परिसीमा सहित उपबहुविध क्या है?

परिसीमा सहित $k$-उपबहुविध $M \subseteq \R^n$ वह समुच्चय है जो दो प्रकार के नियमित प्राचलनों से आच्छादित हो: आंतरिक चार्ट $\gamma\colon V \to M \cap W$ जिनमें $V \subseteq \R^k$ विवृत है, और परिसीमा चार्ट $\gamma\colon V \cap H^k \to M \cap W$, जहाँ $H^k = \{u \in \R^k : u_k \geq 0\}$ और $\gamma$ विवृत $V$ तक चिकनाई और नियमितता के साथ बढ़ जाता है। परिसीमा $\partial M$ उन बिंदुओं का समुच्चय है जो $u_k = 0$ पर पहुँचे जाते हैं; वह परिसीमा रहित $(k-1)$-उपबहुविध है, जो प्रतिचित्रणों $u' \mapsto \gamma(u', 0)$ से प्राचलित होती है। $M$ का कोई अभिविन्यास बहिर्मुखी-अभिलंब-पहले नियम से $\partial M$ पर एक अभिविन्यास प्रेरित करता है: $p \in \partial M$ पर $T_p\partial M$ का कोई आधार $(w_1, \dots, w_{k-1})$ धनात्मक है तभी और केवल तभी जब $(\nu, w_1, \dots, w_{k-1})$ $T_pM$ का धनात्मक आधार हो, जहाँ $\nu \in T_pM \setminus T_p\partial M$ $M$ से बाहर की ओर संकेत करता है (किसी परिसीमा चार्ट में: $\nu = -\partial_k\gamma$, स्पर्शी घटक जोड़ने तक — अभिविन्यास वर्ग उन्हें नहीं देखता)।