विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · Bachelor Year 1

20रैखिक प्रतिचित्रण

सदिश समष्टियों के बीच अध्ययन योग्य प्रतिचित्रण वही हैं जो संरचना के अनुकूल हों: रैखिक प्रतिचित्रण। उनकी दो मूलभूत उपसमष्टियाँ — अष्टि और प्रतिबिंब — एकैकीपन और आच्छादकता नापती हैं, और परिमित विमा में कोटि–शून्यता प्रमेय उनके आकारों को एक ही संरक्षण नियम में बाँध देती है। प्रक्षेप और सममितियाँ, फिर रैखिक रूप और अधिसमतल, अध्याय को बंद करते हैं।

20.1 परिभाषाएँ और प्रथम गुण

परिभाषा 20.1

मान लीजिए $E, F$ $K$ -सदिश समष्टियाँ हैं। प्रतिचित्रण $u \colon E \to F$ रैखिक तब कहलाता है जब

\forall x, y \in E,\ \forall \lambda \in K, \qquad u(x + \lambda y) = u(x) + \lambda u(y).

तब $u(0) = 0$ और $u(\sum \lambda_i x_i) = \sum \lambda_i u(x_i)$ । रैखिक प्रतिचित्रणों का समुच्चय $\mathcal{L}(E, F)$ स्वयं एक सदिश समष्टि है; रैखिक प्रतिचित्रणों का संयुक्त प्रतिचित्रण रैखिक होता है, और जोड़ी में द्विरैखिक। अंतःसमाकारिता कोई रैखिक $E \to E$ है; तुल्याकारिता कोई एकैकी आच्छादक रैखिक प्रतिचित्रण है (तब उसका प्रतिलोम स्वतः रैखिक होता है); किसी तुल्याकारिता का $u^{-1}$ , तथा तुल्याकारिताओं के संयुक्त प्रतिचित्रण, तुल्याकारिताएँ होते हैं।

प्रतिलोम के रैखिक होने की उपपत्ति. मान लीजिए $u$ रैखिक और एकैकी आच्छादक है, $y, y' \in F$ और $\lambda \in K$ । $x = u^{-1}(y)$ तथा $x' = u^{-1}(y')$ रखिए। तब

u\bigl(x + \lambda x'\bigr) = u(x) + \lambda u(x') = y + \lambda y' ,

और दोनों सिरों पर $u^{-1}$ लगाने से: $u^{-1}(y + \lambda y') = x + \lambda x' = u^{-1}(y) + \lambda\,u^{-1}(y')$ । $u^{-1}$ के विषय में कुछ भी संगणित नहीं किया गया: रैखिकता केवल $u$ के परिभाषक गुण के सहारे स्थानांतरित हो जाती है — यह प्रतिरूप याद रखने योग्य है, क्योंकि संरचना प्रायः एकैकी आच्छादनों पर मुफ़्त में सवारी कर लेती है। ∎

प्रतिज्ञप्ति 20.2 (रैखिक प्रतिचित्रण आधार पर जान लिया जाता है)

मान लीजिए $(e_1, \dots, e_n)$ $E$ का आधार है और $(v_1, \dots, v_n)$ $F$ के स्वेच्छ सदिश। ठीक एक ही रैखिक प्रतिचित्रण $u \colon E \to F$ ऐसा है कि सभी $i$ के लिए $u(e_i) = v_i$ । इसके अतिरिक्त:

u \text{ एकैकी} \iff (v_i) \text{ स्वतंत्र}; \qquad u \text{ आच्छादक} \iff (v_i),\ F \text{ का जनक कुल है} .

उपपत्ति. अस्तित्व/अद्वितीयता: हर $x$ के निर्देशांक $x = \sum \lambda_i e_i$ अद्वितीय हैं (प्रतिज्ञप्ति 18.15); रैखिकता $u(x) = \sum \lambda_i v_i$ बाध्य कर देती है, और यह सूत्र सचमुच एक रैखिक प्रतिचित्रण परिभाषित करता है।

एकैकीपन: नीचे के प्रतिज्ञप्ति 20.5 से $u$ एकैकी है तभी जब उसकी अष्टि तुच्छ हो। अब $u\bigl(\sum\lambda_i e_i\bigr) = 0$ का अर्थ ठीक $\sum\lambda_i v_i = 0$ है। यदि $(v_i)$ स्वतंत्र है, तो यह हर $\lambda_i = 0$ बाध्य कर देता है, अर्थात् अष्टि घटकर $0$ रह जाती है: अतः एकैकी। यदि $(v_i)$ परतंत्र है, तो कोई अतुच्छ संबंध $\sum\lambda_i v_i = 0$ अष्टि में अशून्य सदिश $\sum\lambda_i e_i$ पैदा कर देता है ( $(e_i)$ स्वतंत्र है): अतः एकैकी नहीं। दोनों शर्तें पद-दर-पद मेल खाती हैं।

आच्छादकता: $u$ का प्रतिबिंब सभी $\sum\lambda_i v_i$ का समुच्चय है, अर्थात् ठीक $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_n)$ , जो $F$ के बराबर है तभी जब वह कुल जनक हो। ∎

परिभाषा 20.3 (अष्टि और प्रतिबिंब)

$u \in \mathcal{L}(E, F)$ के लिए:

\ker u = \{x \in E : u(x) = 0\} \subseteq E, \qquad \operatorname{im} u = u(E) \subseteq F ,

दोनों उपसमष्टियाँ हैं (कसौटी से सीधा सत्यापन)।

विधि 20.4 (अष्टि और प्रतिबिंब, व्यवहार में)

अष्टि: $u(x) = 0$ को $x$ के निर्देशांकों (अथवा गुणांकों) पर एक निकाय के रूप में लिखिए, हल कीजिए, और प्राचलन कीजिए — अष्टि आधार समेत निकल आती है (विधि 19.10)। प्रतिबिंब: वह $E$ के किसी भी जनक कुल के प्रतिबिंबों की जनित समष्टि है — प्रायः किसी आधार की, अतः $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}\bigl(u(e_1), \dots, u(e_n)\bigr)$ ; फिर अनावश्यक प्रतिबिंब हटाकर आधार निकाल लीजिए। छोटा रास्ता: दोनों में से जो सरल हो उसे संगणित कीजिए और दूसरे की विमा कोटि–शून्यता से मुफ़्त में पाइए (प्रमेय 20.7); और जब प्रतिबिंब के लिए कोई विश्वसनीय संभावित उपसमष्टि ज्ञात हो, तो विमाओं की तुलना सरल अंतर्विष्टता को समानता में बदल देती है (प्रमेय 19.14)। नीचे उदाहरण 20.11 में दोनों छोटे रास्ते प्रयुक्त हुए हैं।

प्रतिज्ञप्ति 20.5

$u$ एकैकी है $\iff$ $\ker u = \{0\}$ ; $u$ आच्छादक है $\iff$ $\operatorname{im} u = F$ ।

उपपत्ति. समूहों की तरह ही (प्रतिज्ञप्ति 7.11): $u(x) = u(y) \iff u(x - y) = 0 \iff x - y \in \ker u$ । दूसरा बिंदु परिभाषा ही है। ∎

20.2 कोटि–शून्यता प्रमेय

परिभाषा 20.6

$u \in \mathcal{L}(E, F)$ की कोटि ( $E$ के परिमित-विमीय होने पर) $\operatorname{rk} u = \dim \operatorname{im} u$ है — और वह $E$ के किसी भी आधार $(e_i)$ के लिए कुल $\bigl(u(e_1), \dots, u(e_n)\bigr)$ की कोटि भी है।

प्रमेय 20.7 (कोटि–शून्यता)

मान लीजिए $E$ परिमित-विमीय है और $u \in \mathcal{L}(E, F)$ । तब

\dim E = \dim \ker u + \operatorname{rk} u .

अधिक यथार्थ रूप से, यदि $S$ $E$ में $\ker u$ की कोई पूरक उपसमष्टि है, तो $u$ सीमित होकर $S$ से $\operatorname{im} u$ पर एक तुल्याकारिता बन जाता है।

उपपत्ति. मान लीजिए $S$ $E = \ker u \oplus S$ संतुष्ट करती है (प्रमेय 19.14), और $v \colon S \to \operatorname{im} u$ $u$ का सीमन है।

$v$ एकैकी है: $\ker v = S \cap \ker u = \{0\}$ ।

$v$ आच्छादक है: $x = k + s$ वाला कोई भी $u(x)$ ( $k \in \ker u$ , $s \in S$ ) $u(s) = v(s)$ के बराबर है।

अतः $v$ एक तुल्याकारिता है; और तुल्याकारिता आधार को आधार पर भेजती है (प्रतिज्ञप्ति 20.2), अतः $\dim S = \dim\operatorname{im} u$ , और $\dim E = \dim\ker u + \dim S$ निष्कर्ष दे देता है। ∎

उदाहरण 20.8 (माँग के अनुसार प्रतिचित्रण बनाना)

ऐसा $u \in \mathcal{L}(\R^3)$ बनाइए कि $\ker u = \operatorname{Vect}(1,1,1)$ और $\operatorname{im} u = \{z = 0\}$ । पहले जाँच: कोटि–शून्यता $1 + 2 = 3$ माँगती है — जो संगत है, अतः कोई हल हो सकता है। अष्टि के अनुकूल कोई आधार चुनिए, जैसे $\bigl((1,1,1),\ e_1,\ e_2\bigr)$ (उदाहरण 19.7), और प्रतिबिंब निर्धारित कीजिए (प्रतिज्ञप्ति 20.2):

u(1,1,1) = 0, \qquad u(e_1) = e_1, \qquad u(e_2) = e_2 .

तब $\ker u \supseteq \operatorname{Vect}(1,1,1)$ और $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(e_1, e_2) = \{z = 0\}$ ; कोटि–शून्यता $\dim\ker u = 1$ बाध्य कर देती है, अतः अष्टि ठीक वही निर्धारित रेखा है। स्पष्ट रूप से, $(x, y, z) = z(1,1,1) + (x - z)e_1 + (y - z)e_2$ का विघटन करने पर:

u(x, y, z) = (x - z,\ y - z,\ 0).

यह नुस्ख़ा सामान्यीकृत हो जाता है: निर्धारित अष्टि $N$ और निर्धारित प्रतिबिंब $I$ वाला रैखिक प्रतिचित्रण ठीक तब होता है जब $\dim N + \dim I = \dim E$ — आवश्यकता कोटि–शून्यता है, और पर्याप्तता यही रचना।

उपप्रमेय 20.9

यदि $\dim E = \dim F$ (परिमित), तो $u \in \mathcal{L}(E, F)$ के लिए:

u \text{ एकैकी} \iff u \text{ आच्छादक} \iff u \text{एकैकी आच्छादक}.

