विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · Bachelor Year 1

9परिमेय भिन्नें

परिमेय भिन्न बहुपदों का भागफल है। इस छोटे अध्याय की केंद्रीय प्रमेय — आंशिक भिन्न वियोजन — ऐसे किसी भी भागफल को प्रारंभिक ईंटों $\frac{c}{(X - a)^k}$ के योग में तोड़ देती है। अपने बीजीय आकर्षण से आगे, वह परिमेय फलनों के समाकलन (अध्याय 15) और कुछ श्रेणियों के योग (अध्याय 17) की मानक मशीन है।

9.1 क्षेत्र $K(X)$

परिभाषा 9.1

$K$ ( $= \R$ या $\C$ ) पर परिमेय भिन्न एक भागफल $F = \frac{A}{B}$ है, जहाँ $A, B \in K[X]$ , $B \neq 0$ ; दो भागफल $\frac AB$ और $\frac{A'}{B'}$ तब अभिन्न माने जाते हैं जब $AB' = A'B$ । प्रत्येक भिन्न का एक लघुकृत रूप है जिसमें $\gcd(A, B) = 1$ , और वह अचरों तक अद्वितीय है। स्वाभाविक संक्रियाओं के साथ परिमेय भिन्नों का समुच्चय $K(X)$ एक क्षेत्र है।

$F$ (लघुकृत रूप में) के ध्रुव $B$ के मूल हैं; किसी ध्रुव की कोटि $B$ के मूल के रूप में उसकी बहुलता है। $F$ की घात $\deg F = \deg A - \deg B \in \Z \cup \{-\infty\}$ है।

उदाहरण 9.2 (ध्रुव, कोटियाँ और घात पढ़ना)

मान लीजिए $F = \dfrac{X^3 - X}{X^4 - 2X^3 + X^2}$ । दोनों परतों का गुणनखंडन कीजिए: अंश $X(X-1)(X+1)$ , हर $X^2(X-1)^2$ ; उभयनिष्ठ गुणनखंड $X(X-1)$ काटिए:

F = \frac{X + 1}{X(X - 1)} \quad\text{(लघुकृत रूप)।}

ध्रुव: $0$ और $1$ , दोनों सरल — कोटियाँ लघुकृत हर पर पढ़ी जाती हैं, अतः मूल हर के प्रत्यक्ष द्विक मूल निरर्थक हैं। घात: $\deg F = 1 - 2 = -1$ , जो अनंतस्पर्शी रूप से दिखाई देती है ( $x \to \infty$ होने पर $xF(x) \to 1$ )। घात बहुपद की घात की भाँति व्यवहार करती है ( $\deg FG = \deg F + \deg G$ , $\deg(F + G) \leq \max$ ), और यह लेखा-नियम नीचे गुणांक की खोज में लगातार प्रयुक्त होता है: “ $xF(x)$ की सीमा” वाला हर तर्क वेश बदली हुई घात-गणना है।

प्रतिज्ञप्ति 9.3 (पूर्णांक भाग)

प्रत्येक $F = \frac AB \in K(X)$ अद्वितीय रूप से $F = E + \frac RB$ है, जहाँ $E \in K[X]$ ( $F$ का पूर्णांक भाग, अर्थात् बहुपद भाग) और $\deg R < \deg B$ । $E \neq 0$ तभी जब $\deg F \geq 0$ ।

उपपत्ति. यूक्लिडीय भाग $A = BE + R$ (प्रमेय 8.3) को $B$ से भाग दीजिए। अद्वितीयता: यदि $E + \frac RB = E' + \frac{R'}{B}$ , तो $\deg(R' - R) < \deg B$ के साथ $(E - E')B = R' - R$ , जो $E = E'$ और फिर $R = R'$ पर बाध्य कर देता है। ∎

उदाहरण 9.4 (पहले लघु कीजिए, फिर भाग दीजिए)

$F = \dfrac{X^3 + 1}{X^2 - 1}$ का पूर्णांक भाग खोजिए। आँख मूँदकर भाग देने पर: $X^3 + 1 = (X^2 - 1)X + (X + 1)$ , अतः $F = X + \frac{X + 1}{X^2 - 1}$ । पर भिन्न लघुकृत नहीं थी: $X^3 + 1 = (X + 1)(X^2 - X + 1)$ और $X^2 - 1 = (X+1)(X-1)$ में गुणनखंड $X + 1$ साझा है, और

F = \frac{X^2 - X + 1}{X - 1} = X + \frac{1}{X - 1} :

पूर्णांक भाग वही $X$ है, पर भिन्नात्मक भाग सिमटकर एक ही ईंट रह जाता है, और $-1$ पर का “ध्रुव” कभी ध्रुव था ही नहीं। ध्रुव खोजने से पहले सदा न्यूनतम पदों तक लघु कीजिए: $F$ के ध्रुव लघुकृत हर के मूल हैं। (पूर्णांक भाग सरलीकरण से अप्रभावित रहता है, जैसा प्रतिज्ञप्ति 9.3 की अद्वितीयता गारंटी देती है।)

9.2 $\C$ पर आंशिक भिन्न वियोजन

प्रमेय 9.5 ( $\C$ पर वियोजन)

मान लीजिए $F = \frac AB \in \C(X)$ लघुकृत रूप में है, जहाँ $B = c\,(X - a_1)^{m_1} \cdots (X - a_r)^{m_r}$ । तब $F$ अद्वितीय रूप से यह है

F = E + \sum_{i=1}^{r} \sum_{k=1}^{m_i} \frac{c_{i,k}}{(X - a_i)^k}, \qquad E \in \C[X],\ c_{i,k} \in \C ,

जहाँ $E$ $F$ का पूर्णांक भाग है।

उपपत्ति. प्रतिज्ञप्ति 9.3 से हम $\deg A < \deg B$ मान सकते हैं और $E = 0$ के साथ योग-वियोजन सिद्ध कर सकते हैं।

ध्रुवों को अलग करना। $B_1(a_1) \neq 0$ के साथ $B = (X - a_1)^{m_1} B_1$ लिखिए। बहुपद $(X-a_1)^{m_1}$ और $B_1$ सहअभाज्य हैं (कोई उभयनिष्ठ मूल नहीं), अतः $\C[X]$ में बेज़ू से (अध्याय 8 की टिप्पणी देखिए) ऐसे $U_0, V_0$ हैं कि $U_0 (X-a_1)^{m_1} + V_0 B_1 = 1$ ; $A$ से गुणा करके और $U = AU_0$ , $V = AV_0$ रखकर, फिर $B$ से भाग देकर:

\frac AB = \frac{V}{(X - a_1)^{m_1}} + \frac{U}{B_1} .

घात की शर्तें लागू की जा सकती हैं: $V$ को $(X-a_1)^{m_1}$ से भाग दीजिए, मान लीजिए $\deg V_1 < m_1$ के साथ $V = (X-a_1)^{m_1}Q + V_1$ , और भागफल को दूसरे पद में समेट लीजिए ( $U_1 = U + QB_1$ ):

\frac AB = \frac{V_1}{(X - a_1)^{m_1}} + \frac{U_1}{B_1}, \qquad \deg V_1 < m_1 ;

घातों की तुलना ( $\deg A < \deg B$ और $\deg V_1 < m_1$ ) से $\deg U_1 < \deg B_1$ भी अनिवार्य हो जाता है। $\frac{U_1}{B_1}$ पर, ध्रुव-दर-ध्रुव, दोहराने से सब कुछ नीचे दी गई एक-ध्रुव वाली स्थिति पर आ जाता है।

एक ध्रुव। $\deg A < m$ के साथ $\frac{A}{(X-a)^m}$ के लिए: $A$ का $(X - a)$ की घातों में प्रसार कीजिए, $A = \sum_{j=0}^{m-1} \alpha_j (X - a)^j$ (बहुपद का टेलर प्रसार, जैसा प्रतिज्ञप्ति 8.11 की उपपत्ति में है); भाग देने पर ठीक ईंटें $\frac{\alpha_j}{(X-a)^{m-j}}$ मिल जाती हैं। मूर्त रूप में, $\frac{X^2 + 1}{(X+2)^3}$ के लिए: $X = Y - 2$ प्रतिस्थापित करने पर,

X^2 + 1 = (Y - 2)^2 + 1 = Y^2 - 4Y + 5 , \qquad\text{अतः}\qquad \frac{X^2+1}{(X+2)^3} = \frac1{Y} - \frac4{Y^2} + \frac5{Y^3}

$Y = X + 2$ के साथ: तीनों ईंटें केवल विस्थापित प्रसार को भाग देने से प्रकट हो जाती हैं — जब भी एक ही उच्च-कोटि ध्रुव हो तब यही सबसे तेज़ मार्ग है, और अभ्यास 9.3 के लिए यही अनुशंसित भी है।

