किसी कुल की कोटि क्या है? — गणित

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परिभाषा 19.15 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · অধ্যায় 19 — परिमित विमा

सदिशों के किसी परिमित कुल की कोटि उसकी जनित समष्टि की विमा है: $\operatorname{rk}(x_1, \dots, x_p) = \dim \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p) \leq \min(p, \dim E)$ , और $p$ के साथ समानता तभी होती है जब कुल स्वतंत्र हो।

উদাহরণ

उदाहरण 19.16 (विलोपन से कोटि की संगणना)

$\R^3$ में $\bigl((1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (1,1,1)\bigr)$ की कोटि। किसी सदिश में से शेष का संयोजन घटाने पर जनित समष्टि नहीं बदलती (दोनों कुल एक ही संयोजन जनित करते हैं): $(2,3,4)$ के स्थान पर $(2,3,4) - (1,2,3) = (1,1,1)$ और $(3,4,5)$ के स्थान पर $(3,4,5) - (1,2,3) = (2,2,2)$ रखिए। अब जनित समष्टि $\operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1), (2,2,2), (1,1,1)\bigr) = \operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1)\bigr)$ है, और ये दोनों सदिश अनुपाती नहीं हैं: अतः कोटि $2$ है। घटाओ-और-हटाओ वाली यह प्रक्रिया अध्याय 22 में गाउसीय विलोपन के रूप में व्यवस्थित की गई है।

उदाहरण 19.17 (जनकों को एक साथ लिखकर योग)

$\R^3$ में लीजिए

F = \operatorname{Vect}\bigl((1,2,3),\ (1,1,1)\bigr), \qquad G = \operatorname{Vect}\bigl((2,3,4)\bigr) .

योग $F + G$ तीनों जनकों को एक साथ लिखने से बने कुल द्वारा जनित है, और

(2, 3, 4) = (1, 2, 3) + (1, 1, 1)

यह दिखाता है कि तीसरा अनावश्यक है: $F + G = F$ , जिसकी विमा $2$ है — तुल्य रूप से $G \subseteq F$ , जिसे यह संबंध दिखा देता है। ग्रासमान पुष्टि करता है: $\dim(F \cap G) = 2 + 1 - 2 = 1 = \dim G$ । योग जनकों को एक साथ लिखकर और फिर उस ढेर को कोटि-कलनविधि से घटाकर संगणित किए जाते हैं; कोई नई तकनीक कभी नहीं चाहिए।

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উদাহরণ

সম্পর্কিত পরিভাষা-শব্দ