कोटि-दो टेलर सूत्र तथा द्विघात रूपों के रास्ते पूरी तरह सिद्ध होती है। जो विशेष स्थिति इसी वर्ष निपटाई जा सकती है — द्विघात फलन, जिनके लिए द्वितीय-कोटि प्रसार यथार्थ है — वही सप्ताहांत समस्या का विषय है, और संयोग से वही स्थिति दुनिया भर की आँकड़ा-फिटिंग चलाती है: न्यूनतम वर्ग प्रतिगमन। विवश चरम (अभ्यास 25.5 एक झलक था) वर्ष 2 में लाग्रांज गुणक बन जाते हैं; और प्रसंवादी फलन (अभ्यास 25.7) स्नातक वर्ष 3 के खंड के सम्मिश्र विश्लेषण में लौटते हैं।

टिप्पणी 25.19 (पुस्तक 3 के भीतर परिप्रेक्ष्य: वर्ष, बंद)

यही वह अध्याय है जहाँ इस खंड के दोनों हिस्से हाथ मिलाते हैं। विश्लेषण वाले हिस्से ने अपने औज़ार एक-एक अवकलज करके दिए: माध्य मान प्रमेय प्रमेय 25.5 को चलाती है, टेलर प्रसार चरम-कसौटियाँ चलाते हैं, और अध्याय 12 के $\varepsilon$ अंतरालों की जगह गोले लेकर लौट आए। बीजगणित वाले हिस्से ने ज्यामिति दी: प्रवणता अध्याय 23 के अंतर्गुणन से पढ़ी जाती है (कोशी–श्वार्ट्ज़ उसे तीव्रतम दिशा बनाता है), मोंज राशियाँ $(r, s, t)$ अध्याय 21 का एक सममित आव्यूह हैं जिनकी कसौटी अध्याय 22 का सारणिक है, और सप्ताहांत समस्या आँकड़ा-सदिशों पर लांबिक प्रक्षेप चलाती है। अध्याय 24 के वक्र तक स्तर समुच्चयों के रूप में लौट आते हैं। जो पाठक इन पाँचों हस्तांतरणों का कारण फिर से खड़ा कर सके, उसने वस्तुतः पूरे वर्ष की पुनरावृत्ति कर ली — और इस अंतिम अध्याय का असली प्रयोजन यही है।

एक ही चित्र में न्यूनतम वर्ग: चार आँकड़ा-बिंदु, प्रतिगमन रेखा y = 1.4x - 0.1, और ऊर्ध्वाधर अवशेष (बिंदुदार), जिनके वर्गों को यह रेखा न्यूनतम करती है — कुल 0.2, जो सबसे छोटा संभव है। सप्ताहांत समस्या यही रेखा संगणित करती है, सिद्ध करती है कि वही एकमात्र न्यूनकारी है, और पूरी रचना को ℝ4 के किसी लांबिक प्रक्षेप से पहचान लेती है। — एक ही चित्र में न्यूनतम वर्ग: चार आँकड़ा-बिंदु, प्रतिगमन रेखा $y = 1.4x - 0.1$ , और ऊर्ध्वाधर अवशेष (बिंदुदार), जिनके वर्गों को यह रेखा न्यूनतम करती है — कुल $0.2$ , जो सबसे छोटा संभव है। सप्ताहांत समस्या यही रेखा संगणित करती है, सिद्ध करती है कि वही एकमात्र न्यूनकारी है, और पूरी रचना को $\R^4$ के किसी लांबिक प्रक्षेप से पहचान लेती है।

25.4 अभ्यास

अभ्यास 25.1 ★

आंशिक अवकलज संगणित कीजिए: $f(x,y) = x^2 y + \eu^{xy}$ ; $\;g(x,y) = \ln(x^2 + y^2)$ ( $\R^2\setminus\{0\}$ पर); $\;h(x,y) = \arctan\frac yx$ ( $x > 0$ पर)।

हल

हल — अभ्यास 25.1.

$\dfrac{\partial f}{\partial x} = 2xy + y\,\eu^{xy}$ , $\dfrac{\partial f}{\partial y} = x^2 + x\,\eu^{xy}$ ।

$\dfrac{\partial g}{\partial x} = \dfrac{2x}{x^2+y^2}$ , $\dfrac{\partial g}{\partial y} = \dfrac{2y}{x^2+y^2}$ ।

$\dfrac{\partial h}{\partial x} = \dfrac{-y/x^2}{1 + y^2/x^2} = \dfrac{-y}{x^2+y^2}$ , $\dfrac{\partial h}{\partial y} = \dfrac{x}{x^2+y^2}$ ।

अभ्यास 25.2 ★

$(0,0)$ पर (जहाँ मान $0$ है) सांतत्य का अध्ययन कीजिए:

f(x,y) = \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}, \qquad g(x,y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}, \qquad h(x,y) = \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}.

(ध्रुवीय निर्देशांक $x = \rho\cos\theta$ , $y = \rho\sin\theta$ मदद करते हैं: जहाँ संभव हो, केवल $\rho$ के किसी फलन से परिबद्ध कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 25.2.

ध्रुवीय निर्देशांकों में ( $\rho \to 0$ ):

$\abs{f} = \dfrac{\rho^3\abs{\cos^2\theta\sin\theta}}{\rho^2} \leq \rho \to 0$ : संतत।

$g = \cos\theta\sin\theta$ : $\rho$ से स्वतंत्र, और अलग-अलग किरणों पर अलग-अलग मान लेता है (तुलना कीजिए उदाहरण 25.3): कोई सीमा नहीं, अतः संतत नहीं।

$\abs h \leq \dfrac{\rho^3(\abs{\cos^3\theta} + \abs{\sin^3\theta})}{\rho^2} \leq 2\rho \to 0$ : संतत।

अभ्यास 25.3 ★★

मान लीजिए $f(x,y) = \dfrac{x^2 y}{x^4 + y^2}$ ( $f(0,0) = 0$ )। सिद्ध कीजिए कि मूल बिंदु पर हर सरल रेखा के सहारे $f$ की सीमा $0$ है, पर $f\bigl(x, x^2\bigr) = \frac12$ : अतः $f$ $(0,0)$ पर संतत नहीं है।

हल

हल — अभ्यास 25.3.