अद्वितीयता। मान लीजिए दो वियोजन संपाती हैं; उनका अंतर एक सर्वसमिका $0 = \sum_{i,k} \frac{d_{i,k}}{(X - a_i)^k}$ है। पूरे को $(X - a_1)^{m_1}$ से गुणा कीजिए: $i = 1$ , $k = m_1$ वाले पद को छोड़कर हर पद में $a_1$ पर लुप्त होने वाला गुणनखंड आ जाता है, और उस पद का गुणांक $d_{1,m_1}$ तथा कम से कम एक गुणनखंड $(X - a_1)$ लिए हुए पद बन जाता है। $a_1$ पर मान लेने से (यह वैध है: गुणा के बाद $a_1$ पर कोई ध्रुव नहीं बचता) $d_{1,m_1} = 0$ मिलता है। शीर्ष गुणांक हट जाने पर $(X - a_1)^{m_1 - 1}$ के साथ दोहराइए, और इसी प्रकार नीचे $k = 1$ तक; फिर अगले ध्रुव पर जाइए। सभी $d_{i,k}$ लुप्त हो जाते हैं: अतः वियोजन अद्वितीय है। ∎

विधि 9.6 (गुणांकों की संगणना)

व्यवहार में बेज़ू से बचिए; इन्हें मिलाइए:

उच्चतम घात के लिए आवरण विधि: $\frac{1}{(X-a)^m}$ का गुणांक ( $m$ ध्रुव $a$ की कोटि) है

$c_{a,m} = \Bigl[\,(X - a)^m F\,\Bigr]_{X = a};$

$F = \frac AB$ के सरल ध्रुव के लिए यह $\frac{A(a)}{B'(a)}$ है;
शेष गुणांकों के लिए रैखिक संबंध जुटाने हेतु सुविधाजनक बिंदुओं पर मान और $x \to \infty$ होने पर $xF(x)$ की सीमाएँ;
जहाँ उपलब्ध हों वहाँ काम आधा करने के लिए सम-विषमता या संयुग्मन की सममितियाँ।

टिप्पणी 9.7 (आंशिक भिन्नों की सामान्य भूलें)

पूर्णांक भाग छोड़ देना। ईंट-वियोजन घात $< 0$ वाली भिन्नों पर लागू होता है; $\deg A \geq \deg B$ होने पर पहले भाग दीजिए (प्रतिज्ञप्ति 9.3), अन्यथा गुणांक की खोज विरोधाभास पैदा कर देगी।
आवरण विधि का सीमा से बाहर प्रयोग। $(X - a)^k$ से गुणा करके $a$ पर मान लेने से गुणांक केवल $k = m$ के लिए मिलता है, अर्थात् ध्रुव की पूरी कोटि के लिए; निम्न कोटि के गुणांकों के लिए दूसरे संबंध (सीमाएँ, मान) चाहिए — उदाहरण 9.9 देखिए।
लघु करना भूल जाना। ध्रुव लघुकृत रूप पर पढ़े जाते हैं; अंश और हर का उभयनिष्ठ गुणनखंड भूतिया ध्रुव बना देता है (उदाहरण 9.4)।
$\R$ पर ईंटों का ग़लत आकार। किसी अखंडनीय द्विघात के ऊपर अंश ऐफ़ीन ( $\alpha X + \beta$ ) होते हैं, अचर नहीं; केवल $\frac{c}{X^2 + 1}$ लिखने से हल खो जाते हैं — सही आकार प्रमेय 9.10 तय करती है, उन्हें कभी अपने मन से मत गढ़िए।

सरल-ध्रुव सूत्र की उपपत्ति. सरल ध्रुव $a$ के पास: $Q(a) \neq 0$ के साथ $B = (X - a) Q$ , और $B' = Q + (X - a) Q'$ , अतः $B'(a) = Q(a)$ । आवरण-मान $\frac{A(a)}{Q(a)} = \frac{A(a)}{B'(a)}$ है। ∎

उदाहरण 9.8

$F = \dfrac{1}{X(X-1)(X-2)}$ का वियोजन कीजिए। तीन सरल ध्रुव; हर एक पर आवरण विधि:

c_0 = \frac{1}{(0-1)(0-2)} = \frac12, \quad c_1 = \frac{1}{1 \times (1 - 2)} = -1, \quad c_2 = \frac{1}{2 \times 1} = \frac12,

अतः $F = \dfrac{1/2}{X} - \dfrac{1}{X-1} + \dfrac{1/2}{X-2}$ । $X = 3$ पर जाँच: सीधे $F(3) = \frac{1}{3\cdot2\cdot1} = \frac16$ ; वियोजन से $\frac{1/2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1/2}{1} = \frac16 - \frac12 + \frac12 = \frac16$ ।

उदाहरण 9.9 (बहु ध्रुव)

$F = \dfrac{X}{(X-1)^2 (X+1)}$ का वियोजन कीजिए। आकार: $\frac{a}{(X-1)^2} + \frac{b}{X-1} + \frac{c}{X+1}$ ।

द्विक ध्रुव पर आवरण विधि: $a = \bigl[\frac{X}{X+1}\bigr]_{X=1} = \frac12$ ।
$-1$ पर आवरण विधि: $c = \bigl[\frac{X}{(X-1)^2}\bigr]_{X=-1} = -\frac14$ ।
$\infty$ पर $xF(x)$ की सीमा: $0 = b + c$ , अतः $b = \frac14$ ।

F = \frac{1/2}{(X-1)^2} + \frac{1/4}{X-1} - \frac{1/4}{X+1} .

$X = 0$ पर जाँच: $F(0) = 0$ और $\frac12 - \frac14 - \frac14 = 0$ ।

9.3 $\R$ पर वियोजन

प्रमेय 9.10 ( $\R$ पर वियोजन)

मान लीजिए $F \in \R(X)$ लघुकृत रूप में है और उसका हर है

B = c \prod_i (X - a_i)^{m_i} \prod_j (X^2 + p_j X + q_j)^{n_j} \qquad (p_j^2 - 4q_j < 0).

तब $F$ अद्वितीय रूप से अपने पूर्णांक भाग और इन पदों में वियोजित होता है

\frac{c_{i,k}}{(X - a_i)^k} \quad (1 \leq k \leq m_i), \qquad \frac{\alpha_{j,l}\, X + \beta_{j,l}}{(X^2 + p_j X + q_j)^{l}} \quad (1 \leq l \leq n_j),

जिनके गुणांक वास्तविक हैं।

उपपत्ति. $\C$ (प्रमेय 9.5) पर वियोजन कीजिए। चूँकि $F$ वास्तविक है, ध्रुव $\conj a$ के ऊपर का गुणांक (हर कोटि पर) $a$ के ऊपर के गुणांक का संयुग्मी है (वियोजन पर संयुग्मन लगाइए और अद्वितीयता का आह्वान कीजिए)। हर संयुग्मी जोड़े को समूहबद्ध कीजिए:

\frac{c}{(X - z)^l} + \frac{\conj c}{(X - \conj z)^l} = \frac{c\,(X - \conj z)^l + \conj c\,(X - z)^l}{\bigl(X^2 - 2\Re(z)X + \abs z^2\bigr)^{l}},

जिसका अंश अपना ही संयुग्मी है, अतः वास्तविक है, और उसकी घात $\leq l$ है; वास्तविक द्विघात के गुणजों को अलग करने पर वह हर स्तर $l$ पर घात $\leq 1$ तक गिर जाता है (एक छोटा अवरोही आगमन)। वास्तविक ध्रुव अपने वास्तविक गुणांक बनाए रखते हैं (संयुग्मन उन्हें अचल रखता है)। अद्वितीयता $\C$ पर की अद्वितीयता से निकलती है। ∎

उदाहरण 9.11 (संयुग्मी युग्मन को देखना)

उपपत्ति की क्रियाविधि, सबसे छोटी स्थिति पर: $\C$ पर $\frac1{X^2+1}$ के ध्रुव $\pm\iu$ हैं, जिनके आवरण-गुणांक $\iu$ पर $\frac1{2\iu}$ और $-\iu$ पर $\frac1{-2\iu}$ हैं — जो एक-दूसरे के संयुग्मी हैं, जैसा प्रमेय बताती है:

\frac{1}{X^2 + 1} = \frac{1/(2\iu)}{X - \iu} - \frac{1/(2\iu)}{X + \iu} .

