Wat is deelvariëteit met rand?

Een $k$-deelvariëteit met rand $M \subseteq \R^n$ is een verzameling die door reguliere parametriseringen van twee soorten wordt overdekt: inwendige kaarten $\gamma\colon V \to M \cap W$ met $V \subseteq \R^k$ open, en randkaarten $\gamma\colon V \cap H^k \to M \cap W$, waarbij $H^k = \{u \in \R^k : u_k \geq 0\}$ en $\gamma$ zich glad en regulier uitbreidt tot de open $V$. De rand $\partial M$ is de verzameling punten die bij $u_k = 0$ worden bereikt; ze is een $(k-1)$-deelvariëteit zonder rand, geparametriseerd door de afbeeldingen $u' \mapsto \gamma(u', 0)$. Een oriëntatie van $M$ induceert er een op $\partial M$ met de regel buitenwaartse normaal eerst: in $p \in \partial M$ is een basis $(w_1, \dots, w_{k-1})$ van $T_p\partial M$ positief dan en slechts dan als $(\nu, w_1, \dots, w_{k-1})$ een positieve basis van $T_pM$ is, waarbij $\nu \in T_pM \setminus T_p\partial M$ uit $M$ naar buiten wijst (in een randkaart: $\nu = -\partial_k\gamma$, op het optellen van tangentiële componenten na — de oriëntatieklasse ziet die niet).