$y = mx$ के सहारे: $f(x, mx) = \dfrac{m x^3}{x^4 + m^2 x^2} = \dfrac{mx}{x^2 + m^2} \to 0$ ( $m \neq 0$ के लिए; $y = 0$ के सहारे और $y$ -अक्ष पर $f = 0$ )। अतः हर सरल रेखा वाली सीमा $0$ है। पर परवलय $y = x^2$ पर:

f(x, x^2) = \frac{x^4}{x^4 + x^4} = \frac12 :

अनुक्रम $\bigl(\frac1n, \frac{1}{n^2}\bigr) \to (0,0)$ के लिए $f \to \frac12 \neq 0$ । संतत नहीं: दो चरों वाली सीमाएँ जाँचने के लिए रेखाएँ पर्याप्त नहीं हैं।

अभ्यास 25.4 ★

$f(x, y) = x^3 y^2 + \sin(xy)$ पर श्वार्ट्ज़ की प्रमेय हाथ से जाँचिए।

हल

हल — अभ्यास 25.4.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2 + y\cos(xy)$ ; अतः

\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} = 6x^2 y + \cos(xy) - xy\sin(xy) .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3 y + x\cos(xy)$ ; अतः

\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} = 6x^2 y + \cos(xy) - xy\sin(xy) :

दोनों बराबर, जैसा श्वार्ट्ज़ का वचन है।

अभ्यास 25.5 ★★

मान लीजिए $f$ $\R^2$ पर $C^1$ है और $g(t) = f(\cos t, \sin t)$ । शृंखला नियम से $g'(t)$ व्यक्त कीजिए। इससे निष्कर्ष निकालिए कि एकक वृत्त पर प्रतिबंधित $f$ अपने चरम उन बिंदुओं पर प्राप्त करता है जहाँ $\nabla f$ त्रिज्या सदिश के समांतर है।

हल

हल — अभ्यास 25.5.

$(x, y) = (\cos t, \sin t)$ के साथ प्रमेय 25.7 से:

g'(t) = -\sin t\,\frac{\partial f}{\partial x}(\cos t, \sin t) + \cos t\,\frac{\partial f}{\partial y}(\cos t, \sin t) = \bigl\langle \nabla f,\ (-\sin t, \cos t)\bigr\rangle .

$g$ के किसी चरम पर $g'(t) = 0$ : अर्थात् $\nabla f$ वृत्त के स्पर्श सदिश $(-\sin t, \cos t)$ पर लांबिक है, अतः त्रिज्या सदिश $(\cos t, \sin t)$ के समांतर (समतल में किसी एकक सदिश का लांबिक पूरक वही रेखा है जिसे वह जनित करता है, लंब दिशा में ली गई)। यह लाग्रांज गुणक का सरलतम उदाहरण है।

अभ्यास 25.6 ★★

इनके क्रांतिक बिंदु ढूँढ़िए और उनका वर्गीकरण कीजिए:

f(x, y) = x^2 + xy + y^2 - 3x, \qquad g(x, y) = x^2 - y^2 + 4y, \qquad h(x, y) = x^4 + y^4 - 2(x - y)^2 .

( $h$ के लिए मूल बिंदु पर सारणिक-कसौटी मौन है: $h(x, x)$ और $h(x, -x)$ जाँचिए।)

हल

हल — अभ्यास 25.6.

$f$ : $\nabla f = (2x + y - 3,\; x + 2y) = 0$ : $y = -\frac x2$ और $2x - \frac x2 = 3$ : $x = 2$ , $y = -1$ । द्वितीय कोटि: $r = 2$ , $s = 1$ , $t = 2$ : $rt - s^2 = 3 > 0$ , $r > 0$ : $(2, -1)$ पर स्थानीय (और द्विघात होने के कारण वस्तुतः समग्र) न्यूनतम, मान $f(2,-1) = -3$ ।

$g$ : $\nabla g = (2x,\; -2y + 4) = 0$ : बिंदु $(0, 2)$ ; $r = 2$ , $s = 0$ , $t = -2$ : $rt - s^2 = -4 < 0$ : काठी।

$h$ : $\nabla h = \bigl(4x^3 - 4(x - y),\; 4y^3 + 4(x-y)\bigr) = 0$ । जोड़ने पर: $x^3 + y^3 = 0$ , अतः $y = -x$ ; प्रतिस्थापित करने पर: $4x^3 - 8x = 0$ : $x \in \{0, \pm\sqrt2\}$ । क्रांतिक बिंदु: $(0,0)$ , $(\sqrt2, -\sqrt2)$ , $(-\sqrt2, \sqrt2)$ । $(\pm\sqrt2, \mp\sqrt2)$ पर: $r = 12x^2 - 4 = 20$ , $s = 4$ , $t = 20$ : $rt - s^2 > 0$ , $r > 0$ : स्थानीय न्यूनतम (मान $h = 4 + 4 - 16 = -8$ )। $(0,0)$ पर: $r = t = -4$ , $s = 4$ : $rt - s^2 = 0$ : मौन। सीधी जाँच: छोटे $x \neq 0$ के लिए $h(x, x) = 2x^4 > 0$ और $h(x, -x) = 2x^4 - 8x^2 < 0$ : हर प्रतिवेश में दोनों चिह्न — अतः मूल बिंदु पर कोई चरम नहीं।

अभ्यास 25.7 ★★

कोई फलन $f$ प्रसंवादी कहलाता है जब $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$ हो। जाँचिए कि $x^2 - y^2$ , $xy$ , $\eu^x\cos y$ और $\ln(x^2 + y^2)$ (मूल बिंदु के बाहर) प्रसंवादी हैं।

हल

हल — अभ्यास 25.7.

$x^2 - y^2$ : द्वितीय आंशिक अवकलज $2$ और $-2$ : योग $0$ । $xy$ : दोनों शुद्ध द्वितीय आंशिक अवकलज लुप्त हैं। $\eu^x\cos y$ : $\frac{\partial^2}{\partial x^2} = \eu^x\cos y$ , $\frac{\partial^2}{\partial y^2} = -\eu^x\cos y$ : योग $0$ । $\ln(x^2+y^2)$ : अभ्यास 25.1 से,

\frac{\partial^2}{\partial x^2}\ln(x^2+y^2) = \frac{2(x^2+y^2) - 4x^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{2(y^2 - x^2)}{(x^2+y^2)^2},

और $y$ वाला रूप उसका विपरीत है: योग $0$ ।

अभ्यास 25.8 ★★★

समतल $\{x + 2y - z = 4\} \subseteq \R^3$ का वह बिंदु ढूँढ़िए जो मूल बिंदु के सबसे निकट है, दो रास्तों से: लांबिक प्रक्षेप द्वारा (अध्याय 23), और $z$ का विलोपन करके मिले दो चरों वाले फलन $f(x, y) = x^2 + y^2 + (x + 2y - 4)^2$ को न्यूनतम करके।

हल

हल — अभ्यास 25.8.

प्रक्षेप से: समतल $P$ का अभिलंब $n = (1, 2, -1)$ है और वह $A = (4, 0, 0)$ से होकर जाता है। मूल बिंदु के सबसे निकट का बिंदु $O$ का प्रक्षेप है: $p = O + \frac{\langle A - O, n\rangle}{\norm n^2}\,n = \frac{4}{6}(1,2,-1) = \bigl(\frac23, \frac43, -\frac23\bigr)$ , जिसकी दूरी $\frac{4}{\sqrt 6}$ है। (सूत्र: मूल बिंदु से समतल $\langle X, n \rangle = c$ तक की दूरी $\frac{\abs c}{\norm n}$ है, यहाँ $c = 4$ ।)

न्यूनीकरण से: $f(x,y) = x^2 + y^2 + (x + 2y - 4)^2$ । अंतिम गुणनखंड के लिए $w = x + 2y - 4$ लिखने पर:

\nabla f = \bigl(2x + 2w,\; 2y + 4w\bigr) = 0 \iff x = -w \text{ तथा } y = -2w .