उभयनिष्ठ हर पर फिर से जोड़ने पर:

\frac{1}{2\iu}\cdot\frac{(X + \iu) - (X - \iu)}{X^2 + 1} = \frac{1}{2\iu}\cdot\frac{2\iu}{X^2 + 1} = \frac{1}{X^2+1} :

काल्पनिक भाग कट जाते हैं और वास्तविक ईंट ज्यों-की-त्यों लौट आती है। वास्तविक समाकल्यों के लिए प्रायः $\R$ छोड़ना ही नहीं पड़ता — पर जब सम्मिश्र बिंदुओं पर योग निकाले जाते हैं (जैसा सप्ताहांत समस्या इकाई के मूलों के साथ करती है), तब सम्मिश्र ईंटें ही स्वाभाविक मुद्रा हैं, और यह युग्मन दोनों वियोजनों के बीच विनिमय-दर है।

उदाहरण 9.12

$\R$ पर $F = \dfrac{4}{(X^2+1)(X-1)^2}$ का वियोजन कीजिए। आकार: $\frac{aX + b}{X^2 + 1} + \frac{c}{(X-1)^2} + \frac{d}{X - 1}$ । द्विक ध्रुव पर आवरण विधि: $c = \bigl[\frac{4}{X^2+1}\bigr]_{X=1} = 2$ । सम्मिश्र ध्रुव $\iu$ पर आवरण विधि ( $X^2 + 1$ के ऊपर का अंश सम्मिश्र वियोजन से, या सीधे): $X^2 + 1$ से गुणा कीजिए और $X = \iu$ रखिए:

a\iu + b = \frac{4}{(\iu - 1)^2} = \frac{4}{-2\iu} = 2\iu ,

अतः $a = 2$ , $b = 0$ । अनंत पर $xF(x)$ की सीमा: $0 = a + d$ , अतः $d = -2$ । अतः

F = \frac{2X}{X^2+1} + \frac{2}{(X-1)^2} - \frac{2}{X-1} .

$X = 0$ पर जाँच: $F(0) = 4$ और $0 + 2 + 2 = 4$ ।

उदाहरण 9.13 (त्रिघात हर, आरंभ से अंत तक)

$\R$ पर $F = \dfrac{1}{X^3 + 1}$ का वियोजन कीजिए। पहले गुणनखंडन: $X^3 + 1 = (X + 1)(X^2 - X + 1)$ , जहाँ द्विघात का विविक्तकर $-3 < 0$ है। आकार: $\frac{a}{X+1} + \frac{bX + c}{X^2 - X + 1}$ । सरल ध्रुव $-1$ पर आवरण विधि: $a = \bigl[\frac1{X^2 - X + 1}\bigr]_{X=-1} = \frac13$ । अनंत पर $xF(x)$ की सीमा: $0 = a + b$ , अतः $b = -\frac13$ । $X = 0$ पर मान: $1 = a + c$ , अतः $c = \frac23$ । अतः

\frac{1}{X^3+1} = \frac13\Bigl(\frac{1}{X+1} + \frac{-X + 2}{X^2 - X + 1}\Bigr) ,

जिसकी पुष्टि $X = 1$ पर हो जाती है: बायाँ पक्ष $\frac12$ , दायाँ पक्ष $\frac13\bigl(\frac12 + 1\bigr) = \frac12$ । मितव्ययिता पर ध्यान दीजिए: तीन अज्ञात, तीन सस्ते रैखिक तथ्य (एक आवरण, एक सीमा, एक मान), और किसी चीज़ का कोई प्रसार नहीं — अर्थात् विधि 9.6 का कार्यप्रवाह अपने शुद्ध रूप में।

टिप्पणी 9.14 (यह किस काम आता है)

वियोजन हो जाने पर परिमेय फलन पद-दर-पद समाकलित हो जाता है: ईंटों $\frac{1}{(x-a)^k}$ के प्रारंभिक प्रतिअवकलज हैं, और ईंटें $\frac{\alpha x + \beta}{(x^2 + px + q)^l}$ $\ln$ तथा $\arctan$ तक सिमट जाती हैं (अध्याय 15)। दूरबीनी योग दूसरा मानक अनुप्रयोग हैं (अभ्यास 9.8)।

टिप्पणी 9.15 (यह अध्याय कहाँ काम आता है)

आंशिक भिन्नें सबसे बढ़कर एक पूर्वसंस्करण पद हैं: समाकलन का अध्याय (अध्याय 15) हर परिमेय समाकल्य को समाकलन से पहले प्रमेय 9.10 से गुज़ारता है, और श्रेणी का अध्याय (अध्याय 17) परिमेय पदों को ठीक वैसे ही दूरबीनी करता है जैसे अभ्यास 9.8 में और नीचे दी गई सप्ताहांत समस्या में — जो इस तकनीक को $\sum 1/k^2 = \pi^2/6$ तक ले जाती है। लघुगणकीय अवकलज $P'/P = \sum m_i/(X - a_i)$ (अभ्यास 8.11) जब भी मूलों के स्थान का अध्ययन होता है तब फिर प्रकट होता है। इस खंड से आगे, अभिलक्षणिक बहुपद $\chi$ के लिए $1/\chi(X)$ का वियोजन स्नातक वर्ष 2 के खंड में आव्यूह की घातों और लाप्लास रूपांतरों की संगणना के मूल में है: ईंटें $\frac{c}{(X - a)^k}$ अध्याय 5 में मिले हलों $t^{k-1}\eu^{at}$ की बीजीय छाया हैं।

-प्रकार का फलन F(x) = 1x+1 + 1x + 1x-1: वह अपने ध्रुवों -1, 0, 1 (बिंदुकित) के बीच के प्रत्येक अंतराल पर कठोरतः ह्रासमान है। पहले ध्रुव के दाईं ओर हर क्षैतिज स्तर > 0 प्रत्येक अंतराल में ठीक एक बार काटा जाता है (चिह्नित बिंदु): अर्थात् F = के हल ध्रुवों के बीच-बीच में आते हैं। — अभ्यास 9.12-प्रकार का फलन $F(x) = \frac1{x+1} + \frac1x + \frac1{x-1}$ : वह अपने ध्रुवों $-1, 0, 1$ (बिंदुकित) के बीच के प्रत्येक अंतराल पर कठोरतः ह्रासमान है। पहले ध्रुव के दाईं ओर हर क्षैतिज स्तर $\lambda > 0$ प्रत्येक अंतराल में ठीक एक बार काटा जाता है (चिह्नित बिंदु): अर्थात् $F = \lambda$ के हल ध्रुवों के बीच-बीच में आते हैं।

9.4 अभ्यास

अभ्यास 9.1 ★

$\R$ पर वियोजन कीजिए: $\dfrac{1}{X^2 - 1}$ ; $\;\dfrac{X}{X^2 - 3X + 2}$ ; $\;\dfrac{X^2 + 1}{X(X-1)}$ (पूर्णांक भाग का ध्यान रखिए)।

हल

हल — अभ्यास 9.1.

$\dfrac{1}{X^2 - 1}$ : सरल ध्रुव $\pm 1$ ; आवरण विधि: $\dfrac{1/2}{X-1} - \dfrac{1/2}{X+1}$ ।

$\dfrac{X}{X^2 - 3X + 2} = \dfrac{X}{(X-1)(X-2)}$ : आवरण विधि $1$ पर $\frac{1}{1-2} = -1$ और $2$ पर $\frac{2}{2-1} = 2$ देती है: $\dfrac{-1}{X-1} + \dfrac{2}{X-2}$ ।

$\dfrac{X^2+1}{X(X-1)}$ : घात $0$ है, अतः पूर्णांक भाग है: भाग देने पर $X^2 + 1 = (X^2 - X) + (X + 1)$ , अतः $F = 1 + \frac{X+1}{X(X-1)}$ । शेष पर आवरण विधि: $0$ पर $\frac{1}{-1} = -1$ , $1$ पर $\frac{2}{1} = 2$ :

F = 1 - \frac{1}{X} + \frac{2}{X-1} .

अभ्यास 9.2 ★

$\R$ पर वियोजन कीजिए: $\dfrac{1}{X(X^2 + 1)}$ और $\dfrac{X^3}{X^2 + X + 1}$ ।

हल

हल — अभ्यास 9.2.

$\dfrac{1}{X(X^2+1)}$ : आकार $\frac aX + \frac{bX + c}{X^2 + 1}$ । $0$ पर आवरण विधि: $a = 1$ । $xF$ की सीमा: $0 = a + b$ , अतः $b = -1$ । $X = 1$ पर मान: $\frac12 = 1 + \frac{c - 1}{2}$ , अतः $c = 0$ :

\frac{1}{X(X^2+1)} = \frac 1X - \frac{X}{X^2+1} .

$\dfrac{X^3}{X^2+X+1}$ : भाग: $X^3 = (X^2+X+1)(X - 1) + 1$ , अतः

\frac{X^3}{X^2+X+1} = X - 1 + \frac{1}{X^2 + X + 1} ,

जो पहले से वास्तविक वियोजित रूप में है (द्विघात का विविक्तकर ऋणात्मक है)।

अभ्यास 9.3 ★

$\dfrac{1}{X^2(X - 1)}$ और $\dfrac{X + 1}{(X - 1)^3}$ का वियोजन कीजिए (दूसरे के लिए $Y = X - 1$ प्रतिस्थापित कीजिए)।

हल

हल — अभ्यास 9.3.