विशेष रूप से यह परिमित विमा में अंतःसमाकारिताओं पर लागू होता है। (अनंत विमा में यह विफल हो जाता है: $K[X]$ पर अवकलज आच्छादक है पर एकैकी नहीं, और $P \mapsto XP$ एकैकी है पर आच्छादक नहीं।)

उपपत्ति. एकैकी $\iff \dim\ker u = 0 \iff \operatorname{rk} u = \dim E = \dim F \iff \operatorname{im} u = F$ (पूरी विमा वाली उपसमष्टि सब कुछ होती है, प्रमेय 19.14) $\iff$ आच्छादक। ∎

उदाहरण 20.10 (अंतर्वेशन, संरचनात्मक दृष्टि से)

भिन्न-भिन्न $x_0, \dots, x_n$ नियत कीजिए और $u \colon \R_n[X] \to \R^{n+1}$ , $P \mapsto (P(x_0), \dots, P(x_n))$ लीजिए: यह रैखिक है। उसकी अष्टि $\{P : \deg P \leq n,\ n+1 \text{ मूल}\} = \{0\}$ है (उपप्रमेय 8.8)। विमाएँ बराबर हैं $n + 1$ : अतः $u$ एक तुल्याकारिता है — अर्थात् लाग्रांज अंतर्वेशक (प्रमेय 8.23) का अस्तित्व और अद्वितीयता, दोनों एक ही पंक्ति में।

यही एक-पंक्ति वाला प्रतिरूप उन आँकड़ों को भी सँभाल लेता है जिनमें मान और अवकलज मिले-जुले हों: $v \colon \R_3[X] \to \R^4$ , $P \mapsto \bigl(P(0), P'(0), P(1), P'(1)\bigr)$ रैखिक है, और उसकी अष्टि में $\leq 3$ घात वाले वे बहुपद हैं जिनके $0$ और $1$ दोनों पर दुहरे मूल हों, अर्थात् जो $4$ घात वाले $X^2(X-1)^2$ से विभाज्य हों: केवल $P = 0$ । विमाएँ फिर बराबर हैं: अतः आँकड़ों का हर चतुष्क $(P(0), P'(0), P(1), P'(1))$ ठीक एक ही त्रिघातीय बहुपद से साकार होता है — यही एरमीट अंतर्वेशन है, जो कोई सूत्र लिखे जाने से पहले ही एक अष्टि-संगणना से मिल जाता है (अध्याय 22 की सप्ताहांत समस्या अपने सारणिक से मिलती है)।

उदाहरण 20.11 (कोटि–शून्यता काम पर: अंतर संकारक)

मान लीजिए $\Delta \colon \R_n[X] \to \R_n[X]$ , $P \mapsto P(X+1) - P(X)$ : यह रैखिक है। अष्टि: यदि $\Delta P = 0$ , तो $P(0) = P(1) = P(2) = \dots$ , अतः $P - P(0)$ के अनंत कितने मूल हैं और वह शून्य हो जाता है (उपप्रमेय 8.8): अर्थात् $\ker\Delta$ अचरों की रेखा है। कोटि–शून्यता: $\operatorname{rk}\Delta = (n + 1) - 1 = n$ । चूँकि अनचर $P$ के लिए $\deg \Delta P < \deg P$ (शीर्ष पद कट जाते हैं), अतः $\operatorname{im}\Delta \subseteq \R_{n-1}[X]$ , जिसकी विमा ठीक $n$ है: इसलिए यह अंतर्विष्टता समानता है। निष्कर्ष, और वह भी किसी पूर्वप्रतिबिंब की संगणना के बिना: $\leq n - 1$ घात वाला हर बहुपद $Q$ किसी न किसी अंतर $Q = P(X+1) - P(X)$ के रूप में है — अर्थात् विविक्त प्रतिअवकलज का अस्तित्व है। (अध्याय 18 की सप्ताहांत समस्या से तुलना कीजिए, जहाँ $\Delta$ को द्विपद आधार में स्पष्ट रूप से उलटा गया था।)

उदाहरण 20.12 (किसी संयुक्त प्रतिचित्रण के अनुदिश कोटि का लेखा-जोखा)

$\R_2[X]$ पर अवकलज $D(P) = P'$ (कोटि $2$ : प्रतिबिंब $\R_1[X]$ , अष्टि अचर) को स्वयं से संयुक्त कीजिए। तब $D \circ D = D^2$ $P \mapsto P''$ भेजता है, जिसका प्रतिबिंब $\R_0[X]$ है: कोटि $1$ । व्यापक परिबंधों से तुलना कीजिए: स्थूल परिबंध $\operatorname{rk} D^2 \leq \min(2, 2) = 2$ देता है; और अभ्यास 20.12 का यथार्थ सूत्र इस हानि का ठीक-ठीक हिसाब देता है,

\operatorname{rk} D^2 = \operatorname{rk} D - \dim\bigl(\ker D \cap \operatorname{im} D\bigr) = 2 - 1 = 1 ,

क्योंकि अचर (बाहरी $D$ की अष्टि) $\R_1[X]$ (भीतरी $D$ का प्रतिबिंब) के भीतर बैठे हैं, और उनकी विमा $1$ है। कोटि ठीक वहीं खोती है जहाँ बाहरी अष्टि भीतरी प्रतिबिंब पर घात लगाती है — संयुक्त प्रतिचित्रणों की कोटियाँ बदमाशी करें तो यही वाक्य याद रखिए।

उदाहरण 20.13 (ऑयलर संकारक की अष्टि और प्रतिबिंब)

$\R_n[X]$ पर मान लीजिए $u(P) = X\,P'$ (यह रैखिक है: अवकलन और $X$ से गुणन, दोनों रैखिक हैं)। अष्टि: $XP' = 0$ $P' = 0$ बाध्य कर देता है (बहुपदों का गुणनफल तभी शून्य होता है जब कोई एक गुणनखंड शून्य हो), अतः $\ker u$ अचरों की रेखा है। प्रतिबिंब: एकपदी आधार पर,

u(X^k) = k\,X^{k} \qquad (k = 0, 1, \dots, n),

अतः $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(X, 2X^2, \dots, nX^n) = \operatorname{Vect}(X, X^2, \dots, X^n)$ : अर्थात् शून्य अचर पद वाले बहुपद। कोटि–शून्यता से जाँच: $\operatorname{rk} u = (n + 1) - 1 = n$ , जो सचमुच वही विमा है जो मिली। दो बातें रखने योग्य हैं। पहली, यहाँ $\operatorname{im} u \oplus \ker u = \R_n[X]$ — पर यह इस संकारक का एक सुखद संयोग है, कोई प्रमेय नहीं: $\R_1[X]$ पर सरकाव जैसे $v(P) = P'$ के लिए $\ker v = \operatorname{im} v = \R_0[X]$ और योग प्रत्यक्ष नहीं है। दूसरी, संबंध $u(X^k) = kX^k$ कहता है कि हर एकपदी बस $u$ से मापित हो जाती है — अर्थात् प्रतिचित्रण के अनुकूल एक आधार, जो स्नातक वर्ष 2 के खंड में विकसित होने वाले अभिलक्षणिक-मान के विचार का बीज है।

20.3 प्रक्षेप और सममितियाँ

परिभाषा 20.14

मान लीजिए $E = F \oplus G$ । $G$ के अनुदिश $F$ पर प्रक्षेप $x = f + g$ (अद्वितीय विघटन) को $p(x) = f$ पर भेजता है; और उससे संबद्ध सममिति $s(x) = f - g$ है। दोनों रैखिक हैं, और $s = 2p - \mathrm{id}$ ।

प्रमेय 20.15 (बीजगणितीय अभिलक्षण)

कोई अंतःसमाकारिता $p$ प्रक्षेप है (किसी $G$ के अनुदिश किसी $F$ पर) तभी जब $p \circ p = p$ ; और तब $F = \operatorname{im} p = \ker(p - \mathrm{id})$ तथा $G = \ker p$ ।
कोई अंतःसमाकारिता $s$ सममिति है तभी जब $s \circ s = \mathrm{id}$ ; और तब $E = \ker(s - \mathrm{id}) \oplus \ker(s + \mathrm{id})$ ।

उपपत्ति. (1) कोई प्रक्षेप $p(f + g) = f$ और $p(f) = f$ संतुष्ट करता है: $p^2 = p$ । विलोमतः मान लीजिए $p^2 = p$ ; $F = \operatorname{im} p$ , $G = \ker p$ रखिए। हर $x$ $p(x) \in F$ और $p\bigl(x - p(x)\bigr) = p(x) - p^2(x) = 0$ के साथ $x = p(x) + (x - p(x))$ लिखा जाता है: $E = F + G$ । यदि $y \in F \cap G$ : तो $y = p(z)$ और $p(y) = 0$ , अतः $y = p(z) = p^2(z) = p(y) = 0$ : अर्थात् प्रत्यक्ष योग, और $p$ $G$ के अनुदिश $F$ पर प्रक्षेप है। अंत में $F$ पर: $y = p(z)$ $p(y) = y$ देता है, अतः $F \subseteq \ker(p - \mathrm{id})$ , और विलोमतः $p(y) = y$ $y$ को प्रतिबिंब में डाल देता है।

(2) संगति $s = 2p - \mathrm{id}$ , $p = \frac{s + \mathrm{id}}2$ अंतःसमाकारिताओं के बीच एकैकी आच्छादन है, और उसके अंतर्गत

s^2 = 4p^2 - 4p + \mathrm{id} = \mathrm{id} \iff 4p^2 = 4p \iff p^2 = p :

सममितियाँ ठीक प्रक्षेपों के अनुरूप हो जाती हैं। उपसमष्टियों का अनुवाद: $s(x) = x \iff p(x) = x$ , अतः $\ker(s - \mathrm{id}) = \operatorname{im} p = F$ ; और $s(x) = -x \iff 2p(x) = 0 \iff x \in \ker p = G$ , अतः $\ker(s + \mathrm{id}) = G$ । बिंदु (1) का प्रत्यक्ष योग $E = F \oplus G$ वही घोषित विघटन बन जाता है — $s$ के अचल सदिशों और उलटे सदिशों में। ∎

उदाहरण 20.16 (एक प्रक्षेप और उसकी सममिति, स्पष्ट रूप से)

$\R^2$ में $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ के अनुदिश $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ पर प्रक्षेप कीजिए। $(x, y) = a(1,1) + b(0,1)$ का विघटन कीजिए: पहला निर्देशांक $a = x$ देता है, दूसरा $b = y - x$ । अतः

p(x, y) = (x, x), \qquad s(x, y) = 2p(x,y) - (x,y) = (x,\ 2x - y).