$w$ की परिभाषा में प्रतिस्थापित करने पर: $w = -w - 4w - 4$ , अतः $w = -\frac23$ , जिससे $x = \frac23$ , $y = \frac43$ और $z = w = -\frac23$ । प्रक्षेप वाला ही बिंदु, दूरी $\sqrt{\frac49 + \frac{16}{9} + \frac49} = \frac{2\sqrt 6}{3} = \frac{4}{\sqrt6}$ ; और यह न्यूनतम है, क्योंकि अनंत पर $f \to \infty$ (धनात्मक निश्चित द्विघात के साथ रैखिक पद)।

अभ्यास 25.9 ★★★

(ध्रुवीय निर्देशांकों में लाप्लासीय, पहला संपर्क) मान लीजिए $f$ $\R^2 \setminus \{0\}$ पर $C^2$ है और त्रिज्य है: $f(x, y) = \varphi\bigl(\sqrt{x^2+y^2}\bigr)$ , जहाँ $\varphi$ $\intoo{0}{+\infty}$ पर $C^2$ वर्ग का है। सिद्ध कीजिए कि

\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \varphi''(\rho) + \frac{\varphi'(\rho)}{\rho}, \qquad \rho = \sqrt{x^2 + y^2},

और छिद्रित समतल पर सभी त्रिज्य प्रसंवादी फलन ज्ञात कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 25.9.

$\rho = \sqrt{x^2+y^2}$ के साथ: $\frac{\partial \rho}{\partial x} = \frac{x}{\rho}$ , अतः

\frac{\partial f}{\partial x} = \varphi'(\rho)\,\frac{x}{\rho}, \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \varphi''(\rho)\,\frac{x^2}{\rho^2} + \varphi'(\rho)\,\Bigl(\frac{1}{\rho} - \frac{x^2}{\rho^3}\Bigr),

(भागफल और शृंखला नियम)। सममित $y$ -व्यंजक जोड़ने पर: $\varphi''$ वाले पद $\frac{x^2 + y^2}{\rho^2} = 1$ बटोरते हैं, और $\varphi'$ वाले पद $\frac{2}{\rho} - \frac{x^2 + y^2}{\rho^3} = \frac{1}{\rho}$ :

\Delta f = \varphi'' + \frac{\varphi'}{\rho} .

त्रिज्य प्रसंवादी फलन: $\varphi'' + \frac{\varphi'}{\rho} = 0$ हल कीजिए: $u = \varphi'$ के लिए प्रथम-कोटि समीकरण $u' + \frac u\rho = 0$ $u = \frac{c}{\rho}$ देता है (प्रमेय 5.2), और फिर $\varphi = c\ln\rho + d$ । अतः त्रिज्य प्रसंवादी फलन $c\,\ln\sqrt{x^2 + y^2} + d$ हैं — अभ्यास 25.7 का लघुगणकीय विभव और अचर, इनके सिवा कुछ नहीं।

अभ्यास 25.10 ★★

बिंदु $(1, 1, 1)$ पर आलेख $z = xy$ के स्पर्श समतल का समीकरण दीजिए। फिर $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$ के आलेख के वे सभी बिंदु ढूँढ़िए जहाँ स्पर्श समतल क्षैतिज है, और उत्तर को उदाहरण 25.15 से जोड़िए।

हल

हल — अभ्यास 25.10.

$(1,1)$ पर $z = xy$ के लिए: आंशिक अवकलज $y = 1$ और $x = 1$ , अतः स्पर्श समतल $z = 1 + (x - 1) + (y - 1) = x + y - 1$ । स्पर्श समतल का क्षैतिज होना दोनों आंशिक अवकलजों के लुप्त होने के बराबर है, अर्थात् $\nabla f = 0$ : उदाहरण 25.15 से ठीक क्रांतिक बिंदु $(0, 0)$ और $(1, 1)$ , जहाँ क्षैतिज समतल $z = 0$ और $z = -1$ हैं। “क्षैतिज स्पर्श समतल” और “क्रांतिक बिंदु” एक ही धारणा है — एक आलेख पर देखी गई, दूसरी सूत्र में।

अभ्यास 25.11 ★★

मान लीजिए $f$ $\R^2$ पर $C^1$ है।

यदि सर्वत्र $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ , तो सिद्ध कीजिए कि $f(x, y)$ केवल $y$ पर निर्भर करता है।
$\R^2$ पर समीकरण $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y}$ के सभी $C^1$ हल ज्ञात कीजिए। ( $g(u, v) = f\bigl(\frac{u+v}2, \frac{u-v}2\bigr)$ रखिए और शृंखला नियम से $\frac{\partial g}{\partial v}$ संगणित कीजिए।)

हल

हल — अभ्यास 25.11.

$y$ को स्थिर रखने पर एक चर वाले फलन $x \mapsto f(x,y)$ का अवकलज $\R$ पर शून्य है, अतः वह अचर है (प्रमेय 14.9): सभी $x$ के लिए $f(x, y) = f(0, y)$ , अर्थात् $f$ केवल $y$ पर निर्भर करता है।
मान लीजिए $g(u, v) = f\bigl(\frac{u+v}2, \frac{u-v}2\bigr)$ । शृंखला नियम से (प्रमेय 25.7, जिसे $u$ जमाकर चर $v$ में लगाया गया):

$\frac{\partial g}{\partial v} = \frac12\,\frac{\partial f}{\partial x} - \frac12\,\frac{\partial f}{\partial y} = 0 .$

(1) से $g$ केवल $u$ पर निर्भर करता है: $g(u, v) = \varphi(u)$ , जहाँ $\varphi$ $C^1$ वर्ग का है, और चर-परिवर्तन उलटने पर ( $u = x + y$ , $v = x - y$ ),

$f(x, y) = \varphi(x + y).$

विलोमतः ऐसा हर $f$ $f_x = f_y = \varphi'$ को संतुष्ट करता है: अतः हल ठीक $x + y$ के $C^1$ फलन हैं।

अभ्यास 25.12 ★★★

संवृत चक्रिका $x^2 + y^2 \leq 1$ पर $f(x, y) = xy$ के समग्र अधिकतम और न्यूनतम ज्ञात कीजिए। (दो चरों वाली चरम मान प्रमेय मान लीजिए: संवृत चक्रिका पर कोई संतत फलन अपने परिबंध प्राप्त कर लेता है — उपपत्ति स्नातक वर्ष 2 के खंड में है। विवृत चक्रिका का उपचार क्रांतिक बिंदुओं से कीजिए और परिसीमा-वृत्त का अभ्यास 25.5 के प्राचलन से।)

हल

हल — अभ्यास 25.12.