$\dfrac{1}{X^2(X-1)}$ : आकार $\frac{a}{X^2} + \frac bX + \frac{c}{X-1}$ । द्विक ध्रुव $0$ पर आवरण विधि: $a = \bigl[\frac{1}{X-1}\bigr]_{0} = -1$ । $1$ पर आवरण विधि: $c = 1$ । $xF$ की सीमा: $0 = b + c$ , अतः $b = -1$ :

\frac{1}{X^2(X-1)} = -\frac{1}{X^2} - \frac1X + \frac{1}{X-1} .

$\dfrac{X+1}{(X-1)^3}$ : $Y = X - 1$ के साथ अंश $Y + 2$ है:

\frac{Y + 2}{Y^3} = \frac{1}{Y^2} + \frac{2}{Y^3} = \frac{1}{(X-1)^2} + \frac{2}{(X-1)^3} .

अभ्यास 9.4 ★★

$\C$ पर, फिर $\R$ पर वियोजन कीजिए: $\dfrac{1}{X^4 - 1}$ ।

हल

हल — अभ्यास 9.4.

ध्रुव इकाई के चौथे मूल $1, \iu, -1, -\iu$ हैं, और सभी सरल हैं। $B' = 4X^3$ के साथ सरल-ध्रुव सूत्र: $a$ पर गुणांक $\frac{1}{4a^3} = \frac{a}{4a^4} = \frac a4$ है ( $a^4 = 1$ का प्रयोग करते हुए)। अतः $\C$ पर:

\frac{1}{X^4 - 1} = \frac{1/4}{X - 1} - \frac{1/4}{X + 1} + \frac{\iu/4}{X - \iu} - \frac{\iu/4}{X + \iu} .

संयुग्मी जोड़े को समूहबद्ध करने पर (उभयनिष्ठ हर $X^2 + 1$ ): $\frac{\iu}{4}\bigl(\frac{1}{X-\iu} - \frac{1}{X+\iu}\bigr) = \frac{\iu}{4}\cdot\frac{2\iu}{X^2+1} = \frac{-1/2}{X^2+1}$ । $\R$ पर:

\frac{1}{X^4 - 1} = \frac{1/4}{X-1} - \frac{1/4}{X+1} - \frac{1/2}{X^2 + 1} .

$X = 0$ पर जाँच: $-1 = -\frac14 - \frac14 - \frac12$ ।

अभ्यास 9.5 ★★

$\R$ पर वियोजन कीजिए: $\dfrac{X^2}{(X^2 + 1)^2}$ , और $\int \frac{\dd x}{(x^2+1)^2} = \frac12\bigl(\arctan x + \frac{x}{x^2+1}\bigr) + C$ दिया होने पर $x \mapsto \dfrac{x^2}{(x^2+1)^2}$ का एक प्रतिअवकलज निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 9.5.

$\dfrac{X^2}{(X^2+1)^2} = \dfrac{(X^2 + 1) - 1}{(X^2+1)^2} = \dfrac{1}{X^2+1} - \dfrac{1}{(X^2+1)^2}$ .

अतः एक प्रतिअवकलज:

\int \frac{x^2\,\dd x}{(x^2+1)^2} = \arctan x - \frac12\Bigl(\arctan x + \frac{x}{x^2+1}\Bigr) + C = \frac12\arctan x - \frac{x}{2(x^2+1)} + C .

अभ्यास 9.6 ★★

$n \in \N^*$ के लिए $F_n = \dfrac{n!}{X(X+1)\cdots(X+n)}$ का वियोजन कीजिए ( $0, -1, \dots, -n$ पर सरल ध्रुव; आवरण सूत्र का प्रयोग कीजिए और द्विपद गुणांक पहचानिए)।

हल

हल — अभ्यास 9.6.

ध्रुव $0, -1, \dots, -n$ सरल हैं। $-k$ पर आवरण विधि:

c_k = \frac{n!}{\prod_{j \neq k} (-k + j)} = \frac{n!}{\bigl(\prod_{j=0}^{k-1}(j - k)\bigr) \bigl(\prod_{j=k+1}^{n}(j-k)\bigr)} = \frac{n!}{(-1)^k k!\,(n-k)!} = (-1)^k \binom nk .

अतः

\frac{n!}{X(X+1)\cdots(X+n)} = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k \binom nk}{X + k} .

( $n = 1$ के लिए संगति की जाँच: $\frac{1}{X(X+1)} = \frac1X - \frac{1}{X+1}$ ।)

अभ्यास 9.7 ★★

$P = X^n - 1$ के लिए अभ्यास 8.11 की सर्वसमिका का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि

\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{X - \omega^k} = \frac{n X^{n-1}}{X^n - 1}, \qquad \omega = \eu^{2\iu\pi/n},

और जाँच के लिए $n = 4$ के लिए दोनों पक्षों का मान $X = 2$ पर निकालिए।

हल

हल — अभ्यास 9.7.

$P = X^n - 1$ के $n$ सरल मूल $\omega^k$ (प्रमेय 3.14) हैं, अतः अभ्यास 8.11 की लघुगणकीय-अवकलज सर्वसमिका यह कहती है

\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{X - \omega^k} = \frac{P'(X)}{P(X)} = \frac{n X^{n-1}}{X^n - 1} .

$X = 2$ पर $n = 4$ : दायाँ पक्ष $= \frac{4 \times 8}{15} = \frac{32}{15}$ । बायाँ पक्ष: $\frac{1}{2-1} + \frac{1}{2+1} + \frac{1}{2 - \iu} + \frac{1}{2 + \iu} = 1 + \frac13 + \frac{4}{5} = \frac{15 + 5 + 12}{15} = \frac{32}{15}$ , जहाँ $\frac{1}{2-\iu} + \frac{1}{2+\iu} = \frac{4}{5}$ प्रयुक्त हुआ।

अभ्यास 9.8 ★★

$\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}$ का वियोजन कीजिए और संगणना कीजिए

S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}, \qquad\text{फिर}\qquad \lim_{n \to \infty} S_n .

हल

हल — अभ्यास 9.8.

आवरण विधि: $\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)} = \dfrac{1/2}{k} - \dfrac{1}{k+1} + \dfrac{1/2}{k+2}$ । इसे दूरबीनी अंतर के रूप में फिर से लिखिए:

\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac12\Bigl(\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)}\Bigr),

(जाँचने के लिए प्रसार कीजिए — अथवा दोनों वियोजनों को घटाइए)। योग करने पर:

S_n = \frac12\Bigl(\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}\Bigr) = \frac14 - \frac{1}{2(n+1)(n+2)} \xrightarrow[n \to \infty]{} \frac14 .

अभ्यास 9.9 ★★★

मान लीजिए $P \in \R[X]$ घात $n$ का इकाई-अग्र बहुपद है जिसके $n$ भिन्न वास्तविक मूल $x_1 < \dots < x_n$ हैं। सिद्ध कीजिए कि

\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{P'(x_i)} = 0 \quad (n \geq 2), \qquad \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^{\,n-1}}{P'(x_i)} = 1 .

संकेत: $m \leq n - 1$ के लिए $\frac{X^m}{P}$ का वियोजन कीजिए और अनंत पर गुणांकों के क्षय पर दृष्टि डालिए — अथवा बिंदुओं $x_i$ पर एकपद $X^m$ का लाग्रांज अंतर्वेशन (प्रमेय 8.23) प्रयोग कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 9.9.

$0 \leq m \leq n - 1$ के लिए भिन्न $\frac{X^m}{P}$ (घात $m - n \leq -1$ , ध्रुव सरल) का वियोजन कीजिए: सरल-ध्रुव सूत्र देता है

\frac{X^m}{P} = \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^m / P'(x_i)}{X - x_i} .

$X$ से गुणा कीजिए और $X \to +\infty$ लीजिए: बायाँ पक्ष $X^{m+1}/P$ की सीमा की ओर जाता है, जो $m \leq n - 2$ होने पर $0$ है और $m = n - 1$ होने पर $1$ ( $P$ घात $n$ का इकाई-अग्र है); दायाँ पक्ष $\sum_i \frac{x_i^m}{P'(x_i)}$ की ओर जाता है। अतः

\sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^{m}}{P'(x_i)} = \begin{cases} 0 & \text{के लिए } 0 \leq m \leq n-2,\\ 1 & \text{के लिए } m = n - 1, \end{cases}

जिसमें दोनों घोषित सर्वसमिकाएँ आ जाती हैं ( $m = 0$ के लिए $n \geq 2$ आवश्यक है)। (प्रमेय 8.23 के द्वारा व्याख्या: ये योग $X^m$ के लाग्रांज अंतर्वेशकों के अग्र गुणांक हैं, और घात $\leq n-1$ के बहुपद का $n$ बिंदुओं पर अंतर्वेशन उसे ज्यों-का-त्यों लौटा देता है।)

अभ्यास 9.10 ★★

$\R$ पर $\dfrac{1}{X(X+1)^2}$ का वियोजन कीजिए। मान $\sum_{k \geq 1} \frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6$ मानकर (जो इस अध्याय की सप्ताहांत समस्या में सिद्ध है) निकालिए

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)^2} = 2 - \frac{\pi^2}{6} .