बीजगणित जाँचिए: $p(p(x,y)) = p(x,x) = (x,x)$ , और $s(s(x,y)) = s(x, 2x - y) = (x, 2x - (2x - y)) = (x, y)$ । ज्यामितीय रूप से $s$ ऊर्ध्वाधर दिशा में रेखा $y = x$ के पार का “तिरछा परावर्तन” है: वह $F$ को बिंदुवार अचल रखता है और $G$ को उलट देता है। यदि हमने उसी $F$ पर $G' = \operatorname{Vect}(1,-1)$ के अनुदिश प्रक्षेप किया होता, तो सूत्र बदलकर $p'(x,y) = \bigl(\frac{x+y}2, \frac{x+y}2\bigr)$ हो जाता: कोई प्रक्षेप अपने प्रतिबिंब और अपनी अष्टि से तय होता है, अकेले प्रतिबिंब से कभी नहीं।

G = Vect(0,1) के अनुदिश F = Vect(1,1) पर प्रक्षेप और उसकी सममिति, बिंदु M = (2,\ 0.5) पर: ऊर्ध्वाधर सरकते हुए M F से p(M) = (2,2) पर मिलता है और s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5) पर उतरता है, जो F से उतना ही ऊपर है (और माप G के अनुदिश है) जितना M नीचे था। — $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ के अनुदिश $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ पर प्रक्षेप और उसकी सममिति, बिंदु $M = (2,\ 0.5)$ पर: ऊर्ध्वाधर सरकते हुए $M$ $F$ से $p(M) = (2,2)$ पर मिलता है और $s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5)$ पर उतरता है, जो $F$ से उतना ही ऊपर है (और माप $G$ के अनुदिश है) जितना $M$ नीचे था।

20.4 रैखिक रूप और अधिसमतल

परिभाषा 20.17

$E$ पर रैखिक रूप कोई रैखिक प्रतिचित्रण $\varphi \colon E \to K$ है। $E$ ( $\dim E = n$ ) का अधिसमतल $n - 1$ विमा वाली उपसमष्टि है।

उदाहरण 20.18 (एक मूल्यांकन रूप और उसका अधिसमतल)

$\R_2[X]$ पर मूल्यांकन $\varphi(P) = P(2)$ एक रैखिक रूप है, और अशून्य ( $\varphi(1) = 1$ )। उसकी अष्टि $2$ पर शून्य होने वाले बहुपदों का अधिसमतल है, अर्थात् (गुणनखंड प्रमेय, प्रमेय 8.7) $\R_2[X]$ के भीतर $X - 2$ के गुणज:

\ker\varphi = \operatorname{Vect}\bigl(X - 2,\ X(X - 2)\bigr), \qquad \dim = 2 .

$(1, X, X^2)$ पर निर्देशांकों में $\varphi(a + bX + cX^2) = a + 2b + 4c$ : परिमित-विमीय समष्टि पर हर रैखिक रूप, आधार नियत होते ही, निर्देशांकों में एक नियत रैखिक व्यंजक होता है — रूप “पंक्ति सदिश” हैं, जैसा अध्याय 21 अक्षरशः बना देगा, और यहाँ गुणांकों की पंक्ति $(1, 2, 4)$ एक वांडरमोंड पंक्ति है: मूल्यांकन रूप ही वे द्वार हैं जिनसे अध्याय 22 की सप्ताहांत समस्या का अंतर्वेशन-सिद्धांत रैखिक बीजगणित में प्रवेश करता है।

प्रमेय 20.19

$E$ के अधिसमतल ठीक अशून्य रैखिक रूपों की अष्टियाँ हैं। दो अशून्य रूपों की अष्टि एक ही होती है तभी जब वे अनुपाती हों।

उपपत्ति. यदि $\varphi \neq 0$ : तो $\operatorname{rk}\varphi = 1$ ( $K$ की कोई अशून्य उपसमष्टि प्रतिबिंब है), अतः $\dim\ker\varphi = n - 1$ : अर्थात् एक अधिसमतल। विलोमतः मान लीजिए $H$ कोई अधिसमतल है और $(e_1, \dots, e_{n-1})$ $H$ का ऐसा आधार जिसे $e_n$ से पूर्ण किया गया है: तब “अंतिम निर्देशांक” वाले रूप की अष्टि $H$ है।

अनुपाती रूपों की अष्टि एक ही होती है। विलोमतः मान लीजिए $\ker\varphi = \ker\psi = H$ और $a \notin H$ चुनिए: तब हर $x$ $x = h + \lambda a$ लिखा जाता है (क्योंकि $E = H \oplus Ka$ ), और

\varphi(x) = \lambda \varphi(a), \qquad \psi(x) = \lambda\psi(a):

अतः $\varphi = \frac{\varphi(a)}{\psi(a)}\,\psi$ । ∎

उदाहरण 20.20

$K^n$ में अधिसमतल कोई हल-समुच्चय $\{a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = 0\}$ है, जहाँ $a_i$ सब शून्य न हों — $\R^3$ में मूल बिंदु से होकर जाने वाले समतल का वही परिचित समीकरण। फलन समष्टियों में मूल्यांकन रूप $P \mapsto P(1)$ अथवा $f \mapsto \int_0^1 f$ $\R_n[X]$ के, $C(\intcc{0}{1})$ के अधिसमतल परिभाषित करते हैं (अभ्यास 19.6 देखिए)।

उदाहरण 20.21 (एक अधिसमतल, तीन तरीक़ों से)

$\R^3$ पर $\varphi(x, y, z) = x - 2y + 3z$ लीजिए और $H = \ker\varphi$ । आधार: $x = 2y - 3z$ हल कीजिए:

(2y - 3z,\ y,\ z) = y\,(2, 1, 0) + z\,(-3, 0, 1),

दो स्वतंत्र सदिश: $\dim H = 2$ , अर्थात् एक अधिसमतल, जैसा प्रमेय 20.19 $\varphi \neq 0$ से बता देता है। पूरक रेखा: $H$ के बाहर का कोई भी सदिश एक रेखा जनित करता है, जैसे $a = (1, 0, 0)$ ( $\varphi(a) = 1 \neq 0$ ); और किसी भी $v$ का विघटन स्पष्ट है:

v = \underbrace{\bigl(v - \varphi(v)\,a\bigr)}_{\in\,H} + \underbrace{\varphi(v)\,a}_{\in\,\operatorname{Vect}(a)},

क्योंकि $\varphi\bigl(v - \varphi(v)a\bigr) = \varphi(v) - \varphi(v)\varphi(a) = 0$ । अनुपातिता: यदि $\psi(x,y,z) = -2x + 4y - 6z$ , तो $\psi = -2\varphi$ और दोनों की अष्टि $H$ है; विलोमतः $H$ पर शून्य होने वाला कोई भी रूप $\varphi$ का गुणज है (अभ्यास 20.8) — अर्थात् अधिसमतल का समीकरण मापन तक अद्वितीय है, और यह तथ्य ज्यामिति में समतलों के लिए निरंतर काम आता है।

टिप्पणी 20.22 (सामान्य भूलें)

अष्टि और प्रतिबिंब अलग-अलग समष्टियों में रहते हैं: $\ker u \subseteq E$ , $\operatorname{im} u \subseteq F$ ; योग $\ker u + \operatorname{im} u$ का अर्थ केवल अंतःसमाकारिताओं के लिए बनता है, और तब भी उसका प्रत्यक्ष होना आवश्यक नहीं ( $u(x, y) = (y, 0)$ में $\ker u = \operatorname{im} u$ है; अभ्यास 20.7 बताता है कि प्रत्यक्षता कब होती है)। $u^2 = 0$ का अर्थ $u = 0$ नहीं है: वही $u(x,y) = (y, 0)$ शून्य हुए बिना वर्ग करने पर शून्य हो जाता है — $u^2 = 0$ वास्तव में यह कहता है कि $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$ (अभ्यास 20.5)। एकैकी $\iff$ आच्छादक के लिए बराबर परिमित विमाएँ चाहिए: $K[X]$ पर अवकलज आच्छादक है पर एकैकी नहीं, और $P \mapsto XP$ एकैकी है पर आच्छादक नहीं (उपप्रमेय 20.9); और भिन्न विमाओं वाली समष्टियों के बीच तो एक निहितार्थ बस असंभव ही है ( $\operatorname{rk} u \leq \min(\dim E, \dim F)$ )। प्रतिबिंब निर्धारित करना आधार पर चलता है, किसी भी कुल पर नहीं: $u(1, 0) = a$ , $u(0, 1) = b$ , $u(1, 1) = c$ की माँग $u$ को अति-निर्धारित कर देती है, जब तक $c = a + b$ न हो; रैखिक प्रतिचित्रण आधार पर स्वतंत्र है, और बाक़ी हर जगह बँधा हुआ। संयुक्त प्रतिचित्रण कोटि को सुरक्षित नहीं रखता: वह केवल गिर ही सकती है, $\operatorname{rk}(vu) \leq \min(\operatorname{rk} u, \operatorname{rk} v)$ (अभ्यास 20.4), और हानि का यथार्थ माप अभ्यास 20.12 में है।

टिप्पणी 20.23 (ये प्रतिचित्रण कहाँ जाते हैं)

रैखिक प्रतिचित्रण अब आव्यूह बनने वाले हैं: आधार नियत होते ही अध्याय 21 हर $u \in \mathcal{L}(E, F)$ को एक आयताकार सारणी से कूटबद्ध कर देता है, और संयुक्त प्रतिचित्रण आव्यूह-गुणनफल बन जाता है — फिर कोटि–शून्यता अध्याय 22 में रैखिक निकायों का सिद्धांत चलाती है। प्रक्षेप अध्याय 23 में अपनी सबसे उपयोगी विशेष स्थिति में लौटते हैं, अर्थात् लांबिक प्रक्षेप, जहाँ अष्टि को प्रतिबिंब के लंबवत चुना जाता है। नीचे की सप्ताहांत समस्या प्रक्षेपक-बीजगणित को वहाँ तक ले जाती है जहाँ तक प्रथम वर्ष के औज़ार पहुँचते हैं, अर्थात् फिटिंग की प्रमेयिका तक; और स्नातक वर्ष 2 का खंड अनुरेख तथा अभिलक्षणिक-मान सिद्धांत के साथ और आगे जाता है, जिसके लिए स्थायी उपसमष्टियों पर के प्रक्षेपक ही बुनियादी ईंटें हैं।