विवृत चक्रिका पर कोई चरम क्रांतिक होगा: $\nabla f = (y, x) = 0$ केवल $(0,0)$ पर, जहाँ $f = 0$ ; और वह काठी है ( $f(\pm \varepsilon, \pm\varepsilon) = \varepsilon^2 > 0 > -\varepsilon^2 = f(\pm\varepsilon, \mp\varepsilon)$ ), अतः वहाँ कोई चरम नहीं। मानी हुई चरम मान प्रमेय से परिबंध प्राप्त होते हैं, और अनिवार्यतः परिसीमा-वृत्त पर। वहाँ, अभ्यास 25.5 के साथ,

f(\cos t, \sin t) = \cos t\sin t = \frac{\sin 2t}{2} \in \intcc{-\tfrac12}{\tfrac12},

जिसमें अधिकतम $\frac12$ $t = \frac\pi4, \frac{5\pi}4$ पर (बिंदु $\pm\frac{1}{\sqrt2}(1,1)$ ) और न्यूनतम $-\frac12$ $t = \frac{3\pi}4, \frac{7\pi}4$ पर (बिंदु $\pm\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$ )। समग्र अधिकतम $\frac12$ , समग्र न्यूनतम $-\frac12$ ।

25.5 समस्या: न्यूनतम वर्ग और प्रतिगमन रेखा

समस्या 25.1

$n$ आँकड़ा-बिंदु दिए हों: कौन-सी सरल रेखा उन सबके “सबसे पास” से गुज़रती है? लजांद्र और गाउस का उत्तर था: वह रेखा जो ऊर्ध्वाधर त्रुटियों के वर्गों का योग न्यूनतम करे — क्योंकि वही न्यूनीकरण रैखिक बीजगणित से यथार्थतः हल हो जाता है। यह समस्या पहले विधि 25.14 की मोंज कसौटी को द्विघात फलनों के लिए ईमानदारी से सिद्ध करती है (यही वह अकेली स्थिति है जहाँ द्वितीय-कोटि प्रसार यथार्थ होता है), और फिर अध्याय 23 की यूक्लिडीय ज्यामिति पर प्रसामान्य समीकरण, प्रतिगमन रेखा और सहसंबंध गुणांक खड़े करती है।

भाग I — द्विघात फलन: मोंज कसौटी, सिद्ध। वास्तविक $r, s, t$ नियत कीजिए और $q(h, k) = r h^2 + 2s hk + t k^2$ रखिए।

मान लीजिए $r \neq 0$ । पूर्ण-वर्ग रूप

$q(h, k) = r\Bigl(h + \frac{s}{r}k\Bigr)^{\!2} + \frac{rt - s^2}{r}\,k^2$

स्थापित कीजिए, और निष्कर्ष निकालिए: यदि $rt - s^2 > 0$ , तो मूल बिंदु के बाहर $q$ का चिह्न कठोरतः $r$ का है; यदि $rt - s^2 < 0$ , तो $q$ दोनों चिह्न लेता है।
बची हुई स्थितियाँ निपटाइए: $r = 0$ , $t \neq 0$ (सममित); और $r = t = 0$ ( $q = 2shk$ )। निष्कर्ष निकालिए: $q$ दोनों चिह्न लेता है यदि और केवल यदि $rt - s^2 < 0$ , और $q$ केवल मूल बिंदु पर लुप्त होता है यदि और केवल यदि $rt - s^2 > 0$ ।
अब मान लीजिए $f(x, y) = \frac12\bigl(r x^2 + 2s xy + t y^2\bigr) + \beta x + \gamma y + \delta$ कोई द्विघात फलन है जिसका एक क्रांतिक बिंदु $X_0 = (a, b)$ है। यथार्थ प्रसार

$f(X_0 + (h,k)) = f(X_0) + \tfrac12\,q(h, k) \qquad (\text{कोई शेषफल नहीं})$

सिद्ध कीजिए, और इससे द्विघात फलनों के लिए मोंज वर्गीकरण निकालिए: $rt - s^2 > 0$ , $r > 0$ पर कठोर समग्र न्यूनतम; $rt - s^2 > 0$ , $r < 0$ पर कठोर समग्र अधिकतम; और $rt - s^2 < 0$ पर काठी।
मान लीजिए $rt - s^2 > 0$ और $r > 0$ (अतः $t > 0$ भी)। प्रबलता का स्पष्ट परिबंध

$q(h, k) \geq c\,(h^2 + k^2), \qquad c = \frac{rt - s^2}{r + t} > 0$

सिद्ध कीजिए। (दिखाइए कि द्विघात रूप $q - c(h^2 + k^2)$ , जिसके गुणांक $r - c$ , $s$ , $t - c$ हैं, अब भी विविक्तकर-कसौटी की ऋणेतर राशियाँ रखता है।)
इससे निष्कर्ष निकालिए कि धनात्मक निश्चित द्विघात भाग वाला कोई द्विघात फलन $\norm{(x,y)} \to \infty$ पर $+\infty$ की ओर जाता है, अतः उसका एक अद्वितीय समग्र न्यूनकारी है: उसका क्रांतिक बिंदु। उदाहरण 25.15 से तुलना कीजिए, जहाँ किसी अद्विघात फलन का स्थानीय न्यूनतम समग्र नहीं था।

भाग II — प्रसामान्य समीकरण। मान लीजिए $C_1, C_2, b \in \R^n$ (मानक अंतर्गुणन के साथ) और

f(u, v) = \norm{u\,C_1 + v\,C_2 - b}^2 .

$f$ का प्रसार कीजिए और दिखाइए कि वह $(u, v)$ का द्विघात फलन है, जिसके द्विघात भाग के गुणांक $r = 2\norm{C_1}^2$ , $s = 2\langle C_1, C_2\rangle$ , $t = 2\norm{C_2}^2$ हैं।
दिखाइए कि $rt - s^2 > 0$ यदि और केवल यदि $(C_1, C_2)$ स्वतंत्र है (कोशी–श्वार्ट्ज़ की समता-स्थिति, प्रमेय 23.4); आगे इसे मान लीजिए।
दिखाइए कि क्रांतिक समीकरण $\nabla f = 0$ ही प्रसामान्य समीकरण

$\begin{pmatrix} \norm{C_1}^2 & \langle C_1, C_2\rangle\\ \langle C_1, C_2\rangle & \norm{C_2}^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u\\ v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \langle C_1, b\rangle\\ \langle C_2, b\rangle\end{pmatrix}$

हैं — बाईं ओर अभ्यास 23.11 का ग्राम आव्यूह — और कि वे ठीक यही कहते हैं: $b - (uC_1 + vC_2) \perp C_1, C_2$ । भाग I और प्रमेय 23.10 से निष्कर्ष निकालिए: अद्वितीय न्यूनकारी $p = uC_1 + vC_2$ देता है, जो $b$ का $\operatorname{Vect}(C_1, C_2)$ पर लांबिक प्रक्षेप है।
दिखाइए कि न्यूनतम मान $\norm{b}^2 - \langle p, b\rangle = \norm{b - p}^2$ है, और पाइथागोरसीय चित्र खींचिए।

भाग III — प्रतिगमन रेखा। आँकड़ा-बिंदु $(x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$ , जिनमें सभी $x_i$ बराबर नहीं हैं। न्यूनतम कीजिए

E(\alpha, \beta) = \sum_{i=1}^{n}\bigl(y_i - \alpha - \beta x_i\bigr)^2 .

