¿Qué es subvariedad con borde?

Una $k$-subvariedad con borde $M \subseteq \R^n$ es un conjunto recubierto por parametrizaciones regulares de dos tipos: cartas interiores $\gamma\colon V \to M \cap W$ con $V \subseteq \R^k$ abierto, y cartas de borde $\gamma\colon V \cap H^k \to M \cap W$, donde $H^k = \{u \in \R^k : u_k \geq 0\}$ y $\gamma$ se extiende de manera regular y con diferencial inyectiva al abierto $V$. El borde $\partial M$ es el conjunto de los puntos alcanzados en $u_k = 0$; es una $(k-1)$-subvariedad sin borde, parametrizada por las aplicaciones $u' \mapsto \gamma(u', 0)$. Una orientación de $M$ induce otra en $\partial M$ por la regla de la normal exterior en primer lugar: en $p \in \partial M$, una base $(w_1, \dots, w_{k-1})$ de $T_p\partial M$ es positiva si y solo si $(\nu, w_1, \dots, w_{k-1})$ es una base positiva de $T_pM$, donde $\nu \in T_pM \setminus T_p\partial M$ apunta hacia fuera de $M$ (en una carta de borde: $\nu = -\partial_k\gamma$, salvo la suma de componentes tangenciales — la clase de orientación no las ve).