टिप्पणी 20.24 (पुस्तक 3 के भीतर के परिदृश्य: कोटि–शून्यता तीन बार और)

संरक्षण नियम $\dim E = \dim\ker u + \operatorname{rk} u$ इस खंड के समाप्त होने से पहले तीन बार फिर से पढ़ा जाएगा। अध्याय 22 में वह हल-समुच्चयों का आकार बन जाता है: $p$ अज्ञातों और कोटि $r$ वाले किसी संगत निकाय का हल-समुच्चय $p - r$ विमा का होता है — अर्थात् वेश बदली हुई अष्टि-विमा। अध्याय 23 में वह लांबिक रूप से विभाजित होता है, $\dim F + \dim F^\perp = \dim E$ , और हर दूरी-संगणना को शक्ति देता है। अध्याय 25 की सप्ताहांत समस्या में वह न्यूनतम वर्गों का मुनीम है: $n$ प्रेक्षण, $2$ आरोपित प्राचल, $n - 2$ अवशिष्ट विमाएँ, और पाइथागोरसीय सर्वसमिका $\norm b^2 = \norm p^2 + \norm{b - p}^2$ कोटि–शून्यता की यूक्लिडीय छाया है। एक प्रमेय, चार वेश।

20.5 अभ्यास

अभ्यास 20.1 ★

कौन-से प्रतिचित्रण रैखिक हैं?

$\R^2 \to \R^2$ , $(x, y) \mapsto (x + y, x - 2y)$ ;
$\R^2 \to \R$ , $(x, y) \mapsto xy$ ;
$\R[X] \to \R[X]$ , $P \mapsto P' + XP$ ;
$\mathcal{F}(\R,\R) \to \R$ , $f \mapsto f(3)$ .

हल

हल — अभ्यास 20.1.

(1) रैखिक: निर्देशांक रैखिक व्यंजक हैं। (2) रैखिक नहीं: $u(2(1,1)) = 4 \neq 2 = 2u(1,1)$ । (3) रैखिक: अवकलन और $X$ से गुणन रैखिक हैं, और रैखिक प्रतिचित्रणों के योग भी। (4) रैखिक: मूल्यांकन बिंदुवार संक्रियाओं का आदर करता है।

अभ्यास 20.2 ★

मान लीजिए $u \colon \R^3 \to \R^3$ , $(x,y,z) \mapsto (x + y - z,\; 2x + y + z,\; 3x + 2y)$ । $\ker u$ निर्धारित कीजिए (आधार, विमा), $\operatorname{rk} u$ , तथा $\operatorname{im} u$ का एक आधार। क्या $u$ एकैकी है? आच्छादक?

हल

हल — अभ्यास 20.2.

अष्टि: $x + y - z = 0$ , $2x + y + z = 0$ , $3x + 2y = 0$ हल कीजिए। तीसरे से $y = -\frac{3x}{2}$ ; पहला $z = x + y = -\frac x2$ देता है; दूसरे में जाँचिए: $2x - \frac{3x}{2} - \frac x2 = 0$ : संतुष्ट। अतः $\ker u = \operatorname{Vect}\bigl((2, -3, -1)\bigr)$ ( $x = 2$ लेकर), विमा $1$ ।

कोटि–शून्यता: $\operatorname{rk} u = 3 - 1 = 2$ । प्रतिबिंब: विहित आधार के प्रतिबिंबों $u(e_1) = (1,2,3)$ , $u(e_2) = (1,1,2)$ , $u(e_3) = (-1,1,0)$ से जनित; पहले दो स्वतंत्र हैं, और कोटि $2$ है: आधार $\bigl((1,2,3), (1,1,2)\bigr)$ ।

एकैकी नहीं ( $\ker \neq \{0\}$ ), आच्छादक नहीं (कोटि $2 < 3$ ): जो उपप्रमेय 20.9 के संगत है।

अभ्यास 20.3 ★

मान लीजिए $u \colon \R_n[X] \to \R_n[X]$ , $P \mapsto P - P'$ । सिद्ध कीजिए कि $u$ एक तुल्याकारिता है: एक बार $\ker u$ के द्वारा, और एक बार प्रतिलोम दिखाकर ( $P + P' + P'' + \dots$ पर विचार कीजिए)।

हल

हल — अभ्यास 20.3.

अष्टि: $P = P'$ $\deg P = \deg P'$ बाध्य कर देता है, जब तक $P = 0$ न हो; पर $P \neq 0$ के लिए $\deg P' < \deg P$ : अतः $\ker u = \{0\}$ , और $u$ , जो परिमित-विमीय $\R_n[X]$ की एकैकी अंतःसमाकारिता है, एक तुल्याकारिता है (उपप्रमेय 20.9)।

प्रतिलोम: मान लीजिए $v(P) = P + P' + P'' + \dots + P^{(n)}$ ( $\R_n[X]$ पर एक परिमित योग)। तब

v\bigl(u(P)\bigr) = \sum_{k=0}^{n} (P - P')^{(k)} = \sum_{k=0}^{n} P^{(k)} - \sum_{k=0}^{n} P^{(k+1)} = P - P^{(n+1)} = P ,

जो दूरबीनी हो जाता है, क्योंकि $P^{(n+1)} = 0$ । अतः $v = u^{-1}$ ।

अभ्यास 20.4 ★

मान लीजिए $u \in \mathcal{L}(E, F)$ और $v \in \mathcal{L}(F, G)$ , और समष्टियाँ परिमित-विमीय हैं। सिद्ध कीजिए:

\operatorname{rk}(v \circ u) \leq \min\bigl(\operatorname{rk} u,\ \operatorname{rk} v\bigr).

हल

हल — अभ्यास 20.4.

$\operatorname{im}(v \circ u) = v(\operatorname{im} u) \subseteq \operatorname{im} v$ : कोटि $\leq \operatorname{rk} v$ । और $\operatorname{im} u$ पर सीमित $v$ का प्रतिबिंब $\operatorname{im}(vu)$ है, तथा $\operatorname{im} u$ के भीतर कोटि–शून्यता से: $\operatorname{rk}(vu) \leq \dim\operatorname{im} u = \operatorname{rk} u$ ।

अभ्यास 20.5 ★★

मान लीजिए $u$ $E$ (परिमित-विमीय) की ऐसी अंतःसमाकारिता है कि $u^2 = 0$ । सिद्ध कीजिए कि $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$ , अतः $\operatorname{rk} u \leq \frac{\dim E}{2}$ । $E = \R^2$ के लिए समानता वाला एक उदाहरण दीजिए।

हल

हल — अभ्यास 20.5.

$u^2 = 0$ का अर्थ है कि सभी $x$ के लिए $u(u(x)) = 0$ : अर्थात् हर $u(x)$ $\ker u$ में है, यानी $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$ । तब कोटि–शून्यता:

\dim E = \dim\ker u + \operatorname{rk} u \geq 2\operatorname{rk} u .

$\R^2$ में समानता वाला उदाहरण: $u(x, y) = (y, 0)$ : $u^2 = 0$ , $\operatorname{rk} u = 1 = \frac{\dim E}{2}$ ।

अभ्यास 20.6 ★★

मान लीजिए $p, q$ $E$ के ऐसे प्रक्षेप हैं कि $p \circ q = q \circ p$ । सिद्ध कीजिए कि $p \circ q$ एक प्रक्षेप है, और

\operatorname{im}(pq) = \operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q , \qquad \ker (pq) = \ker p + \ker q .

हल

हल — अभ्यास 20.6.

$(pq)^2 = pqpq = ppqq = pq$ (क्रमविनिमय): अतः एक प्रक्षेप (प्रमेय 20.15)।

प्रतिबिंब: $\operatorname{im}(pq) \subseteq \operatorname{im} p$ , और $= \operatorname{im}(qp) \subseteq \operatorname{im} q$ : अतः वह सर्वनिष्ठ में समाया है। विलोमतः यदि $x \in \operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q$ , तो $p(x) = x$ और $q(x) = x$ (अचल बिंदु किसी प्रक्षेप के प्रतिबिंब का अभिलक्षण करते हैं), अतः $pq(x) = x$ : $x \in \operatorname{im}(pq)$ ।

अष्टि: $\ker p \subseteq \ker(qp) = \ker(pq)$ और इसी प्रकार $\ker q \subseteq \ker(pq)$ : अतः योग उसमें समाया है। विलोमतः $pq(x) = 0$ लीजिए, और लिखिए

x = \underbrace{q(x)}_{\in\, \ker p} + \underbrace{(x - q(x))}_{\in\, \ker q} :

पहला पद $p(q(x)) = 0$ संतुष्ट करता है, अतः वह $\ker p$ में है; और दूसरा $\ker q$ में है, क्योंकि $q(x - q(x)) = q(x) - q^2(x) = 0$ । इस प्रकार $x \in \ker p + \ker q$ ।

अभ्यास 20.7 ★★

मान लीजिए $u \in \mathcal{L}(E)$ , और $E$ परिमित-विमीय हैं। निम्नलिखित की तुल्यता सिद्ध कीजिए:

$E = \ker u \oplus \operatorname{im} u$ ;
$\ker u = \ker u^2$ ;
$\operatorname{im} u = \operatorname{im} u^2$ .

हल

हल — अभ्यास 20.7.

पहले व्यापक अंतर्विष्टताएँ $\ker u \subseteq \ker u^2$ और $\operatorname{im} u^2 \subseteq \operatorname{im} u$ देख लीजिए, और कोटि–शून्यता से (2) $\iff$ (3) (बराबर अष्टियाँ $\iff$ बराबर कोटियाँ $\iff$ बराबर प्रतिबिंब, क्योंकि अंतर्विष्टताएँ दी हुई हैं)।

(1 $\Rightarrow$ 2): मान लीजिए $u^2(x) = 0$ ; तब $u(x) \in \ker u \cap \operatorname{im} u = \{0\}$ , अतः $x \in \ker u$ ।

(2 $\Rightarrow$ 1): ग्रासमान और कोटि–शून्यता से $\dim(\ker u + \operatorname{im} u) = \dim\ker u + \operatorname{rk} u - \dim(\ker u \cap \operatorname{im} u) = \dim E - \dim(\ker u \cap \operatorname{im} u)$ : अतः योग $E$ है तभी जब सर्वनिष्ठ $\{0\}$ हो। मान लीजिए $y \in \ker u \cap \operatorname{im} u$ : $y = u(x)$ और $u(y) = 0$ , अतः $u^2(x) = 0$ , इसलिए ((2) से) $u(x) = 0$ : $y = 0$ । अतः $E = \ker u \oplus \operatorname{im} u$ ।

अभ्यास 20.8 ★★

मान लीजिए $\varphi, \psi$ $E$ पर ऐसे रैखिक रूप हैं कि $\ker\varphi \subseteq \ker\psi$ । सिद्ध कीजिए कि किसी $\lambda \in K$ के लिए $\psi = \lambda\varphi$ (अपभ्रष्ट स्थितियों समेत)।

हल

हल — अभ्यास 20.8.

