Qu'est-ce que « sous-variété à bord » ?

Une $k$-sous-variété à bord $M \subseteq \R^n$ est un ensemble recouvert par des paramétrisations régulières de deux sortes : des cartes intérieures $\gamma\colon V \to M \cap W$ avec $V \subseteq \R^k$ ouvert, et des cartes de bord $\gamma\colon V \cap H^k \to M \cap W$, où $H^k = \{u \in \R^k : u_k \geq 0\}$ et $\gamma$ s’étend de façon lisse et régulière à l’ouvert $V$. Le bord $\partial M$ est l’ensemble des points atteints en $u_k = 0$ ; c’est une $(k-1)$-sous-variété sans bord, paramétrée par les applications $u' \mapsto \gamma(u', 0)$. Une orientation de $M$ en induit une sur $\partial M$ par la règle de la normale sortante d’abord : en $p \in \partial M$, une base $(w_1, \dots, w_{k-1})$ de $T_p\partial M$ est positive ssi $(\nu, w_1, \dots, w_{k-1})$ est une base positive de $T_pM$, où $\nu \in T_pM \setminus T_p\partial M$ pointe hors de $M$ (dans une carte de bord : $\nu = -\partial_k\gamma$, à des composantes tangentielles près — la classe d’orientation ne les voit pas).