लिखिए $\bar x = \frac1n\sum x_i$ , $\bar y = \frac1n\sum y_i$ , $v_x = \frac1n\sum x_i^2 - \bar x^2$ , $v_y = \frac1n\sum y_i^2 - \bar y^2$ , $c_{xy} = \frac1n\sum x_i y_i - \bar x\bar y$ ।

$C_1 = (1, \dots, 1)$ , $C_2 = (x_1, \dots, x_n)$ , $b = (y_1, \dots, y_n)$ के साथ भाग II पहचानिए, और प्रसामान्य समीकरण लिखिए:

$n\alpha + \Bigl(\sum x_i\Bigr)\beta = \sum y_i, \qquad \Bigl(\sum x_i\Bigr)\alpha + \Bigl(\sum x_i^2\Bigr)\beta = \sum x_i y_i .$
उन्हें हल कीजिए:

$\beta = \frac{c_{xy}}{v_x}, \qquad \alpha = \bar y - \beta\,\bar x ,$

और देखिए कि प्रतिगमन रेखा $y = \alpha + \beta x$ माध्य बिंदु $(\bar x, \bar y)$ से होकर जाती है।
जाँचिए कि $v_x > 0$ ठीक तब है जब सभी $x_i$ बराबर न हों, और इसे प्रश्न 7 से मिलाइए।
सिद्ध कीजिए कि न्यूनतम त्रुटि

$E_{\min} = n\Bigl(v_y - \frac{c_{xy}^2}{v_x}\Bigr) = n\,v_y\,(1 - \rho^2), \qquad \rho = \frac{c_{xy}}{\sqrt{v_x v_y}} \quad (v_y \neq 0)$

है। इससे $\abs\rho \leq 1$ निकालिए, जहाँ $\abs\rho = 1$ यदि और केवल यदि आँकड़े पूर्णतः संरेख हों।
हल किया हुआ उदाहरण: आँकड़ों $(0,0)$ , $(1,1)$ , $(2,3)$ , $(3,4)$ के लिए $\bar x, \bar y, v_x, c_{xy}$ , प्रतिगमन रेखा, चारों अवशेष और $E_{\min}$ संगणित कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि इष्टतम रेखा के अवशेष $\varepsilon_i = y_i - \alpha - \beta x_i$ $\sum_i \varepsilon_i = 0$ तथा $\sum_i x_i\varepsilon_i = 0$ को संतुष्ट करते हैं, और दोनों की व्याख्या लांबिकता से कीजिए।

भाग IV — रूपांतर और अनुप्रयोग।

(सर्वोत्तम अचर) दिखाइए कि $\sum_i (y_i - \alpha)^2$ को न्यूनतम करने वाला अचर $\alpha$ माध्य $\bar y$ है, और न्यूनतम मान $n\,v_y$ : प्रसरण यही नापता है कि आँकड़े अचर होने में कितना चूकते हैं।
(मूल बिंदु से होकर जाने वाली रेखा) दिखाइए कि $\sum_i (y_i - \beta x_i)^2$ को न्यूनतम करने वाली प्रवणता $\beta_0 = \frac{\sum x_iy_i}{\sum x_i^2}$ है, और आँकड़ों पर वह शर्त दीजिए जिसके अंतर्गत $\beta_0$ प्रश्न 11 की प्रवणता $c_{xy}/v_x$ के साथ मेल खाए।
(किसी रेखा तक की दूरी, फिर से) किसी बिंदु $M$ और $P_0$ से होकर जाने वाली, एकक सदिश $w$ से दिष्ट रेखा $D$ के लिए $g(\tau) = \norm{P_0 + \tau w - M}^2$ न्यूनतम कीजिए और $d(M, D)^2 = \norm{M - P_0}^2 - \langle M - P_0, w\rangle^2$ निकालिए; समतल की रेखा $ax + by + c = 0$ के लिए सूत्र $d = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ पुनः प्राप्त कीजिए।
(प्रसरण का विश्लेषण) विघटन $v_y = \beta^2 v_x + \frac{E_{\min}}n$ सिद्ध कीजिए: $y_i$ का प्रसरण रेखा से व्याख्यायित भाग और अवशिष्ट प्रसरण में बँट जाता है।
(परवलयिक फिटिंग) $y = a + bx + cx^2$ फिट करने के लिए दिखाइए कि प्रसामान्य समीकरण वह $3 \times 3$ निकाय हैं जिसका आघूर्ण आव्यूह

$\begin{pmatrix} n & \sum x_i & \sum x_i^2\\ \sum x_i & \sum x_i^2 & \sum x_i^3\\ \sum x_i^2 & \sum x_i^3 & \sum x_i^4 \end{pmatrix}$

है — एक ग्राम आव्यूह, जो $x_i$ में से तीन के भिन्न होते ही व्युत्क्रमणीय हो जाता है (आँकड़ों पर नमूने लिए गए $(1, X, X^2)$ की स्वतंत्रता, अभ्यास 23.11; अध्याय 22 की सप्ताहांत समस्या के आघूर्ण आव्यूहों से तुलना कीजिए)।

भाग V — सुदृढ़ता, और संश्लेषण।

तीनों द्विघात फलनों

$x^2 + xy + y^2, \qquad x^2 + 3xy + y^2, \qquad x^2 + 2xy + y^2$

के क्रांतिक बिंदुओं का वर्गीकरण भाग I से कीजिए, और तीसरी अपह्रासी स्थिति हाथ से निपटाइए (न्यूनतम कहाँ प्राप्त होता है?)।
(बहिर्मान का प्रयोग) प्रश्न 14 के आँकड़ों में बिंदु $(10, 0)$ जोड़िए और प्रवणता $\beta$ फिर से संगणित कीजिए। क्या हुआ, और वर्ग त्रुटि एक ही दूर बैठे बिंदु के प्रति इतनी संवेदनशील क्यों है?
(भारित न्यूनतम वर्ग) भार $w_i > 0$ दिए हों: $\sum_i w_i(y_i - \alpha - \beta x_i)^2$ न्यूनतम कीजिए और दिखाइए कि हल वही सूत्र देते हैं जो प्रश्न 11 में हैं, बशर्ते माध्य, प्रसरण और सहप्रसरण भारित लिए जाएँ (उन्हें परिभाषित कीजिए)।
दिखाइए कि इष्टतम रेखा के लिए $E_{\min} = 0$ सभी बिंदुओं को ठीक उसी पर बाध्य कर देता है, और इसे प्रश्न 13 की समता-स्थिति $\abs\rho = 1$ से जोड़िए; संरेख आँकड़ों $(1,1), (2,3), (3,5)$ पर जाँचिए।
संश्लेषण, चार वाक्यों में: द्विघात फलन ही वह अकेला वर्ग क्यों हैं जिसके लिए इस अध्याय की द्वितीय-कोटि कसौटी को किसी स्वीकृत प्रमेय की आवश्यकता नहीं; प्रसामान्य समीकरण विश्लेषणी न्यूनीकरण को अध्याय 23 के लांबिक प्रक्षेप से कैसे पहचान लेते हैं; सहसंबंध गुणांक क्या नापता है और कौन-सी असमिका उसे परिबद्ध करती है; और अध्याय 18–23 के कौन-से टुकड़े (आधार, ग्राम तथा आघूर्ण आव्यूह, प्रक्षेप) फिर से प्रकट हुए। भाग II और III में अध्ययन की गई विधि और समीकरणों के नाम लीजिए।

हल

हल — समस्या 25.1.