यदि $\varphi = 0$ : तो $\ker\varphi = E \subseteq \ker\psi$ $\psi = 0 = 0\cdot\varphi$ बाध्य कर देता है। यदि $\varphi \neq 0$ : तो $\ker\varphi$ एक अधिसमतल है; $a \notin \ker\varphi$ चुनिए। $\lambda = \frac{\psi(a)}{\varphi(a)}$ रखिए। रूप $\psi - \lambda\varphi$ $\ker\varphi$ पर शून्य होता है (अंतर्विष्टता के कारण दोनों होते हैं) और $a$ पर भी: अतः वह $\ker\varphi \oplus Ka = E$ पर शून्य है। इसलिए $\psi = \lambda\varphi$ ।

अभ्यास 20.9 ★★★

मान लीजिए $\dim E = n$ के साथ $u \in \mathcal{L}(E)$ , और मान लीजिए $u^n = 0$ पर $u^{n-1} \neq 0$ (अर्थात् एक अधिकतम शून्यंभावी अंतःसमाकारिता)। $u^{n-1}(x) \neq 0$ वाला $x$ चुनिए; सिद्ध कीजिए कि $\bigl(x, u(x), \dots, u^{n-1}(x)\bigr)$ $E$ का आधार है। (किसी शून्य संयोजन पर $u$ की घातें लगाइए, $u^{n-1}$ से आरंभ करते हुए।)

हल

हल — अभ्यास 20.9.

मान लीजिए $\lambda_0 x + \lambda_1 u(x) + \dots + \lambda_{n-1} u^{n-1}(x) = 0$ । $u^{n-1}$ लगाइए: $u^{\geq n}$ गुणनखंड वाले सभी पद मर जाते हैं और $\lambda_0 u^{n-1}(x) = 0$ बचता है, अतः $\lambda_0 = 0$ । शेष संबंध पर $u^{n-2}$ लगाइए: $\lambda_1 u^{n-1}(x) = 0$ , अतः $\lambda_1 = 0$ ; और यही आगे भी। कुल स्वतंत्र है; और $n = \dim E$ आकार का होने के कारण वह आधार है (प्रतिज्ञप्ति 19.8)। (इस आधार में $u$ किसी सरकाव की तरह काम करता है — अधिकतम शून्यंभाविता का प्रतिमान।)

अभ्यास 20.10 ★★★

मान लीजिए $f \circ f = -\mathrm{id}$ के साथ $f \in \mathcal{L}(\R^n)$ ।

सिद्ध कीजिए कि $f$ एक तुल्याकारिता है और यह कि $\lambda \in \R$ के साथ कोई भी $x \neq 0$ $f(x) = \lambda x$ संतुष्ट नहीं करता।
सिद्ध कीजिए कि $n$ सम है। संकेत: $x_1 \neq 0$ चुनिए; दिखाइए कि $\operatorname{Vect}(x_1, f(x_1))$ $f$ के अंतर्गत स्थायी एक समतल है; उसके बाहर $x_2$ चुनिए और यही दोहराइए, यह सिद्ध करते हुए कि $\bigl(x_1, f(x_1), x_2, f(x_2), \dots\bigr)$ स्वतंत्र बना रहता है।

हल

हल — अभ्यास 20.10.

$f \circ f = -\mathrm{id}$ एकैकी आच्छादक है, अतः $f$ भी है (प्रतिज्ञप्ति 1.26 अनुकूलित: $f$ का दुतरफ़ा प्रतिलोम $-f$ है)। यदि $x \neq 0$ के साथ $f(x) = \lambda x$ : तो $f$ लगाने पर $-x = \lambda^2 x$ , अतः $\lambda^2 = -1$ : जो $\R$ में असंभव है।
कुल को एक-एक चरण में बढ़ाते हुए बनाइए। $x_1 \neq 0$ लीजिए: (1) से $(x_1, f(x_1))$ स्वतंत्र है। अब मान लीजिए वर्तमान कुल

$\bigl(x_1, f(x_1), \dots, x_k, f(x_k)\bigr)$

है और उसका $\operatorname{Vect}$ $V_k$ है — यह $f$ के अंतर्गत स्थायी उपसमष्टि है (हर जनक किसी अन्य जनक या उसके ऋण पर जाता है: $f(f(x_i)) = -x_i$ )। यदि $V_k$ पूरा $E$ न हो, तो $x_{k+1} \notin V_k$ चुनिए। दावा: बढ़ा हुआ कुल स्वतंत्र है। मान लीजिए $v \in V_k$ और $(\alpha, \beta) \neq (0,0)$ के साथ $\alpha x_{k+1} + \beta f(x_{k+1}) + v = 0$ । $f$ लगाइए: $f(v) \in V_k$ के साथ $\alpha f(x_{k+1}) - \beta x_{k+1} + f(v) = 0$ । दोनों संबंधों में से $f(x_{k+1})$ विलुप्त कीजिए (पहले को $\alpha$ से, दूसरे को $-\beta$ से गुणा कीजिए और जोड़िए):

$(\alpha^2 + \beta^2)\, x_{k+1} \in V_k ,$

और $\alpha^2 + \beta^2 \neq 0$ $x_{k+1} \in V_k$ बाध्य कर देता है: विरोधाभास। अतः रचना चलती रहती है, और एक बार में दो सदिश जोड़ती जाती है, जब तक $V_k = E$ : अंतिम कुल सम आकार का आधार है, और $n$ सम है।

अभ्यास 20.11 ★★

मान लीजिए $u, v \in \mathcal{L}(E, F)$ , और समष्टियाँ परिमित-विमीय हैं। दुतरफ़ा परिबंध सिद्ध कीजिए

\abs{\operatorname{rk} u - \operatorname{rk} v} \;\leq\; \operatorname{rk}(u + v) \;\leq\; \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v .

(ऊपरी परिबंध के लिए $\operatorname{im}(u+v)$ की $\operatorname{im} u + \operatorname{im} v$ से तुलना कीजिए; निचले के लिए ऊपरी परिबंध को चतुराई से लगाइए।)

हल

हल — अभ्यास 20.11.

ऊपरी परिबंध: हर $x$ के लिए $(u + v)(x) = u(x) + v(x) \in \operatorname{im} u + \operatorname{im} v$ , अतः

\operatorname{rk}(u + v) \leq \dim(\operatorname{im} u + \operatorname{im} v) \leq \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v

(ग्रासमान, प्रमेय 19.18)। निचला परिबंध: ऊपरी परिबंध को जोड़ी $(u + v, -v)$ पर लगाइए, जिसका योग $u$ है:

\operatorname{rk} u \leq \operatorname{rk}(u + v) + \operatorname{rk}(-v) = \operatorname{rk}(u + v) + \operatorname{rk} v,

अतः $\operatorname{rk} u - \operatorname{rk} v \leq \operatorname{rk}(u+v)$ ; और $u$ तथा $v$ की अदला-बदली करने पर निरपेक्ष मान मिल जाता है।

अभ्यास 20.12 ★★★

(फ्रोबेनियस की असमिका) मान लीजिए $u \in \mathcal{L}(E, F)$ , $w \in \mathcal{L}(F, G)$ और $v \in \mathcal{L}(G, H)$ , और सभी समष्टियाँ परिमित-विमीय हैं। यथार्थ सूत्र सिद्ध कीजिए

\operatorname{rk}(v \circ w) = \operatorname{rk} w - \dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im} w\bigr),

और फ्रोबेनियस की असमिका निकालिए

\operatorname{rk}(v \circ w) + \operatorname{rk}(w \circ u) \;\leq\; \operatorname{rk} w + \operatorname{rk}(v \circ w \circ u) .

जाँचिए कि $w = \mathrm{id}_F$ वाली स्थिति सिल्वेस्टर की असमिका है, जो अभ्यास 21.10 में आव्यूह-रूप में सिद्ध की गई है।

हल

हल — अभ्यास 20.12.

यथार्थ सूत्र। मान लीजिए $v'$ उपसमष्टि $\operatorname{im} w$ पर $v$ का सीमन है। उसका प्रतिबिंब $v(w(F)) = \operatorname{im}(v \circ w)$ है, और उसकी अष्टि $\ker v \cap \operatorname{im} w$ । समष्टि $\operatorname{im} w$ पर $v'$ के लिए कोटि–शून्यता:

\operatorname{rk} w = \dim\operatorname{im} w = \operatorname{rk}(v \circ w) + \dim(\ker v \cap \operatorname{im} w) .

फ्रोबेनियस। यथार्थ सूत्र दो बार लगाइए, $w$ पर और $w \circ u$ पर:

\operatorname{rk} w - \operatorname{rk}(vw) = \dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im} w\bigr), \qquad \operatorname{rk}(wu) - \operatorname{rk}(vwu) = \dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im}(wu)\bigr) .