हल

हल — अभ्यास 9.10.

आकार $\frac aX + \frac b{X+1} + \frac c{(X+1)^2}$ । $0$ पर आवरण विधि: $a = 1$ ; द्विक ध्रुव पर आवरण विधि: $c = \bigl[\frac1X \bigr]_{X=-1} = -1$ ; अनंत पर $xF(x)$ की सीमा: $0 = a + b$ , अतः $b = -1$ :

\frac{1}{X(X+1)^2} = \frac1X - \frac1{X+1} - \frac1{(X+1)^2} .

$n = 1, \dots, N$ के लिए योग करने पर: पहली दो ईंटें दूरबीनी होकर $1 - \frac1{N+1}$ देती हैं, और तीसरी $-\sum_{k=2}^{N+1} \frac1{k^2}$ का योगदान करती है। $N \to \infty$ लेने पर और $\sum_{k\geq1} \frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6$ का प्रयोग करने पर:

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)^2} = 1 - \Bigl(\frac{\pi^2}6 - 1\Bigr) = 2 - \frac{\pi^2}6 \approx 0.355 .

अभ्यास 9.11 ★★

$\R$ पर वियोजन कीजिए: $\dfrac{1}{(X^2+1)(X^2+4)}$ , फिर $\dfrac{X^2}{(X^2+1)(X^2+4)}$ । संकेत: दोनों हर $X^2$ में बहुपद हैं: पहले $\frac1{(Y+1)(Y+4)}$ का वियोजन कीजिए।

हल

हल — अभ्यास 9.11.

चर $Y$ में: $\frac1{(Y+1)(Y+4)} = \frac{1/3}{Y+1} - \frac{1/3}{Y+4}$ ( $-1$ और $-4$ पर आवरण विधि), अतः

\frac{1}{(X^2+1)(X^2+4)} = \frac13\,\frac1{X^2+1} - \frac13\,\frac1{X^2+4} .

इसी प्रकार $\frac{Y}{(Y+1)(Y+4)} = \frac{-1/3}{Y+1} + \frac{4/3}{Y+4}$ , अतः

\frac{X^2}{(X^2+1)(X^2+4)} = -\frac13\,\frac1{X^2+1} + \frac43\,\frac1{X^2+4} .

( $X = 0$ पर जाँच: $0 = \frac13(-1 + 1)$ ।) ये पहले से ही वास्तविक वियोजन हैं: अखंडनीय द्विघातों के ऊपर के अंश संयोग से अचर निकल आते हैं।

अभ्यास 9.12 ★★★

(अभिलक्षणिक-मान समीकरण) मान लीजिए $F = \sum_{i=1}^{r} \frac{c_i}{X - p_i}$ , जहाँ $p_1 < p_2 < \dots < p_r$ वास्तविक हैं और सभी $c_i > 0$ ।

दिखाइए कि $F$ अपने प्रांत के प्रत्येक अंतराल पर कठोरतः ह्रासमान है, और $\pm\infty$ पर तथा प्रत्येक ध्रुव के दोनों ओर उसकी सीमाएँ दीजिए।
उससे निकालिए कि प्रत्येक $\lambda > 0$ के लिए समीकरण $F(x) = \lambda$ के ठीक $r$ वास्तविक हल हैं, प्रत्येक अंतराल $\intoo{p_i}{p_{i+1}}$ में एक और $p_r$ से आगे एक। (ऐसे समीकरण अभिलक्षणिक मानों के विक्षोभ को नियंत्रित करते हैं; मध्यवर्ती मान प्रमेय यहाँ उच्चतर माध्यमिक स्तर पर प्रयुक्त है और अध्याय 13 में सिद्ध।)

हल

हल — अभ्यास 9.12.

ध्रुवों से बचने वाले प्रत्येक अंतराल पर $F'(x) = -\sum_i \frac{c_i}{(x - p_i)^2} < 0$ : अर्थात् कठोरतः ह्रासमान। जब $x \to \pm\infty$ , तब प्रत्येक ईंट $0$ की ओर जाती है: $F \to 0$ — $+\infty$ पर ऊपर से (वहाँ सभी ईंटें धनात्मक हैं) और $-\infty$ पर नीचे से। जब $x \to p_i^+$ , तब ईंट $\frac{c_i}{x - p_i}$ $+\infty$ तक फट पड़ती है और शेष परिबद्ध रहती हैं: $F \to +\infty$ ; इसी प्रकार जब $x \to p_i^-$ , तब $F \to -\infty$ ।
$\lambda > 0$ नियत कीजिए। $\intoo{-\infty}{p_1}$ पर: $F$ $0^-$ से $-\infty$ तक घटता है, अतः $F < 0 < \lambda$ : कोई हल नहीं। प्रत्येक $\intoo{p_i}{p_{i+1}}$ ( $1 \leq i \leq r-1$ ) पर: $F$ $+\infty$ से $-\infty$ तक घटता है, अतः मान $\lambda$ ठीक एक बार लेता है (मध्यवर्ती मान गुणधर्म और कठोर एकदिष्टता से)। $\intoo{p_r}{+\infty}$ पर: $F$ $+\infty$ से $0^+$ तक घटता है, और फिर ठीक एक हल। कुल: ठीक $r$ हल, जो ध्रुवों के बीच-बीच में आते हैं।

9.5 समस्या: इंजन के रूप में आंशिक भिन्नें

समस्या 9.1

आंशिक भिन्न वियोजन लेखा-जोखा जैसा लगता है; यह समस्या दिखाती है कि वह एक इंजन है। भिन्न $\frac1{X(X+1)\cdots(X+k)}$ खिलाने पर वह योगों के पूरे कुल संवृत रूप में दूरबीनी कर देता है; $\frac1{X^n - 1}$ खिलाने पर वह ऐसी त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ उत्पन्न करता है

\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sin^2\frac{k\pi}{n}} = \frac{n^2-1}{3} ;

और एक पद और आगे बढ़ाने पर वही सर्वसमिका गणित के सबसे प्रसिद्ध सूत्रों में से एक, ऑयलर का सूत्र, निचोड़ देती है

\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}{6}

— और वह भी केवल इस अध्याय के बीजगणित और विद्यालयी त्रिकोणमिति से। आगे सर्वत्र $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ ; अनुक्रमों की सीमाएँ उच्चतर माध्यमिक स्तर पर प्रयुक्त हैं (अध्याय 11 उन्हें औपचारिक बनाता है)।

भाग I — दूरबीन।

$\frac1{X(X+1)}$ का वियोजन कीजिए और $\sum_{n=1}^{N} \frac1{n(n+1)}$ की यथार्थ संगणना कीजिए; निष्कर्ष निकालिए कि योग $1$ की ओर जाता है।
$\frac1{X(X+2)}$ के लिए भी वही: दिखाइए $\sum_{n=1}^{N} \frac1{n(n+2)} = \frac12\bigl(\frac32 - \frac1{N+1} - \frac1{N+2}\bigr) \to \frac34$ । (अंतराल होने पर हर सिरे पर दो सीमांत पद बच रहते हैं।)
क्रियाविधि को औपचारिक बनाइए: यदि किसी ऐसे परिमेय $G$ के लिए, जिसका $\intco1{+\infty}$ में कोई ध्रुव न हो, $F(X) = G(X) - G(X+1)$ हो, तो $\sum_{n=1}^N F(n) = G(1) - G(N+1)$ । $F = \frac1{X(X+1)(X+2)}$ के लिए साक्षी $G$ प्रस्तुत करके अभ्यास 9.8 का मान $\frac14$ फिर से प्राप्त कीजिए।
व्यापक क्रमगुणित दूरबीन सिद्ध कीजिए: $k \geq 1$ के लिए,

$\frac{1}{X(X+1)\cdots(X+k)} = \frac1k\biggl(\frac{1}{X(X+1)\cdots(X+k-1)} - \frac{1}{(X+1)\cdots(X+k)}\biggr),$

और उससे निकालिए

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)\cdots(n+k)} = \frac{1}{k \cdot k!} .$

स्थिति $k = 2$ को प्रश्न 3 के सामने जाँचिए।
अभ्यास 9.6 के वियोजन का मान सुचयनित बिंदुओं पर लेकर सिद्ध कीजिए

