ما معنى متنوعة جزئية بحافة؟

المتنوعة الجزئية ذات البُعد $k$ بحافة $M \subseteq \R^n$ هي مجموعة مغطّاة بوسطنات ناظمية من نوعين: الخرائط الداخلية $\gamma\colon V \to M \cap W$ حيث $V \subseteq \R^k$ مفتوحة، وخرائط الحافة $\gamma\colon V \cap H^k \to M \cap W$، حيث $H^k = \{u \in \R^k : u_k \geq 0\}$ ويمتدّ $\gamma$ ناعمًا وناظميًّا إلى المفتوحة $V$. والحافة $\partial M$ هي مجموعة النقاط المبلوغة عند $u_k = 0$؛ وهي متنوعة جزئية ذات بُعد $(k-1)$ بلا حافة، موسطَنة بالتطبيقات $u' \mapsto \gamma(u', 0)$. ويستحث توجيهُ $M$ توجيهًا على $\partial M$ بقاعدة الناظم الخارجي أولًا: فعند $p \in \partial M$، يكون أساسٌ $(w_1, \dots, w_{k-1})$ للفضاء $T_p\partial M$ موجبًا إذا وفقط إذا كان $(\nu, w_1, \dots, w_{k-1})$ أساسًا موجبًا للفضاء $T_pM$، حيث $\nu \in T_pM \setminus T_p\partial M$ يشير خارج $M$ (وفي خريطة حافة: $\nu = -\partial_k\gamma$، إلى غاية إضافة مركّبات مماسّية — فصنف التوجيه لا يراها).