चूँकि $\operatorname{im}(w \circ u) \subseteq \operatorname{im} w$ , अतः दूसरा सर्वनिष्ठ पहले में समाया है, और उसकी विमा उससे बड़ी नहीं:

\operatorname{rk}(wu) - \operatorname{rk}(vwu) \;\leq\; \operatorname{rk} w - \operatorname{rk}(vw) ,

जिसे पुनर्व्यवस्थित करने पर फ्रोबेनियस की असमिका मिल जाती है। $w = \mathrm{id}_F$ के साथ (कोटि $\dim F$ , और $\operatorname{im}\, \mathrm{id}_F = F$ ): $\operatorname{rk} v + \operatorname{rk} u \leq \dim F + \operatorname{rk}(vu)$ , अर्थात् सिल्वेस्टर की असमिका — जो अभ्यास 21.10 में आव्यूह-रूप में फिर से सिद्ध की गई है।

20.6 समस्या: प्रक्षेपक-कलन और फिटिंग की प्रमेयिका

समस्या 20.1

प्रक्षेप वही अंतःसमाकारिताएँ हैं जो प्रत्यक्ष योग पैदा करते हैं, और विलोमतः भी: हर सर्वसमिका $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ चुपके से प्रक्षेपकों का ऐसा कुल है जिनका योग तत्समक है। यह समस्या उसी शब्दकोश को विकसित करती है — एक प्रक्षेपक का बीजगणित, दो का, $k$ का — फिर वही स्थिरीकरण वाले विचार किसी भी अंतःसमाकारिता पर लगाकर फिटिंग की प्रमेयिका सिद्ध करती है: परिमित-विमीय समष्टि की हर अंतःसमाकारिता एक शून्यंभावी भाग और एक व्युत्क्रमणीय भाग में बँट जाती है। सर्वत्र $E$ विमा $n$ वाली $K$ -सदिश समष्टि है, और प्रक्षेपक का अर्थ है $p^2 = p$ वाला $p \in \mathcal{L}(E)$ (प्रमेय 20.15)।

भाग I — एक प्रक्षेपक के इर्द-गिर्द का बीजगणित। मान लीजिए $p$ एक प्रक्षेपक है, $p \neq 0$ , $p \neq \mathrm{id}$ ।

दिखाइए कि $\mathrm{id} - p$ एक प्रक्षेपक है और $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p)$ तथा $\ker(\mathrm{id} - p)$ पहचानिए।
$(\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p)^2$ संगणित कीजिए और वे सभी युग्म $(\lambda, \mu) \in K^2$ निर्धारित कीजिए जिनके लिए $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ एक प्रक्षेपक है।
दिखाइए कि $\mathcal{L}(E)$ का समतल $\operatorname{Vect}(\mathrm{id}, p)$ संयुक्त प्रतिचित्रण के अंतर्गत स्थायी है, और यह कि हर बहुपद $Q \in K[X]$ के लिए

$Q(p) = Q(0)\,\mathrm{id} + \bigl(Q(1) - Q(0)\bigr)\,p .$
निर्धारित कीजिए कि किन $(\lambda, \mu)$ के लिए प्रतिचित्रण $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ व्युत्क्रमणीय है, और उसका प्रतिलोम $\alpha\,\mathrm{id} + \beta\,p$ के रूप में दीजिए। उत्तर की व्याख्या $\operatorname{im} p$ पर और $\ker p$ पर $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ की क्रिया के द्वारा कीजिए।
मान लीजिए $p'$ उसी प्रतिबिंब $\operatorname{im} p' = \operatorname{im} p$ वाला दूसरा प्रक्षेपक है। दिखाइए कि $p\,p' = p'$ और $p'\,p = p$ । ये सर्वसमिकाएँ उसी उपसमष्टि पर भिन्न-भिन्न अष्टियों के अनुदिश किए गए प्रक्षेपों को संयुक्त करने के विषय में क्या कहती हैं?

भाग II — दो प्रक्षेपक। मान लीजिए $p, q$ $E$ के प्रक्षेपक हैं; और मान लीजिए अभिलक्षण $2$ नहीं है ( $K = \R, \C$ के लिए यह सत्य है)।

मान लीजिए $p + q$ एक प्रक्षेपक है। $(p + q)^2$ का प्रसार करके $pq + qp = 0$ दिखाइए; बाईं ओर से, फिर दाईं ओर से $p$ के साथ संयुक्त करके $pq = qp$ निकालिए, और $pq = qp = 0$ निष्कर्ष निकालिए।
विलोमतः मान लीजिए $pq = qp = 0$ । दिखाइए कि $p + q$ एक प्रक्षेपक है, और

$\operatorname{im}(p + q) = \operatorname{im} p \oplus \operatorname{im} q, \qquad \ker(p + q) = \ker p \cap \ker q .$
दिखाइए कि $p - q$ एक प्रक्षेपक है तभी जब $pq = qp = q$ । (प्रश्न 6–7 को $\mathrm{id} - p$ और $q$ पर लगाइए।)
$pq = qp = q$ का ज्यामितीय अर्थ दिखाइए: यह तभी सत्य है जब $\operatorname{im} q \subseteq \operatorname{im} p$ और $\ker p \subseteq \ker q$ । (तब $q \leq p$ लिखा जाता है: “ $q$ कम पर प्रक्षेप करता है, और अधिक के अनुदिश”।)
अब मान लीजिए $p, q$ क्रमविनिमेय हैं। अभ्यास 20.6 से स्मरण कीजिए कि $pq$ $\ker p + \ker q$ के अनुदिश $\operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q$ पर प्रक्षेपक है। दिखाइए कि $r = p + q - pq$ एक प्रक्षेपक है, और

$\operatorname{im} r = \operatorname{im} p + \operatorname{im} q, \qquad \ker r = \ker p \cap \ker q .$

( $\mathrm{id} - r = (\mathrm{id} - p)(\mathrm{id} - q)$ पर विचार कीजिए।)

भाग III — तत्समक के विघटन।

मान लीजिए $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ , और $x = x_1 + \dots + x_k$ के लिए (अद्वितीय विघटन, $x_i \in F_i$ ) $p_i(x) = x_i$ रखिए। दिखाइए कि प्रत्येक $p_i$ एक प्रक्षेपक है, कि $i \neq j$ के लिए $p_i p_j = 0$ , और यह कि $p_1 + \dots + p_k = \mathrm{id}$ ; $\operatorname{im} p_i$ तथा $\ker p_i$ पहचानिए।
विलोमतः मान लीजिए $p_1, \dots, p_k \in \mathcal{L}(E)$ $p_1 + \dots + p_k = \mathrm{id}$ संतुष्ट करते हैं और सभी $i \neq j$ के लिए $p_i p_j = 0$ । दिखाइए कि प्रत्येक $p_i$ एक प्रक्षेपक है और यह कि $E = \operatorname{im} p_1 \oplus \dots \oplus \operatorname{im} p_k$ ।
$p + q = \mathrm{id}$ वाले दो प्रक्षेपक: दिखाइए कि $pq = qp = 0$ स्वतः लागू हो जाता है।
$p + q + r = \mathrm{id}$ वाले तीन प्रक्षेपक: दिखाइए कि $p + q$ एक प्रक्षेपक है, और प्रश्न 6 से निष्कर्ष निकालिए कि सभी युग्मशः गुणनफल शून्य हो जाते हैं — अतः $E = \operatorname{im} p \oplus \operatorname{im} q \oplus \operatorname{im} r$ , और वह भी गुणनफलों पर बिना किसी परिकल्पना के।
$p_1 + \dots + p_k = \mathrm{id}$ वाले $k$ प्रक्षेपकों के लिए: पहले दिखाइए कि किन्हीं भी उपसमष्टियों के लिए $\dim (F_1 + \dots + F_k) \leq \dim F_1 + \dots + \dim F_k$ , और समानता तभी होती है जब योग प्रत्यक्ष हो; फिर $E = \operatorname{im} p_1 + \dots + \operatorname{im} p_k$ दिखाइए, और सिद्ध कीजिए कि यदि इसके अतिरिक्त $\sum_i \operatorname{rk} p_i \leq n$ , तो योग प्रत्यक्ष है और $i \neq j$ के लिए $p_i p_j = 0$ ।

भाग IV — पुनरावृत्त अष्टियाँ: फिटिंग की प्रमेयिका। मान लीजिए $u \in \mathcal{L}(E)$ , $\dim E = n$ ।

हर $k \geq 0$ के लिए मान्य दोनों शृंखलाएँ दिखाइए:

$\ker u^k \subseteq \ker u^{k+1}, \qquad \operatorname{im} u^{k+1} \subseteq \operatorname{im} u^k .$
दिखाइए कि यदि किसी $r$ के लिए $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ , तो सभी $k \geq r$ के लिए $\ker u^{k} = \ker u^{r}$ ; और प्रतिबिंबों के लिए तदनुरूप स्थिरीकरण कहिए तथा सिद्ध कीजिए।
इससे निष्कर्ष निकालिए कि $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ वाला कोई सबसे छोटा पूर्णांक $r$ है, कि $r \leq n$ , और यह कि प्रतिबिंब भी उसी $r$ पर स्थिर हो जाते हैं।
(फिटिंग की प्रमेयिका) सिद्ध कीजिए कि

$E \;=\; \ker u^{r} \,\oplus\, \operatorname{im} u^{r} .$
दिखाइए कि दोनों उपसमष्टियाँ $u$ के अंतर्गत स्थायी हैं, कि $\ker u^{r}$ पर $u$ का सीमन शून्यंभावी है, और यह कि $\operatorname{im} u^{r}$ पर $u$ का सीमन $\operatorname{im} u^{r}$ की तुल्याकारिता है: अर्थात् हर अंतःसमाकारिता किसी विहित प्रत्यक्ष योग पर “शून्यंभावी जमा व्युत्क्रमणीय” होती है।
मान लीजिए $\pi$ $\operatorname{im} u^{r}$ के अनुदिश $\ker u^{r}$ पर प्रक्षेपक है। दिखाइए कि $\pi \circ u = u \circ \pi$ ।

भाग V — एक हल किया हुआ उदाहरण, और संश्लेषण।

$\R^3$ पर मान लीजिए $u(x, y, z) = (y, 0, z)$ । $u^2$ और $u^3$ संगणित कीजिए, स्थिरीकरण सूचकांक $r$ , उपसमष्टियाँ $\ker u^{r}$ तथा $\operatorname{im} u^{r}$ , और फिटिंग प्रक्षेपक $\pi$ निर्धारित कीजिए, तथा सूत्रों पर सत्यापित कीजिए कि $\pi u = u\pi$ और यह कि $u$ एक गुणनखंड पर शून्यंभावी है और दूसरे पर एकैकी आच्छादक।
तुल्यताएँ दिखाइए: $u$ शून्यंभावी $\iff$ $\ker u^{r} = E$ $\iff$ $\pi = \mathrm{id}$ ; और इससे निष्कर्ष निकालिए कि $n$ -विमीय समष्टि की कोई भी शून्यंभावी अंतःसमाकारिता सदा $u^{n} = 0$ संतुष्ट करती है (शून्यंभाविता सूचकांक विमा से कभी अधिक नहीं होता)।
(अद्वितीयता) मान लीजिए $E = A \oplus B$ , जहाँ $A, B$ $u$ के अंतर्गत स्थायी हैं, सीमन $u|_A$ शून्यंभावी है और $u|_B$ एकैकी आच्छादक। सिद्ध कीजिए $A = \ker u^{r}$ और $B = \operatorname{im} u^{r}$ : अर्थात् फिटिंग विघटन अद्वितीय है।
संश्लेषण, चार वाक्यों में: भाग III प्रत्यक्ष योगों और प्रक्षेपकों के कुलों के बीच कौन-सा शब्दकोश स्थापित करता है; प्रश्न 14 को गुणनफलों पर कोई परिकल्पना क्यों नहीं चाहिए थी जबकि प्रश्न 15 को कोटि की परिकल्पना चाहिए थी (और स्नातक वर्ष 2 का कौन-सा औज़ार, अर्थात् अनुरेख, उसे हटा देता है); फिटिंग की प्रमेयिका किस अर्थ में अभ्यास 20.7 का स्थिरीकृत रूप है; और स्नातक वर्ष 2 के खंड के अभिलक्षणिक-मान सिद्धांत में फिटिंग के दोनों गुणनखंड क्या बन जाते हैं। भाग IV में सिद्ध प्रमेय का नाम बताइए।

हल

हल — समस्या 20.1.