$\sum_{j=0}^{n}(-1)^j\binom nj\,\frac1{j+1} = \frac1{n+1}, \qquad \sum_{j=0}^{n}(-1)^j\binom nj\,\frac1{j+2} = \frac1{(n+1)(n+2)} .$

भाग II — भिन्न $1/(X^n - 1)$ ।

आवरण सूत्र से दिखाइए कि

$\frac{1}{X^n - 1} = \frac1n\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\omega^k}{X - \omega^k} .$
दो जाँच: $n = 2$ के लिए सूत्र सीधे सत्यापित कीजिए, और दिखाइए कि $n \geq 2$ के लिए $n$ गुणांकों का योग लुप्त हो जाता है — समझाइए कि ऐसा होना ही चाहिए ( $x \to \infty$ होने पर $xF(x)$ पर विचार कीजिए)।
आवरण विधि से अभ्यास 9.7 की सर्वसमिका फिर से व्युत्पन्न कीजिए: $\frac{nX^{n-1}}{X^n-1} = \sum_k \frac1{X - \omega^k}$ ।
संयुग्मी ध्रुवों को समूहबद्ध करके वास्तविक वियोजन सिद्ध कीजिए: $\theta_k = \frac{2k\pi}n$ के साथ,

$\frac{\omega^k}{X - \omega^k} + \frac{\omega^{n-k}}{X - \omega^{n-k}} = \frac{2\cos\theta_k\,X - 2} {X^2 - 2\cos\theta_k\,X + 1} ,$

और $\frac1{X^n-1}$ का पूरा वास्तविक वियोजन लिखिए ( $n$ के विषम और $n$ के सम होने में भेद कीजिए)।
$n = 4$ पर विशेषीकरण कीजिए और अभ्यास 9.4 के सामने जाँचिए।

भाग III — त्रिकोणमितीय योग, और ऑयलर का $\pi^2/6$ । मान लीजिए $P = 1 + X + \dots + X^{n-1}$ , जिसके मूल $\omega, \omega^2, \dots, \omega^{n-1}$ हैं (सभी सरल)।

$\frac{P'}P = \sum_{k=1}^{n-1}\frac1{X - \omega^k}$ (अभ्यास 8.11) का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए

$\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{1 - \omega^k} = \frac{n-1}2 .$
$\theta \notin 2\pi\Z$ के लिए $\dfrac1{1 - \eu^{\iu\theta}} = \dfrac12 + \dfrac\iu2\,\frac{\cos(\theta/2)}{\sin(\theta/2)}$ सिद्ध कीजिए (अर्ध-कोण गुणनखंडन, विधि 3.11), और प्रश्न 11 से निकालिए कि $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{\cos(k\pi/n)}{\sin(k\pi/n)} = 0$ — जो सममिति $k \leftrightarrow n - k$ से भी दिखाई देता है।
प्रश्न 11 की सर्वसमिका का अवकलन करके (अर्थात् $X = 1$ पर $\bigl(\frac{P'}P\bigr)' = \frac{P''}P - \bigl(\frac{P'}P\bigr)^2$ का मान लेकर) सिद्ध कीजिए

$\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{(1 - \omega^k)^2} = \frac{(n-1)(5-n)}{12} .$
$\cot t = \frac{\cos t}{\sin t}$ लिखकर प्रश्न 12–13 से दोनों संवृत रूप निकालिए

$\sum_{k=1}^{n-1}\cot^2\frac{k\pi}n = \frac{(n-1)(n-2)}3, \qquad \sum_{k=1}^{n-1}\frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} = \frac{n^2-1}3 .$
$n = 3$ और $n = 4$ के लिए दोनों सूत्र हाथ से सत्यापित कीजिए।
$t \in \intoo0{\frac\pi2}$ के लिए असमिकाएँ $\cot t < \frac1t < \frac1{\sin t}$ सिद्ध कीजिए ( $\sin t < t < \tan t$ से), और उससे $n = 2m + 1$ तथा $1 \leq k \leq m$ के लिए निकालिए:

$\cot^2\frac{k\pi}n \;<\; \frac{n^2}{k^2\pi^2} \;<\; \frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} .$
$k = 1, \dots, m$ के लिए इन असमिकाओं का योग कीजिए (प्रश्न 14 के सूत्रों को आधा करने के लिए सममिति $k \leftrightarrow n - k$ का प्रयोग कीजिए) और दबाइए:

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6 .$

भाग IV — ऊँची ईंटें।

$\frac1{X^2-1}$ के वियोजन का वर्ग करके और आड़े पद का फिर से वियोजन करके सिद्ध कीजिए

$\frac1{(X^2-1)^2} = \frac14\Bigl(\frac1{(X-1)^2} + \frac1{(X+1)^2}\Bigr) - \frac14\Bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1}\Bigr),$

और उसे $X = 0$ पर जाँचिए।
प्रश्न 18, दूरबीन और ऑयलर का मान (प्रश्न 17) मिलाकर सिद्ध कीजिए

$\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{(n^2-1)^2} = \frac{\pi^2}{12} - \frac{11}{16} ,$

और मान की पुष्टि तीन दशमलव तक संख्यात्मक रूप से कीजिए।
प्रश्न 8 की सर्वसमिका का अवकलन करके $\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{(X - \omega^k)^2}$ का संवृत रूप प्राप्त कीजिए, और उसे $X = 2$ , $n = 2$ पर जाँचिए।
$k \geq 2$ के लिए सिद्ध कीजिए कि

$\sum_{n=k}^{\infty}\frac{1}{\binom nk} = \frac{k}{k-1} .$

( $1/\binom nk$ को क्रमगुणितों से लिखकर प्रश्न 4 पर ले आइए।)
$k = 3$ के लिए यथार्थ आंशिक योग $\sum_{n=3}^{N}\frac1{\binom n3}$ और उसकी सीमा दीजिए।

भाग V — संश्लेषण।

शिखर-संगणना के रूप में $\dfrac1{X^6 - 1}$ का पूरा वास्तविक वियोजन लिखिए और उसे $X = 0$ पर जाँचिए।
इस समस्या में ठीक कहाँ प्रयोग हुआ: (क) वियोजन की अद्वितीयता; (ख) अध्याय 3 से इकाई के मूल; (ग) अभ्यास 8.11 से लघुगणकीय अवकलज? प्रत्येक के लिए एक वाक्य।
एक छोटे अनुच्छेद में संश्लेषण: एक ही बीजीय सर्वसमिका — भिन्न को ईंटों में तोड़ना — ने यथार्थ योग, त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ और $\pi^2/6$ उत्पन्न किए। बीजगणित (यथार्थ वियोजन, सर्वत्र वैध) और विश्लेषण (सीमाएँ, दबाना) के बीच श्रम-विभाजन पर टिप्पणी कीजिए, और बताइए कि प्रत्येक धागा कहाँ औद्योगिक रूप ले लेता है: अध्याय 17 में दूरबीनी और तुलना, तथा अध्याय 15 में ईंटों का समाकलन।

हल

हल — समस्या 9.1.

1. आवरण विधि: $\frac1{X(X+1)} = \frac1X - \frac1{X+1}$ । योग दूरबीनी हो जाता है:

\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac1n - \frac1{n+1}\Bigr) = 1 - \frac1{N+1} \longrightarrow 1 .

2. $\frac1{X(X+2)} = \frac{1/2}X - \frac{1/2}{X+2}$ । योग करने पर $n = 1, 2$ के लिए पद $\frac1n$ बच रहते हैं और $n = N-1, N$ के लिए पद $-\frac1{n+2}$ :

\sum_{n=1}^{N}\frac1{n(n+2)} = \frac12\Bigl(1 + \frac12 - \frac1{N+1} - \frac1{N+2}\Bigr) \longrightarrow \frac34 .