1. दाएँ पक्ष का प्रसार करने पर:

r\Bigl(h + \frac srk\Bigr)^{\!2} + \frac{rt - s^2}{r}k^2 = rh^2 + 2shk + \frac{s^2}{r}k^2 + \frac{rt - s^2}{r}k^2 = q(h,k) .

यदि $rt - s^2 > 0$ : दोनों वर्ग $r$ के चिह्न का गुणक ढोते हैं, और $q(h,k) = 0$ पहले $k = 0$ और फिर $h = 0$ बाध्य कर देता है: अतः मूल बिंदु के बाहर चिह्न कठोरतः $r$ का। यदि $rt - s^2 < 0$ : $q(1, 0) = r$ है, जबकि $q\bigl(-\frac sr, 1\bigr) = \frac{rt - s^2}{r}$ का चिह्न विपरीत है: दोनों चिह्न आते हैं।

2. यदि $r = 0 \neq t$ , तो $h$ और $k$ की भूमिकाएँ बदल दीजिए ( $k$ में पूर्ण वर्ग), निष्कर्ष वही रहते हैं; ध्यान दीजिए कि $s \neq 0$ होते ही $rt - s^2 = -s^2 < 0$ , और सचमुच तब $q = 2shk + tk^2$ दोनों चिह्न लेता है ( $k$ को $h$ के मुक़ाबले छोटा लीजिए)। यदि $r = t = 0$ : $q = 2shk$ , जो दोनों चिह्न लेता है यदि और केवल यदि $s \neq 0$ , अर्थात् यदि और केवल यदि $rt - s^2 = -s^2 < 0$ । सारांश: $q$ दोनों चिह्न लेता है $\iff rt - s^2 < 0$ ; और $q$ केवल मूल बिंदु पर लुप्त होता है (निश्चित) $\iff rt - s^2 > 0$ (जो $r \neq 0$ बाध्य कर देता है, क्योंकि $r = 0$ पर $q(1,0) = 0$ )।

3. $f_x = rx + sy + \beta$ तथा $f_y = sx + ty + \gamma$ के साथ सीधा प्रसार देता है

f(a + h, b + k) = f(a, b) + h\,f_x(a,b) + k\,f_y(a,b) + \tfrac12 q(h, k),

और इससे ऊँचे पद नहीं हैं (फलन घात $2$ का बहुपद है)। किसी क्रांतिक बिंदु पर रैखिक भाग लुप्त हो जाता है: $f(X_0 + H) - f(X_0) = \frac12 q(H)$ यथार्थतः, अतः प्रश्न 1–2 का चिह्न-अध्ययन वर्गीकरण कर देता है: कठोर समग्र न्यूनतम ( $rt - s^2 > 0$ , $r > 0$ ), कठोर समग्र अधिकतम ( $rt - s^2 > 0$ , $r < 0$ ), और $rt - s^2 < 0$ पर काठी — हर प्रतिवेश में दोनों चिह्न। इससे विधि 25.14 द्विघात फलनों के लिए सिद्ध हो जाती है।

4. रूप $q - c(h^2 + k^2)$ की राशियाँ $r - c$ , $s$ , $t - c$ हैं। $c = \frac{rt - s^2}{r + t}$ के साथ (ध्यान दीजिए $t > 0$ , क्योंकि $rt > s^2 \geq 0$ और $r > 0$ ):

(r - c)(t - c) - s^2 = rt - s^2 - c(r + t) + c^2 = c^2 \geq 0,

और $r - c \geq 0$ ( $c \leq r \iff rt - s^2 \leq r^2 + rt$ , जो सत्य है)। यदि $r - c > 0$ , तो प्रश्न 1 का पूर्ण वर्ग $q - c(h^2 + k^2) \geq 0$ दिखा देता है; और यदि $r - c = 0$ , तो $s = 0$ (प्रदर्शित राशि $\geq 0$ रहने के लिए, जबकि पहला गुणनखंड $0$ है) और रूप $(t - c)k^2 \geq 0$ रह जाता है। दोनों स्थितियों में $q(h,k) \geq c(h^2 + k^2)$ ।

5. प्रश्न 3–4 से $f(X) = f(X_0) + \frac12 q(X - X_0) \geq f(X_0) + \frac c2\norm{X - X_0}^2 \to +\infty$ जब $\norm X \to \infty$ : अतः $f$ प्रबल है, और $X \neq X_0$ के लिए असमिका कठोर है: क्रांतिक बिंदु ही अद्वितीय समग्र न्यूनकारी है। उदाहरण 25.15 के त्रिघात $f = x^3 + y^3 - 3xy$ के लिए ऐसा कोई निष्कर्ष नहीं टिकता: $f(x,0) = x^3 \to -\infty$ , और $(1,1)$ पर स्थानीय न्यूनतम समग्र नहीं है — जो चूका, वह द्विघात प्रसार की यथार्थता थी।

6. वर्ग मानक का प्रसार करने पर:

f(u,v) = u^2\norm{C_1}^2 + 2uv\,\langle C_1, C_2\rangle + v^2\norm{C_2}^2 - 2u\,\langle C_1, b\rangle - 2v\,\langle C_2, b\rangle + \norm b^2 ,

जो $(u, v)$ का द्विघात फलन है और जिसका द्विघात भाग $\frac12(ru^2 + 2suv + tv^2)$ है, जहाँ $r = 2\norm{C_1}^2$ , $s = 2\langle C_1, C_2\rangle$ , $t = 2\norm{C_2}^2$ ।

7. कोशी–श्वार्ट्ज़ (प्रमेय 23.4) से $rt - s^2 = 4\bigl(\norm{C_1}^2\norm{C_2}^2 - \langle C_1, C_2\rangle^2\bigr) \geq 0$ , और समता ठीक तब है जब $C_1, C_2$ समानुपाती हों (या उनमें से एक शून्य हो), अर्थात् जब युग्म परतंत्र हो। अतः $rt - s^2 > 0 \iff (C_1, C_2)$ स्वतंत्र।

8. $\nabla f = 0$ का अर्थ है

\norm{C_1}^2 u + \langle C_1, C_2\rangle v = \langle C_1, b\rangle, \qquad \langle C_1, C_2\rangle u + \norm{C_2}^2 v = \langle C_2, b\rangle,

अर्थात् बाईं ओर ग्राम आव्यूह वाले प्रसामान्य समीकरण; और वे कहते हैं कि $i = 1, 2$ के लिए $\langle uC_1 + vC_2 - b,\ C_i\rangle = 0$ , अर्थात् $p = uC_1 + vC_2$ के साथ $b - p \perp \operatorname{Vect}(C_1, C_2)$ । भाग I (प्रश्न 3, 5) से अद्वितीय क्रांतिक बिंदु ही अद्वितीय समग्र न्यूनकारी है, और प्रमेय 23.10 से अभिलक्षणता “ $p \in F$ , $b - p \perp F$ ” $p$ को $b$ का $F = \operatorname{Vect}(C_1, C_2)$ पर लांबिक प्रक्षेप ठहरा देती है।