1. $(\mathrm{id} - p)^2 = \mathrm{id} - 2p + p^2 = \mathrm{id} - p$ : अतः एक प्रक्षेपक। यदि $y = x - p(x)$ , तो $p(y) = p(x) - p^2(x) = 0$ , और विलोमतः $x \in \ker p$ $x = (\mathrm{id} - p)(x)$ देता है: $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) = \ker p$ । और $(\mathrm{id} - p)(x) = 0 \iff p(x) = x \iff x \in \operatorname{im} p$ (अचल बिंदु, प्रमेय 20.15): $\ker(\mathrm{id} - p) = \operatorname{im} p$ ।

2. $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)^2 = \lambda^2\,\mathrm{id} + (2\lambda\mu + \mu^2)\,p$ । जोड़ी $(\mathrm{id}, p)$ $\mathcal{L}(E)$ में स्वतंत्र है: $p = c\, \mathrm{id}$ $c^2 = c$ देता, अतः $p = 0$ या $\mathrm{id}$ , जो निषिद्ध हैं। गुणांकों की पहचान करने पर प्रतिचित्रण प्रक्षेपक है तभी जब $\lambda^2 = \lambda$ और $2\lambda\mu + \mu^2 = \mu$ । $\lambda = 0$ के लिए: $\mu \in \{0, 1\}$ । $\lambda = 1$ के लिए: $\mu^2 + \mu = 0$ , $\mu \in \{0, -1\}$ । अतः समतल में ठीक चार प्रक्षेपक: $0$ , $p$ , $\mathrm{id}$ , $\mathrm{id} - p$ ।

3. $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)(\lambda'\,\mathrm{id} + \mu' p) = \lambda\lambda'\,\mathrm{id} + (\lambda\mu' + \mu\lambda' + \mu\mu')\,p$ : अतः समतल संयुक्त प्रतिचित्रण के अंतर्गत स्थायी है। चूँकि हर $k \geq 1$ के लिए $p^k = p$ , अतः $Q = \sum_k a_k X^k$ के लिए:

Q(p) = a_0\,\mathrm{id} + \Bigl(\sum_{k \geq 1} a_k\Bigr) p = Q(0)\,\mathrm{id} + \bigl(Q(1) - Q(0)\bigr)\,p .

4. $\operatorname{im} p$ पर (जहाँ $p$ तत्समक की तरह काम करता है) $\lambda\,\mathrm{id} + \mu p$ $\lambda + \mu$ से गुणा करता है; और $\ker p$ पर $\lambda$ से। चूँकि $E = \operatorname{im} p \oplus \ker p$ , अतः प्रतिचित्रण एकैकी आच्छादक है तभी जब $\lambda \neq 0$ और $\lambda + \mu \neq 0$ । प्रश्न 3 के संयोजन-नियम में $\lambda\alpha = 1$ , $\lambda\beta + \mu\alpha + \mu\beta = 0$ हल करने पर:

(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)^{-1} = \frac1\lambda\,\mathrm{id} - \frac{\mu}{\lambda(\lambda + \mu)}\,p ,

जिसकी क्रिया $\ker p$ पर $1/\lambda$ से और $\operatorname{im} p$ पर $1/(\lambda + \mu)$ से है, जैसा होना ही चाहिए।

5. $F = \operatorname{im} p = \operatorname{im} p'$ लिखिए। हर $x$ के लिए $p'(x) \in F$ , और $p$ $F$ को बिंदुवार अचल रखता है: $p(p'(x)) = p'(x)$ , अर्थात् $p\,p' = p'$ ; सममित रूप से $p'\,p = p$ । जब दो प्रक्षेपों का प्रतिबिंब एक ही हो, तो निर्णय वही करता है जो पहले लगाया जाए: उसका निर्गम पहले ही $F$ में होता है, जहाँ बाहरी प्रक्षेप तत्समक की तरह काम करता है और कुछ नहीं बदलता।

6. $(p + q)^2 = p^2 + pq + qp + q^2 = (p + q) + pq + qp$ , अतः $p + q$ के प्रक्षेपक होने से $pq + qp = 0$ बाध्य हो जाता है। बाईं ओर से $p$ के साथ संयुक्त कीजिए: $pq + pqp = 0$ ; दाईं ओर से $p$ के साथ: $pqp + qp = 0$ । घटाने पर $pq = qp$ ; फिर $pq + qp = 2pq = 0$ , और अभिलक्षण $2$ नहीं है: अतः $pq = qp = 0$ ।

7. $pq = qp = 0$ के साथ वही प्रसार $(p + q)^2 = p + q$ देता है। प्रतिबिंब: $\operatorname{im}(p + q) \subseteq \operatorname{im} p + \operatorname{im} q$ सदा। विलोमतः $x \in \operatorname{im} p$ के लिए: $q(x) = q(p(x)) = 0$ , अतः $(p + q)(x) = p(x) = x$ और $x \in \operatorname{im}(p+q)$ ; $\operatorname{im} q$ के लिए भी वही। प्रत्यक्षता: $x \in \operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q$ $x = p(x) = p(q(x)) = 0$ देता है। अष्टि: यदि $p(x) + q(x) = 0$ , तो $p$ लगाने पर $p(x) + p(q(x)) = p(x) = 0$ मिलता है, और $q$ लगाने पर $q(x) = 0$ : अतः $\ker(p + q) = \ker p \cap \ker q$ (उलटी अंतर्विष्टता स्पष्ट है)।

8. $p - q$ प्रक्षेपक है तभी जब $\mathrm{id} - (p - q) = (\mathrm{id} - p) + q$ प्रक्षेपक हो (प्रश्न 1 दो बार)। प्रक्षेपकों $\mathrm{id} - p$ और $q$ पर प्रश्न 6–7 लगाने से यह तभी सत्य है जब $(\mathrm{id} - p)q = q(\mathrm{id} - p) = 0$ , अर्थात् तभी जब $pq = q$ और $qp = q$ ।

9. $pq = q$ का अर्थ है कि $p$ हर $q(x)$ को अचल रखता है, अर्थात् $\operatorname{im} q \subseteq \ker(p - \mathrm{id}) = \operatorname{im} p$ । और $qp = q$ का अर्थ है कि सभी $x$ के लिए $q\bigl((\mathrm{id} - p)(x)\bigr) = 0$ , अर्थात् $q$ $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) = \ker p$ पर शून्य होता है: $\ker p \subseteq \ker q$ । दोनों चरण तुल्यताएँ हैं: क्रम $q \leq p$ कहता है कि $q$ छोटे प्रतिबिंब पर, और बड़ी अष्टि के अनुदिश प्रक्षेप करता है।

10. प्रसार करने पर $(\mathrm{id} - p)(\mathrm{id} - q) = \mathrm{id} - p - q + pq = \mathrm{id} - r$ । प्रक्षेपक $\mathrm{id} - p$ और $\mathrm{id} - q$ क्रमविनिमेय हैं, अतः अभ्यास 20.6 से उनका गुणनफल $\mathrm{id} - r$ $\ker(\mathrm{id} - p) + \ker(\mathrm{id} - q) = \operatorname{im} p + \operatorname{im} q$ के अनुदिश $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) \cap \operatorname{im}(\mathrm{id} - q) = \ker p \cap \ker q$ पर प्रक्षेपक है। प्रश्न 1 से $r = \mathrm{id} - (\mathrm{id} - r)$ तब वह प्रक्षेपक है जिसका $\operatorname{im} r = \operatorname{im} p + \operatorname{im} q$ और $\ker r = \ker p \cap \ker q$ ।

11. $p_i$ सुपरिभाषित है (विघटन की अद्वितीयता) और रैखिक भी ( $x + \lambda y$ का विघटन विघटनों का योग ही है, फिर से अद्वितीयता से)। $x_i \in F_i$ के लिए विघटन स्वयं $x_i$ है, अतः $p_i(x_i) = x_i$ : $p_i^2 = p_i$ , और $j \neq i$ के लिए $p_j(x_i) = 0$ : $p_i p_j = 0$ ( $p_j(x) \in F_j$ )। घटकों को जोड़ने पर $\sum_i p_i = \mathrm{id}$ । अंत में $\operatorname{im} p_i = F_i$ और $\ker p_i = \bigoplus_{j \neq i} F_j$ ।

12. $p_i = p_i \circ \mathrm{id} = p_i\sum_j p_j = p_i^2 + \sum_{j \neq i} p_i p_j = p_i^2$ : अतः प्रत्येक $p_i$ एक प्रक्षेपक है। हर $x = \mathrm{id}(x) = \sum_i p_i(x)$ $\sum_i \operatorname{im} p_i$ में है: अतः प्रतिबिंबों का योग $E$ है। प्रत्यक्षता: मान लीजिए $y_i \in \operatorname{im} p_i$ के साथ $y_1 + \dots + y_k = 0$ , अतः $p_i(y_i) = y_i$ । $p_j$ लगाइए: $i \neq j$ के लिए $p_j (y_i) = p_j p_i (y_i) = 0$ , अतः $0 = p_j\bigl(\sum y_i\bigr) = y_j$ , और यह हर $j$ के लिए। इस प्रकार $E = \bigoplus_i \operatorname{im} p_i$ ।

13. $q = \mathrm{id} - p$ , और प्रश्न 1 सीधे $pq = p - p^2 = 0 = qp$ दे देता है: दो प्रक्षेपकों के लिए तत्समक तक जुड़ जाना ही जोड़ी की लांबिकता बाध्य कर देता है।

14. $r$ के प्रक्षेपक होने के साथ $p + q = \mathrm{id} - r$ , और $(\mathrm{id} - r)$ भी प्रक्षेपक है (प्रश्न 1): अतः $p + q$ एक प्रक्षेपक है, और प्रश्न 6 $pq = qp = 0$ देता है। सममिति से ( $q + r = \mathrm{id} - p$ और $p + r = \mathrm{id} - q$ ) सभी युग्मशः गुणनफल शून्य हो जाते हैं, और प्रश्न 12 निष्कर्ष दे देता है: $E = \operatorname{im} p \oplus \operatorname{im} q \oplus \operatorname{im} r$ , स्वतः।

15. प्रमेयिका। ग्रासमान के साथ आगमन से (प्रमेय 19.18):

\dim(F_1 + \dots + F_k) \leq \dim(F_1 + \dots + F_{k-1}) + \dim F_k \leq \dots \leq \sum_i \dim F_i .