3. यदि $F(X) = G(X) - G(X+1)$ , तो $\sum_{n=1}^N F(n) = \sum_{n=1}^N\bigl(G(n) - G(n+1)\bigr) = G(1) - G(N+1)$ : सभी मध्यवर्ती मान जोड़ों में कट जाते हैं। $F = \frac1{X(X+1)(X+2)}$ के लिए साक्षी $G(X) = \frac1{2X(X+1)}$ है:

G(X) - G(X+1) = \frac{(X+2) - X}{2X(X+1)(X+2)} = F(X) ,

अतः $\sum_{n=1}^N F(n) = \frac14 - \frac1{2(N+1)(N+2)} \to \frac14$ , जो अभ्यास 9.8 का मान है।

4. दाएँ पक्ष को उभयनिष्ठ हर $X(X+1)\cdots(X+k)$ पर रखिए:

\frac1k\cdot\frac{(X + k) - X}{X(X+1)\cdots(X+k)} = \frac{1}{X(X+1)\cdots(X+k)} ,

जो वही सर्वसमिका है। अतः $G_k(X) = \frac1{X(X+1)\cdots(X+k-1)}$ के साथ $F_k(X) = \frac1k\bigl(G_k(X) - G_k(X+1)\bigr)$ , और प्रश्न 3 की क्रियाविधि देती है

\sum_{n=1}^{N}\frac1{n(n+1)\cdots(n+k)} = \frac1k\Bigl(\frac1{k!} - G_k(N+1)\Bigr) \longrightarrow \frac1{k\cdot k!} ,

क्योंकि $G_k(1) = \frac1{k!}$ और $G_k(N+1) \to 0$ । $k = 2$ के लिए: $\frac1{2\cdot2} = \frac14$ , जो प्रश्न 3 से मेल खाता है।

5. अभ्यास 9.6 $\frac{n!}{X(X+1)\cdots(X+n)} = \sum_{j=0}^n \frac{(-1)^j\binom nj}{X + j}$ देता है। $X = 1$ पर मान लीजिए: बायाँ पक्ष $\frac{n!}{(n+1)!} = \frac1{n+1}$ है और दायाँ पक्ष $\sum_j(-1)^j\binom nj\frac1{1+j}$ : पहली सर्वसमिका। $X = 2$ पर: बायाँ पक्ष $\frac{n!}{2\cdot3\cdots(n+2)} = \frac{n!\cdot1}{(n+2)!} = \frac1{(n+1)(n+2)}$ है, दायाँ $\sum_j(-1)^j\binom nj\frac1{2+j}$ : दूसरी सर्वसमिका।

6. ध्रुव $\omega^k$ सरल हैं, और विधि 9.6 का सरल-ध्रुव सूत्र गुणांक देता है

\frac{1}{\bigl(nX^{n-1}\bigr)_{X = \omega^k}} = \frac{1}{n\,\omega^{k(n-1)}} = \frac{\omega^k}{n\,\omega^{kn}} = \frac{\omega^k}n ,

जहाँ $\omega^{kn} = 1$ प्रयुक्त हुआ। अतः $\frac1{X^n-1} = \frac1n\sum_k \frac{\omega^k}{X - \omega^k}$ ।

7. $n = 2$ ( $\omega = -1$ ) के लिए: $\frac12\bigl( \frac1{X-1} - \frac1{X+1}\bigr) = \frac12\cdot\frac{2}{X^2-1} = \frac1{X^2-1}$ : सही। $n \geq 2$ के लिए गुणांकों का योग $\frac1n\sum_k\omega^k = 0$ है (प्रतिज्ञप्ति 3.18)। ऐसा होना ही चाहिए: सरल ध्रुवों वाले किसी भी वियोजन के लिए जब $x \to \infty$ तब $x\,F(x) \to \sum_k c_k$ , जबकि यहाँ $xF(x) = \frac{x}{x^n-1} \to 0$ , क्योंकि $n \geq 2$ ।

8. $\omega^k$ पर $\frac{X^{n-1}}{X^n - 1}$ के लिए आवरण विधि: $\frac{A(\omega^k)}{B'(\omega^k)} = \frac{\omega^{k(n-1)}}{n\omega^{k(n-1)}} = \frac1n$ , अतः $\frac{X^{n-1}}{X^n-1} = \frac1n\sum_k\frac1{X - \omega^k}$ — अर्थात् फिर से अभ्यास 9.7 की सर्वसमिका।

9. $c = \omega^k$ , $\conj c = \omega^{n-k}$ और $c\conj c = 1$ , $c + \conj c = 2\cos\theta_k$ के साथ:

\frac{c}{X - c} + \frac{\conj c}{X - \conj c} = \frac{c(X - \conj c) + \conj c(X - c)} {(X - c)(X - \conj c)} = \frac{2\cos\theta_k\,X - 2}{X^2 - 2\cos\theta_k\,X + 1} .

प्रश्न 6 में $k$ को $n - k$ के साथ समूहबद्ध करने पर: विषम $n$ के लिए,

\frac1{X^n - 1} = \frac1n\Biggl(\frac1{X-1} + \sum_{k=1}^{(n-1)/2} \frac{2\cos\theta_k X - 2}{X^2 - 2\cos\theta_k X + 1}\Biggr) ;

सम $n$ के लिए अतिरिक्त स्वयं-युग्मित ध्रुव $\omega^{n/2} = -1$ कोष्ठक के भीतर $\frac{-1}{X+1}$ का योगदान करता है और युग्म-योग $\frac n2 - 1$ तक चलता है।

10. $n = 4$ : $\theta_1 = \frac\pi2$ , $\cos\theta_1 = 0$ , अतः युग्म-पद $\frac{-2}{X^2+1}$ है और

\frac1{X^4-1} = \frac14\Bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1} - \frac2{X^2+1}\Bigr) ,

जो अभ्यास 9.4 का वियोजन है।

11. $P = \prod_{k=1}^{n-1}(X - \omega^k)$ ( $X^n - 1$ को $X - 1$ से भाग दीजिए), अतः अभ्यास 8.11 से $\frac{P'}P = \sum_{k=1}^{n-1}\frac1{X-\omega^k}$ । $X = 1$ पर: $P(1) = n$ और $P'(1) = \sum_{j=1}^{n-1}j = \frac{n(n-1)}2$ , जिससे

\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{1 - \omega^k} = \frac{P'(1)}{P(1)} = \frac{n-1}2 .

12. अर्ध-कोण: $1 - \eu^{\iu\theta} = -2\iu\sin\frac\theta2\,\eu^{\iu\theta/2}$ , अतः

\frac1{1 - \eu^{\iu\theta}} = \frac{\eu^{-\iu\theta/2}}{-2\iu\sin\frac\theta2} = \frac{\iu\cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2} {2\sin\frac\theta2} = \frac12 + \frac\iu2\, \frac{\cos\frac\theta2}{\sin\frac\theta2} .

$\theta = \theta_k = \frac{2k\pi}n$ के साथ: $\frac1{1-\omega^k} = \frac12 + \frac\iu2\cot\frac{k\pi}n$ । $k = 1, \dots, n-1$ पर योग करके और प्रश्न 11 के वास्तविक मान $\frac{n-1}2$ से तुलना करने पर: वास्तविक भाग ही सब कुछ बता देते हैं, अतः $\sum_k\cot\frac{k\pi}n = 0$ — जैसा सममिति $\cot\frac{(n-k) \pi}n = -\cot\frac{k\pi}n$ भी दिखाती है।

13. $\frac{P'}P = \sum_k\frac1{X - \omega^k}$ का अवकलन करने पर:

\frac{P''}P - \Bigl(\frac{P'}P\Bigr)^2 = -\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{(X - \omega^k)^2} .

$X = 1$ पर: $P''(1) = \sum_{j=2}^{n-1}j(j-1) = 2\binom n3 = \frac{n(n-1)(n-2)}3$ (हॉकी-स्टिक सर्वसमिका, अथवा आगमन), अतः

\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{(1 - \omega^k)^2} = \Bigl(\frac{n-1}2\Bigr)^2 - \frac{(n-1)(n-2)}3 = \frac{(n-1)\bigl(3(n-1) - 4(n-2)\bigr)}{12} = \frac{(n-1)(5-n)}{12} .

14. $c_k = \cot\frac{k\pi}n$ के साथ प्रश्न 12 के सूत्र का वर्ग करने पर:

\frac1{(1-\omega^k)^2} = \Bigl(\frac12 + \frac\iu2 c_k\Bigr)^2 = \frac14 - \frac{c_k^2}4 + \frac\iu2\,c_k .

योग करके और $\sum c_k = 0$ (प्रश्न 12) तथा प्रश्न 13 का प्रयोग करके: $\frac{n-1}4 - \frac14\sum_k c_k^2 = \frac{(n-1)(5-n)}{12}$ , अतः

\sum_{k=1}^{n-1}\cot^2\frac{k\pi}n = (n-1) - \frac{(n-1)(5-n)}3 = \frac{(n-1)(n-2)}3 .

फिर $\frac1{\sin^2t} = 1 + \cot^2t$ $\sum_k\frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} = (n-1) + \frac{(n-1)(n-2)}3 = \frac{n^2-1}3$ देता है।

15. $n = 3$ : $\cot^2\frac\pi3 + \cot^2\frac{2\pi}3 = \frac13 + \frac13 = \frac23 = \frac{2\cdot1}3$ ; और $\frac1{\sin^2}$ का योग $\frac43 + \frac43 = \frac83 = \frac{9-1}3$ है। $n = 4$ : $1 + 0 + 1 = 2 = \frac{3\cdot2}3$ ; और $2 + 1 + 2 = 5 = \frac{16-1}3$ । दोनों सूत्र जाँच पर खरे उतरते हैं।

16. $t \in \intoo0{\frac\pi2}$ के लिए चिरपरिचित तुलना $\sin t < t < \tan t$ (क्षेत्रफल या उत्तलता का तर्क, जो उच्चतर माध्यमिक से परिचित है) व्युत्क्रम लेने पर $\cot t < \frac1t < \frac1{\sin t}$ देती है, और वहाँ तीनों धनात्मक हैं; वर्ग करने से क्रम बना रहता है। $t = \frac{k\pi}n$ , $1 \leq k \leq m$ , $n = 2m+1$ के साथ (अतः $t < \frac\pi2$ ):

\cot^2\frac{k\pi}n < \frac{n^2}{k^2\pi^2} < \frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} .