9. $\norm{b - p}^2 = \norm b^2 - 2\langle b, p\rangle + \norm p^2$ , और $\langle p, b - p\rangle = 0$ से $\norm p^2 = \langle p, b\rangle$ : अतः न्यूनतम $\norm b^2 - \langle p, b\rangle$ के बराबर है। पाइथागोरस: $\norm b^2 = \norm p^2 + \norm{b - p}^2$ — आँकड़ा-सदिश अपने व्याख्यायित भाग $p$ और अपने अवशिष्ट भाग $b - p$ में बँट जाता है, जो परस्पर लांबिक हैं।

10. दिए गए $C_1, C_2, b$ के साथ $E(\alpha, \beta) = \norm{\alpha C_1 + \beta C_2 - b}^2$ ; और प्रश्न 8 के प्रसामान्य समीकरण, प्रविष्टिवार, ये हैं:

n\alpha + \Bigl(\sum x_i\Bigr)\beta = \sum y_i, \qquad \Bigl(\sum x_i\Bigr)\alpha + \Bigl(\sum x_i^2\Bigr)\beta = \sum x_i y_i .

11. $n$ से भाग देने पर: $\alpha + \beta\bar x = \bar y$ और $\alpha\bar x + \beta\bigl(v_x + \bar x^2\bigr) = c_{xy} + \bar x\bar y$ । दूसरे में $\alpha = \bar y - \beta\bar x$ प्रतिस्थापित करने पर: $\beta v_x = c_{xy}$ , अतः

\beta = \frac{c_{xy}}{v_x}, \qquad \alpha = \bar y - \beta\bar x ,

और पहला समीकरण ठीक यही कहता है कि $(\bar x, \bar y)$ रेखा पर स्थित है।

12. $v_x = \frac1n\sum(x_i - \bar x)^2 \geq 0$ , जो शून्य है यदि और केवल यदि हर $x_i$ $\bar x$ के बराबर हो। और $rt - s^2 = 4\bigl(n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2\bigr) = 4n^2 v_x$ : अतः प्रश्न 7 की स्वतंत्रता-शर्त $v_x > 0$ है, अर्थात् सभी $x_i$ बराबर न हों।

13. $\alpha = \bar y - \beta\bar x$ के साथ आँकड़ों को केंद्रित कीजिए ( $\tilde x_i = x_i - \bar x$ , $\tilde y_i = y_i - \bar y$ ):

E(\alpha, \beta) = \sum_i(\tilde y_i - \beta\tilde x_i)^2 = n\,v_y - 2\beta\,n\,c_{xy} + \beta^2 n\,v_x ,

जो $\beta = c_{xy}/v_x$ पर न्यूनतम है, मान $E_{\min} = n\bigl(v_y - \frac{c_{xy}^2}{v_x}\bigr) = n v_y(1 - \rho^2)$ । चूँकि $E_{\min} \geq 0$ और $v_y > 0$ : $\rho^2 \leq 1$ , और $\abs\rho = 1$ यदि और केवल यदि $E_{\min} = 0$ , अर्थात् यदि और केवल यदि हर अवशेष लुप्त हो: बिंदु ठीक रेखा पर स्थित हैं।

14. $n = 4$ : $\bar x = \frac64 = 1.5$ , $\bar y = 2$ , $\sum x_i^2 = 14$ अतः $v_x = 3.5 - 2.25 = 1.25$ , $\sum x_iy_i = 0 + 1 + 6 + 12 = 19$ अतः $c_{xy} = 4.75 - 3 = 1.75$ । इससे

\beta = \frac{1.75}{1.25} = 1.4, \qquad \alpha = 2 - 1.4\times1.5 = -0.1 : \qquad y = 1.4\,x - 0.1 .

फिट किए गए मान $-0.1,\ 1.3,\ 2.7,\ 4.1$ ; अवशेष $0.1,\ -0.3,\ 0.3,\ -0.1$ ; $E_{\min} = 0.01 + 0.09 + 0.09 + 0.01 = 0.2$ (जाँच: $v_y = \frac{26}4 - 4 = 2.5$ और $4(2.5 - \frac{1.75^2}{1.25}) = 4(2.5 - 2.45) = 0.2$ )।

15. प्रश्न 10 के दोनों प्रसामान्य समीकरण ठीक $\sum_i\varepsilon_i = 0$ और $\sum_i x_i\varepsilon_i = 0$ हैं: अवशेष-सदिश $C_1 = (1, \dots, 1)$ पर और $C_2 = (x_i)$ पर — अर्थात् पूरी प्रतिरूप-समष्टि पर — लांबिक है। विशेष रूप से इष्टतम रेखा अपनी त्रुटियाँ सदा संतुलित रखती है: उनका योग शून्य होता है।

16. $\frac{\dd}{\dd\alpha}\sum(y_i - \alpha)^2 = -2\sum(y_i - \alpha) = 0$ से $\alpha = \bar y$ (और द्वितीय अवकलज $2n > 0$ इसे समग्र न्यूनतम बना देता है, क्योंकि फलन एक चर का प्रबल द्विघात है)। न्यूनतम मान $\sum(y_i - \bar y)^2 = n v_y$ : अर्थात् प्रसरण किसी अचर प्रतिरूप की अनिवार्य वर्ग-त्रुटि है।

17. $\frac{\dd}{\dd\beta}\sum(y_i - \beta x_i)^2 = -2\sum x_i(y_i - \beta x_i) = 0$ से $\beta_0 = \frac{\sum x_iy_i}{\sum x_i^2}$ । दोनों प्रवणताओं को केंद्रित राशियों में लिखने पर: $\beta_0 = \frac{c_{xy} + \bar x\bar y}{v_x + \bar x^2}$ $\frac{c_{xy}}{v_x}$ के बराबर है यदि और केवल यदि $c_{xy}\bar x^2 = \bar x\bar y\,v_x$ , अर्थात् यदि और केवल यदि $\bar x = 0$ (केंद्रित भुज) या $\bar y = \beta\bar x$ — और दूसरे का अर्थ है $\alpha = 0$ : पूरी प्रतिगमन रेखा पहले से ही मूल बिंदु से होकर जाती है।

18. $g(\tau) = \norm{M - P_0}^2 - 2\tau\langle M - P_0, w\rangle + \tau^2$ $\tau^* = \langle M - P_0, w\rangle$ पर न्यूनतम है, जिसका मान $d(M,D)^2 = \norm{M - P_0}^2 - \langle M - P_0, w\rangle^2$ है। समतल में $w$ को $n = \frac{(a, b)}{\sqrt{a^2+b^2}}$ ( $D$ का एकक अभिलंब) के साथ किसी लांबिक-प्रसामान्य आधार $(w, n)$ में पूरा कीजिए: तब $\norm{M - P_0}^2 = \langle M - P_0, w\rangle^2 + \langle M - P_0, n\rangle^2$ , अतः $d(M, D) = \abs{\langle M - P_0, n\rangle}$ , और $aP_{0x} + bP_{0y} = -c$ के साथ:

d = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}} .

