Apa itu submanifold dengan batas?

Sebuah submanifold-$k$ dengan batas $M \subseteq \R^n$ adalah himpunan yang terselimuti parametrisasi reguler dua jenis: peta interior $\gamma\colon V \to M \cap W$ dengan $V \subseteq \R^k$ terbuka, dan peta batas $\gamma\colon V \cap H^k \to M \cap W$, dengan $H^k = \{u \in \R^k : u_k \geq 0\}$ dan $\gamma$ yang diperluas secara mulus dan reguler ke $V$ yang terbuka. Yang disebut batas $\partial M$ adalah himpunan titik yang tercapai di $u_k = 0$; ia submanifold-$(k-1)$ tanpa batas, yang diparametrikan oleh pemetaan $u' \mapsto \gamma(u', 0)$. Sebuah orientasi $M$ menginduksikan satu orientasi pada $\partial M$ lewat aturan normal-keluar-dulu: bahwa di $p \in \partial M$, sebuah basis $(w_1, \dots, w_{k-1})$ milik $T_p\partial M$ bersifat positif jika dan hanya jika $(\nu, w_1, \dots, w_{k-1})$ merupakan basis positif $T_pM$, dengan $\nu \in T_pM \setminus T_p\partial M$ yang menunjuk ke luar $M$ (dan pada peta batasnya: $\nu = -\partial_k\gamma$, sampai penambahan komponen singgungnya — sebab kelas orientasinya tak melihatnya).