17. सममितियों $\cot^2\frac{(n-k)\pi}n = \cot^2\frac{k\pi}n$ और $\sin^2$ के लिए भी वैसी ही सममितियों से प्रश्न 14 के योग आधे हो जाते हैं: $\sum_{k=1}^{m}\cot^2\frac{k\pi}n = \frac{(n-1)(n-2)}6 = \frac{m(2m-1)}3$ और $\sum_{k=1}^m\frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} = \frac{n^2-1}6 = \frac{2m(m+1)}3$ । $k = 1, \dots, m$ पर प्रश्न 16 का योग करके और $\frac{\pi^2}{n^2}$ से गुणा करके:

\frac{\pi^2}{(2m+1)^2}\cdot\frac{m(2m-1)}3 \;<\; \sum_{k=1}^{m}\frac1{k^2} \;<\; \frac{\pi^2}{(2m+1)^2}\cdot\frac{2m(m+1)}3 .

जब $m \to \infty$ , तब दोनों परिबंध $\frac{\pi^2}6$ की ओर जाते हैं (अनुपात $\frac{m(2m-1)}{(2m+1)^2}$ और $\frac{2m(m+1)}{(2m+1)^2}$ दोनों $\frac12$ की ओर जाते हैं), अतः दबाव से वर्धमान आंशिक योग अभिसरित होते हैं और

\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6 .

18. $\frac1{X^2-1} = \frac12\bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1}\bigr)$ का वर्ग कीजिए:

\frac1{(X^2-1)^2} = \frac14\Bigl(\frac1{(X-1)^2} + \frac1{(X+1)^2}\Bigr) - \frac12\cdot\frac1{(X-1)(X+1)} ,

और आड़े पद $\frac1{(X-1)(X+1)} = \frac12\bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1}\bigr)$ का फिर से वियोजन करके बताया गया रूप पाइए। $X = 0$ पर: बायाँ पक्ष $1$ ; दायाँ पक्ष $\frac14(1 + 1) - \frac14(-1 - 1) = \frac12 + \frac12 = 1$ ।

19. $n \geq 2$ पर प्रश्न 18 का योग कीजिए। $S = \sum_{k\geq1}\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6$ के साथ: $\sum_{n\geq2} \frac1{(n-1)^2} = S$ ; $\sum_{n\geq2}\frac1{(n+1)^2} = S - 1 - \frac14$ ; और दो-अंतराल वाली दूरबीन $\sum_{n\geq2}\bigl( \frac1{n-1} - \frac1{n+1}\bigr) = 1 + \frac12 = \frac32$ । अतः

\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{(n^2-1)^2} = \frac14\Bigl(2S - \frac54\Bigr) - \frac14\cdot\frac32 = \frac S2 - \frac{11}{16} = \frac{\pi^2}{12} - \frac{11}{16} \approx 0.135 .

संख्यात्मक रूप से: $\frac19 + \frac1{64} + \frac1{225} + \frac1{576} + \frac1{1225} + \dots \approx 0.1111 + 0.0156 + 0.0044 + 0.0017 + 0.0008 + \dots \approx 0.135$ : संगत।

20. प्रश्न 8 की सर्वसमिका $\sum_k\frac1{X-\omega^k} = \frac{nX^{n-1}}{X^n-1}$ का अवकलन कीजिए:

\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{(X - \omega^k)^2} = \frac{n^2X^{2n-2} - n(n-1)X^{n-2}(X^n - 1)}{(X^n - 1)^2} .

$n = 2$ , $X = 2$ पर जाँच: दायाँ पक्ष $\frac{4\cdot4 - 2\cdot1\cdot3}{9} = \frac{10}9$ ; बायाँ पक्ष $\frac1{(2-1)^2} + \frac1{(2+1)^2} = 1 + \frac19 = \frac{10}9$ ।

21. $\frac1{\binom nk} = \frac{k!\,(n-k)!}{n!} = \frac{k!}{(n-k+1)(n-k+2)\cdots n}$ , जिसके हर में $k$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है। $j = n - k + 1$ प्रतिस्थापित करने पर (जिससे $n$ के $k$ से चलने पर $j$ $\N^*$ पर चलता है):

\sum_{n=k}^{\infty}\frac1{\binom nk} = k!\sum_{j=1}^{\infty}\frac1{j(j+1)\cdots(j+k-1)} = \frac{k!}{(k-1)\,(k-1)!} = \frac{k}{k-1} ,

यह $k$ के स्थान पर $k - 1$ के साथ प्रश्न 4 लगाने से मिलता है (वैध, क्योंकि $k - 1 \geq 1$ )।

22. $k = 3$ के लिए: $\frac1{\binom n3} = \frac6{(n-2)(n-1)n}$ , अतः प्रश्न 3 के आंशिक योग (विस्थापित करके) से,

\sum_{n=3}^{N}\frac1{\binom n3} = 6\sum_{j=1}^{N-2}\frac1{j(j+1)(j+2)} = 6\Bigl(\frac14 - \frac1{2(N-1)N}\Bigr) = \frac32 - \frac3{(N-1)N} \longrightarrow \frac32 ,

अर्थात् प्रश्न 21 का मान $\frac k{k-1} = \frac32$ ।

23. $n = 6$ : जोड़े $k = 1$ ( $\theta_1 = \frac\pi3$ , $2\cos\theta_1 = 1$ ) और $k = 2$ ( $\theta_2 = \frac{2\pi}3$ , $2\cos\theta_2 = -1$ ), साथ ही वास्तविक ध्रुव $\pm1$ :

\frac1{X^6-1} = \frac16\Bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1} + \frac{X - 2}{X^2 - X + 1} + \frac{-X - 2}{X^2 + X + 1}\Bigr) .

$X = 0$ पर: बायाँ पक्ष $-1$ ; दायाँ पक्ष $\frac16(-1 - 1 - 2 - 2) = -1$ : सही।

24. (क) अद्वितीयता गुणांकों की हर पहचान को वैध बनाती है — आवरण विधि, प्रश्न 9 का संयुग्मी-युग्म समूहन, और अवकलन की युक्तियाँ (प्रश्न 13, 20), सब उसी पर टिके हैं। (ख) इकाई के मूलों ने $X^n - 1$ के ध्रुव, उनकी सममितियाँ ( $k \leftrightarrow n-k$ ) और प्रश्न 12 का अर्ध-कोण बीजगणित (विधि 3.11) दिया। (ग) लघुगणकीय अवकलज $\frac{P'}P = \sum\frac{m_i}{X-a_i}$ ने $P = 1 + X + \dots + X^{n-1}$ के मूलों की सूचना को प्रश्न 11 और 13 के संख्यात्मक योगों में बदल दिया — अर्थात् भाग II और III के बीच की कब्ज़ा।

25. वियोजन विशुद्ध रूप से बीजीय सर्वसमिका है, जो चर के हर मान के लिए एक साथ सत्य है; यही उसे इंजन बनाता है। पूर्णांक प्रतिस्थापित करके योग करने पर वह दूरबीन बन गया (भाग I); इकाई के मूल प्रतिस्थापित करके और संयुग्मी समूहबद्ध करके वह त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ बन गया (भाग II और III); और विश्लेषण केवल सबसे अंतिम पद पर आया — दो संवृत रूपों के बीच का दबाव — जिससे $\frac{\pi^2}6$ मिला, ऐसा कथन जिस तक कोई परिमित प्रतिस्थापन नहीं पहुँच सकता था। यह श्रम-विभाजन (बीजगणित यथार्थ परिमित सर्वसमिकाएँ देता है, विश्लेषण सीमा तक ले जाता है) अध्याय 17 का आदर्श है, जहाँ दूरबीनी और तुलना व्यवस्थित हो जाती हैं, और अध्याय 15 का भी, जहाँ हर ईंट अपना प्रतिअवकलज पा लेती है और वही वियोजन योगों के बदले समाकल संगणित करते हैं।

9.1 क्षेत्र K(X)K(X)K(X)

9.2 C\CC पर आंशिक भिन्न वियोजन

9.3 R\RR पर वियोजन

9.4 अभ्यास

9.5 समस्या: इंजन के रूप में आंशिक भिन्नें

9.1 क्षेत्र $K(X)$

9.2 $\C$ पर आंशिक भिन्न वियोजन

9.3 $\R$ पर वियोजन