19. $E_{\min}/n = v_y - \frac{c_{xy}^2}{v_x}$ और $\beta^2 v_x = \frac{c_{xy}^2}{v_x}$ से:

v_y = \beta^2 v_x + \frac{E_{\min}}n :

कुल प्रसरण $=$ फिट की गई रेखा के सहारे का प्रसरण $+$ अवशिष्ट प्रसरण। ( $v_y$ से भाग देने पर: $1 = \rho^2 + (1 - \rho^2)$ , अर्थात् रेखा से “व्याख्यायित” प्रसरण का हिस्सा $\rho^2$ है।)

20. प्रतिरूप-समष्टि $\operatorname{Vect}\bigl(C_1, C_2, C_3\bigr)$ है, जहाँ $C_1 = (1)$ , $C_2 = (x_i)$ , $C_3 = (x_i^2)$ ; $\norm{aC_1 + bC_2 + cC_3 - b}^2$ का न्यूनीकरण ठीक प्रश्न 8 की तरह $3\times3$ ग्राम निकाय तक ले जाता है, जिसके आव्यूह की प्रविष्टियाँ $\langle C_i, C_j\rangle = \sum_k x_k^{\,i+j-2}$ हैं: वही प्रदर्शित आघूर्ण आव्यूह। वह व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि $(C_1, C_2, C_3)$ स्वतंत्र हो (अभ्यास 23.11); क्योंकि सभी $k$ के लिए संबंध $a + bx_k + cx_k^2 = 0$ हर $x_k$ को घात $\leq 2$ के एक ही बहुपद का मूल बना देता है, जो तीन भिन्न मानों के साथ असंभव है जब तक $a = b = c = 0$ न हो। अध्याय 22 की सप्ताहांत समस्या के आघूर्ण आव्यूहों से तुलना कीजिए, जहाँ उनके सारणिक वांडरमोंड मानों के वर्ग निकले थे।

21. पहला: $r = 2, s = 1, t = 2$ , $rt - s^2 = 3 > 0$ , $r > 0$ : मूल बिंदु पर कठोर समग्र न्यूनतम। दूसरा: $r = 2, s = 3, t = 2$ , $rt - s^2 = -5 < 0$ : काठी। तीसरा: $r = s = t = 2$ , $rt - s^2 = 0$ : अपह्रासी — पर $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2 \geq 0$ पूरी रेखा $y = -x$ पर लुप्त है: एक (अकठोर) समग्र न्यूनतम, जो पूरी रेखा पर प्राप्त होता है और सारणिक-कसौटी को दिखाई नहीं देता।

22. नए योग ( $n = 5$ ): $\bar x = 3.2$ , $\bar y = 1.6$ , $\sum x_iy_i = 19$ अतः $c_{xy} = 3.8 - 5.12 = -1.32$ , $\sum x_i^2 = 114$ अतः $v_x = 22.8 - 10.24 = 12.56$ । नई प्रवणता:

\beta = \frac{-1.32}{12.56} \approx -0.105 :

एक ही बिंदु ने स्पष्ट रूप से बढ़ती प्रवृत्ति ( $\beta = 1.4$ ) को हलकी घटती प्रवृत्ति में बदल दिया। वर्ग-त्रुटि हर अवशेष पर $\varepsilon^2$ वसूलती है, अतः एक ही दूर बैठा बिंदु — बड़े $\abs{x_{i} - \bar x}$ और बड़े अवशेष वाला — $c_{xy}$ तथा $v_x$ दोनों पर हावी हो जाता है: न्यूनतम वर्ग दक्ष तो हैं, सुदृढ़ नहीं।

23. $W = \sum w_i$ रखिए और $\bar x_w = \frac1W\sum w_ix_i$ , इसी प्रकार $\bar y_w$ , तथा $v_x^w = \frac1W\sum w_ix_i^2 - \bar x_w^2$ , $c^w_{xy} = \frac1W\sum w_ix_iy_i - \bar x_w\bar y_w$ परिभाषित कीजिए। प्रतिचित्रण $\langle u, v\rangle_w = \sum_i w_iu_iv_i$ $\R^n$ पर एक अंतर्गुणन है ( $w_i > 0$ निश्चितता देता है), अतः भाग II अक्षरशः लागू होता है और प्रसामान्य समीकरण $W$ से भाग देने पर

\alpha + \beta\bar x_w = \bar y_w, \qquad \alpha\bar x_w + \beta(v^w_x + \bar x_w^2) = c^w_{xy} + \bar x_w\bar y_w

बन जाते हैं, जिनसे $\beta = c^w_{xy}/v^w_x$ और $\alpha = \bar y_w - \beta\bar x_w$ : वही सूत्र, बस हर औसत भारित।

24. $E_{\min} = \sum\varepsilon_i^2 = 0$ हर $\varepsilon_i = 0$ बाध्य कर देता है: सभी बिंदु ठीक रेखा पर; और प्रश्न 13 से यही स्थिति $\abs\rho = 1$ है। जाँच: $(1,1), (2,3), (3,5)$ के लिए $\bar x = 2$ , $\bar y = 3$ , $v_x = \frac{14}3 - 4 = \frac23$ , $c_{xy} = \frac{22}3 - 6 = \frac43$ : अतः $\beta = 2$ , $\alpha = -1$ , और सचमुच तीनों बिंदुओं के लिए $y_i = 2x_i - 1$ ; साथ ही $v_y = \frac{35}3 - 9 = \frac83$ और $\rho^2 = \frac{(4/3)^2}{(2/3)(8/3)} = 1$ ।

25. (क) द्विघात फलनों के लिए कोटि-दो प्रसार एक सर्वसमिका है, अतः द्विघात रूप का चिह्न-अध्ययन — शुद्ध बीजगणित, प्रश्न 1–2 — क्रांतिक बिंदुओं का वर्गीकरण बिना किसी स्वीकृत टेलर प्रमेय के कर देता है। (ख) प्रसामान्य समीकरण कहते हैं “अवशेष प्रतिरूप-समष्टि पर लांबिक”, अतः विश्लेषणी न्यूनतम आँकड़ा-सदिश का लांबिक प्रक्षेप ही है: कलन और यूक्लिडीय ज्यामिति एक ही वस्तु संगणित करते हैं। (ग) सहसंबंध $\rho = c_{xy}/\sqrt{v_xv_y}$ रेखा से व्याख्यायित प्रसरण का हिस्सा $\rho^2$ नापता है, और कोशी–श्वार्ट्ज़ उसे परिबद्ध करती है: $\abs\rho \leq 1$ , जिसमें समता केवल संरेख आँकड़ों के लिए। (घ) आधार और स्वतंत्रता (अध्याय 18), ग्राम तथा आघूर्ण आव्यूह और उनके सारणिक (अध्याय 22–23), और लांबिक प्रक्षेप (अध्याय 23) — सब एक ही कलनविधि के काम करते पुर्जों के रूप में फिर से प्रकट हुए। भाग II और III न्यूनतम वर्ग की विधि (लजांद्र, गाउस) को उसके प्रसामान्य समीकरणों के रास्ते विकसित करते हैं।