O que é subvariedade com bordo?

Uma $k$-subvariedade com bordo $M \subseteq \R^n$ é um conjunto coberto por parametrizações regulares de dois tipos: cartas interiores $\gamma\colon V \to M \cap W$ com $V \subseteq \R^k$ aberto, e cartas de bordo $\gamma\colon V \cap H^k \to M \cap W$, em que $H^k = \{u \in \R^k : u_k \geq 0\}$ e $\gamma$ se estende de maneira suave e regular ao aberto $V$. O bordo $\partial M$ é o conjunto dos pontos atingidos em $u_k = 0$; ele é uma $(k-1)$-subvariedade sem bordo, parametrizada pelas aplicações $u' \mapsto \gamma(u', 0)$. Uma orientação de $M$ induz uma em $\partial M$ pela regra da normal exterior primeiro: em $p \in \partial M$, uma base $(w_1, \dots, w_{k-1})$ de $T_p\partial M$ é positiva se, e somente se, $(\nu, w_1, \dots, w_{k-1})$ é uma base positiva de $T_pM$, em que $\nu \in T_pM \setminus T_p\partial M$ aponta para fora de $M$ (em uma carta de bordo: $\nu = -\partial_k\gamma$, a menos de acrescentar componentes tangenciais — a classe de orientação não as enxerga).