यदि कुल योग समानता है, तो हर चरण समानता है: हर $j$ के लिए $(F_1 + \dots + F_{j-1}) \cap F_j = \{0\}$ , और कोई संबंध $y_1 + \dots + y_k = 0$ ( $y_i \in F_i$ ) दाईं ओर से ढह जाता है: $y_k \in (F_1 + \dots + F_{k-1}) \cap F_k = \{0\}$ , फिर $y_{k-1} = 0$ , इत्यादि: अतः योग प्रत्यक्ष है। विलोमतः प्रत्यक्ष योग की विमाएँ जुड़ती हैं (आधारों को एक साथ लिख दीजिए)। अनुप्रयोग: $x = \sum_i p_i(x)$ दिखाता है कि $E = \sum_i \operatorname{im} p_i$ , अतः $n \leq \sum_i \operatorname{rk} p_i$ ; परिकल्पना समानता देती है, इसलिए प्रत्यक्षता। गुणनफल: $j$ और $y \in \operatorname{im} p_j$ नियत कीजिए। तब $p_i(y) \in \operatorname{im} p_i$ के साथ $y = \sum_i p_i(y)$ , जबकि $y = y$ भी एक विघटन है (केवल घटक $j$ ); अद्वितीयता $i \neq j$ के लिए $p_i(y) = 0$ बाध्य कर देती है। $y = p_j(x)$ पर लगाने से: $p_i p_j = 0$ ।

16. यदि $u^k(x) = 0$ , तो $u^{k+1}(x) = u(0) = 0$ । और $\operatorname{im} u^{k+1} = u^k\bigl(u(E)\bigr) \subseteq u^k(E) = \operatorname{im} u^k$ ।

17. मान लीजिए $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ और $x \in \ker u^{r+2}$ लीजिए: तब $u(x) \in \ker u^{r+1} = \ker u^{r}$ , अतः $u^{r+1}(x) = 0$ : $x \in \ker u^{r+1}$ । प्रश्न 16 के साथ $\ker u^{r+1} = \ker u^{r+2}$ , और आगमन से आगे की सभी अष्टियाँ $\ker u^{r}$ के साथ एक ही हो जाती हैं। प्रतिबिंबों के लिए: कोटि–शून्यता $\dim\operatorname{im} u^k = n - \dim\ker u^k$ देती है, अतः प्रतिबिंब की विमाएँ ठीक तभी जम जाती हैं जब अष्टि की विमाएँ जमती हैं, और प्रश्न 16 की अंतर्विष्टताओं के साथ बराबर विमाओं का अर्थ बराबर उपसमष्टियाँ है (प्रमेय 19.14)।

18. अनुक्रम $\bigl(\dim\ker u^k\bigr)_k$ अह्रासमान है और उसके मान $\intint{0}{n}$ में हैं; वह $n + 1$ बार सचमुच नहीं बढ़ सकता, अतः $r \leq n$ वाला कोई $\dim\ker u^{r} = \dim\ker u^{r+1}$ है, इसलिए $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ (अंतर्विष्टता और बराबर विमा)। सबसे छोटा $r$ लीजिए; प्रश्न 17 $r$ से आगे सब कुछ जमा देता है, प्रतिबिंब भी।

19. सर्वनिष्ठ: मान लीजिए $x \in \ker u^{r} \cap \operatorname{im} u^{r}$ , यानी $u^{r}(x) = 0$ के साथ $x = u^{r}(y)$ । तब $u^{2r}(y) = 0$ , और $\ker u^{2r} = \ker u^{r}$ (प्रश्न 17), अतः $x = u^{r}(y) = 0$ । विमाएँ: $u^{r}$ के लिए कोटि–शून्यता $\dim\ker u^{r} + \dim\operatorname{im} u^{r} = n$ देती है; और तुच्छ सर्वनिष्ठ के साथ ग्रासमान योग को $n$ विमा वाली उपसमष्टि बना देता है: $E = \ker u^{r} \oplus \operatorname{im} u^{r}$ ।

20. स्थायित्व: $x \in \ker u^{r}$ के लिए $u^{r}(u(x)) = u(u^{r}(x)) = 0$ ; और $u(u^{r}(y)) = u^{r}(u(y)) \in \operatorname{im} u^{r}$ । $N = \ker u^{r}$ पर: $N$ की परिभाषा से $(u|_N)^{r} = 0$ : अतः शून्यंभावी। $I = \operatorname{im} u^{r}$ पर: $\ker(u|_I) = \ker u \cap I \subseteq \ker u^{r} \cap I = \{0\}$ , अतः $u|_I$ परिमित-विमीय $I$ की एकैकी अंतःसमाकारिता है, इसलिए एकैकी आच्छादक (उपप्रमेय 20.9)।

21. मान लीजिए $a \in N$ , $b \in I$ के साथ $x = a + b$ । तब $u(a) \in N$ और $u(b) \in I$ के साथ $u(x) = u(a) + u(b)$ (प्रश्न 20): यही $u(x)$ का विघटन है, अतः $\pi(u(x)) = u(a) = u(\pi(x))$ : $\pi u = u\pi$ ।

22. $u^2(x,y,z) = u(y, 0, z) = (0, 0, z)$ और $u^3(x,y,z) = u(0,0,z) = (0,0,z) = u^2(x,y,z)$ । अष्टियाँ: $\ker u = \{y = z = 0\} = \operatorname{Vect}(e_1)$ , $\ker u^2 = \{z = 0\} = \operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ , $\ker u^3 = \ker u^2$ : अतः $r = 2$ पर स्थिरीकरण। प्रतिबिंब: $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(e_1, e_3)$ , $\operatorname{im} u^2 = \operatorname{Vect}(e_3)$ । फिटिंग: $\R^3 = \operatorname{Vect}(e_1, e_2) \oplus \operatorname{Vect}(e_3)$ , और $\pi(x, y, z) = (x, y, 0)$ । जाँच: $\pi u(x,y,z) = \pi(y, 0, z) = (y, 0, 0)$ और $u\pi(x,y,z) = u(x, y, 0) = (y, 0, 0)$ : बराबर। पहले गुणनखंड पर $u(x, y, 0) = (y, 0, 0)$ , जिसका वर्ग $0$ है: अतः शून्यंभावी; और दूसरे पर $u(0,0,z) = (0,0,z)$ : अर्थात् तत्समक, जो एकैकी आच्छादक है।

23. यदि $u^m = 0$ , तो $\ker u^m = E$ ; और चूँकि अष्टियाँ $r$ से आगे जमी हुई हैं, अतः $\ker u^{r} = \ker u^{\max(m, r)} = E$ । विलोमतः $\ker u^{r} = E$ का अर्थ $u^{r} = 0$ है। और $\ker u^{r} = E \iff$ फिटिंग प्रक्षेपक $\{0\}$ के अनुदिश $E$ पर है, अर्थात् $\pi = \mathrm{id}$ । अंत में $r \leq n$ (प्रश्न 18) देता है: हर शून्यंभावी अंतःसमाकारिता $u^{n} = 0$ संतुष्ट करती है — शून्यंभाविता सूचकांक विमा से कभी अधिक नहीं होता।

24. मान लीजिए $m$ $u|_A$ का कोई शून्यंभाविता सूचकांक है: $A \subseteq \ker u^{m} \subseteq \ker u^{\max(m,r)} = \ker u^{r}$ । चूँकि $u|_B$ एकैकी आच्छादक है, अतः हर $k$ के लिए $B = u(B) = u^{k}(B) \subseteq \operatorname{im} u^{k}$ , विशेष रूप से $B \subseteq \operatorname{im} u^{r}$ । तब

n = \dim A + \dim B \leq \dim\ker u^{r} + \dim\operatorname{im} u^{r} = n :

दोनों अंतर्विष्टताएँ विमाओं की समानताएँ हैं, अतः उपसमष्टियों की भी: $A = \ker u^{r}$ , $B = \operatorname{im} u^{r}$ ।

25. (क) भाग III एक शब्दकोश है: विभाजन $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ ठीक उन प्रक्षेपक-कुलों के अनुरूप हैं जिनके लिए $\sum p_i = \mathrm{id}$ और $p_i p_j = 0$ , और $F_i$ उनके प्रतिबिंब हैं। (ख) $k = 3$ के लिए पूरक $\mathrm{id} - p_i$ स्वयं प्रक्षेपक हैं, जिससे तर्क बिना किसी अतिरिक्त परिकल्पना के बंद हो गया; व्यापक $k$ के लिए $\sum_i \operatorname{rk} p_i \leq n$ चाहिए, और यह असमिका स्नातक वर्ष 2 का अनुरेख मुफ़्त में दे देता है (प्रक्षेपक के लिए $\operatorname{tr} p = \operatorname{rk} p$ , और अनुरेख जुड़कर $\operatorname{tr} \mathrm{id} = n$ देते हैं)। (ग) अभ्यास 20.7 फिटिंग की प्रमेयिका ही है, बस पहले से स्थिर हो चुकी स्थिति $r \leq 1$ में; व्यापक रूप में अष्टि और प्रतिबिंब की शृंखलाओं को जमने दिया जाता है, जिसमें अधिक से अधिक $n$ चरण लगते हैं। (घ) स्नातक वर्ष 2 के खंड में $u - \lambda\, \mathrm{id}$ पर लगाने से शून्यंभावी गुणनखंड $\lambda$ पर की व्यापकीकृत अभिलक्षणिक उपसमष्टि बन जाता है, और भाग III के प्रक्षेपक लघुकरण-सिद्धांत के वर्णक्रमीय प्रक्षेपक। भाग IV की प्रमेय फिटिंग की प्रमेयिका है।