दूरिक समष्टि की सांस्थिति क्या है? — गणित

परिभाषा 4.3 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · 第 4 章 — दूरिक समष्टियों की सांस्थिति

$U \subseteq X$ विवृत कहलाता है जब $U$ का हर बिंदु किसी ऐसे गोले का केंद्र हो जो $U$ में समाहित है; और $F$ संवृत कहलाता है जब उसका पूरक विवृत हो। प्रतिवेश, अभ्यंतर, संवृतक, सघनता और परिसीमा ठीक वैसे ही परिभाषित होते हैं जैसे वास्तविक रेखा पर (प्रथम वर्ष का खंड), बस अंतरालों के स्थान पर गोले आ जाते हैं; और वहाँ सिद्ध किए गए कथन — विवृत समुच्चयों के सम्मिलन/प्रतिच्छेदन, अभ्यंतर और संवृतक के अभिलक्षण, सबसे छोटे संवृत अधिसमुच्चय के रूप में संवृतक — उन्हीं उपपत्तियों के साथ यहाँ भी चलते हैं। विवृत गोले विवृत होते हैं और संवृत गोले संवृत (त्रिभुज असमिका)।

示例

उदाहरण 4.4 (एक ही समुच्चय पर अभ्यंतर, संवृतक और परिसीमा)

$\R$ में मान लीजिए $A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$ । अभ्यंतर: $\intoo{0}{1}$ — किसी भी $x \in \intoo01$ के चारों ओर छोटा गोला $A$ में रहता है; $1$ के चारों ओर हर गोला $\intoo{1-r}{1+r}$ दाईं ओर से $A$ के बाहर निकल जाता है, अतः $1$ अभ्यंतरीय नहीं है; और अलग-थलग पड़ा $2$ भी अभ्यंतरीय नहीं। संवृतक: $\intcc{0}{1} \cup \{2\}$ (बिंदु $0$ $A$ की सीमा है, और कुछ नहीं जुड़ता)। परिसीमा (संवृतक में से अभ्यंतर घटाकर): $\{0, 1, 2\}$ । स्मरण रखने योग्य असमरूपताएँ: कोई अंत्यबिंदु समुच्चय का सदस्य हो सकता है और फिर भी अभ्यंतरीय न हो ( $1$ ), संलग्न हो सकता है और सदस्य न हो ( $0$ ), और अलग-थलग बिंदु स्वयं अपनी परिसीमा होता है ( $2$ )। यही लेखा-जोखा किसी भी दूरिक समष्टि में अक्षरशः चलता है, अंतरालों के स्थान पर गोले लेकर।

उदाहरण 4.10 (संततता से पहचाने गए विवृत और संवृत समुच्चय)

वैश्विक अभिलक्षण (प्रमेय 4.6) सांस्थितिक लेखा-जोखा का रोज़मर्रा का औज़ार है। $\R^2$ में: समुच्चय $\{(x, y) : x^2 + y^2 < 1,\ y > x^3\}$ विवृत है — वह संतत $g(x,y) = x^2 + y^2$ और $h(x, y) = y - x^3$ के लिए $g^{-1}(\intoo{-\infty}{1}) \cap h^{-1}(\intoo{0}{+\infty})$ है, अर्थात् दो विवृत पूर्वप्रतिबिंबों का प्रतिच्छेदन। $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$ में: $f(0) = f(1)$ और $\int_0^1 f = 0$ वाले फलनों का समुच्चय संवृत है — वह $\R^2$ में जाने वाले संतत प्रतिचित्रण $f \mapsto \bigl(f(0) - f(1),\ \int_0^1 f\bigr)$ के अंतर्गत $\{(0,0)\}$ का पूर्वप्रतिबिंब है (हर निर्देशांक $1$ -लिप्शिट्स है, जैसा अभ्यास 4.3 में)। यह विधि कभी चित्र नहीं बनाती: कोई संतत प्रतिचित्रण दिखाइए, समुच्चय को पूर्वप्रतिबिंब की तरह पढ़िए, और प्रमेय उद्धृत कीजिए।

उदाहरण 4.22 (आच्छादनों पर संहतता पढ़ना)

अर्ध-विवृत अंतराल $\intoc{0}{1}$ विवृत समुच्चयों $U_n = \intoo{\frac1n}{2}$ , $n \geq 1$ से आच्छादित है; किसी भी परिमित उपकुल का कोई महत्तम सूचकांक $N$ होता है और वह $\intoc{0}{\frac1N}$ छोड़ देता है: अतः कोई परिमित उपआच्छादन नहीं, इसलिए $\intoc{0}{1}$ संहत नहीं — और अनुक्रम वाली परिभाषा इसे $x_n = \frac1n$ के द्वारा देख लेती है, जिसकी सीमा $0$ भाग निकलती है। दूसरी ओर, केवल एक बिंदु $0$ जोड़ देने से दोनों निदान एक साथ सुधर जाते हैं: $\intcc{0}{1}$ पर ऐसे हर आच्छादन में कोई ऐसा समुच्चय होना ही पड़ता है जिसमें $0$ हो, और वह पूरा एक आरंभिक खंड निगल लेता है, तथा परिमित समुच्चय शेष पूरा कर देते हैं। प्रमेय 4.20 की दोनों भाषाएँ सदा साथ ही विफल या सफल होती हैं — आच्छादन भाग निकलना ठीक वहीं पकड़ते हैं जहाँ अनुक्रम पकड़ते हैं।

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