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भौतिकी · 术语表

什么是 व्यापकीकृत संवेग, चक्रीय निर्देशांक？

परिभाषा 1.10 विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 3 · 第 1 章 — लाग्रांजियन यांत्रिकी

निर्देशांक $q_i$ का संयुग्मी व्यापकीकृत संवेग है

p_i = \frac{\partial L}{\partial\dot q_i} .

कार्तीय निर्देशांक के लिए यह साधारण संवेग $m\dot x$ है; कोण के लिए यह कोणीय संवेग है। जो निर्देशांक $L$ में प्रकट नहीं होता (यद्यपि उसका वेग होता है), उसे चक्रीय कहते हैं।

示例

उदाहरण 1.12 (केंद्रीय बल, देखते ही हल)

किसी केंद्रीय विभव $E_p(r)$ में एक कण, उसके गति-तल में ध्रुवीय निर्देशांकों में:

L = \tfrac12 m(\dot r^2 + r^2\dot\varphi^2) - E_p(r) .

$\varphi$ चक्रीय है, अतः $p_\varphi = mr^2\dot\varphi$ — कोणीय संवेग — संरक्षित है: केप्लर का क्षेत्रफल-नियम, जिसे वर्ष 1 के खंड ने बल-आघूर्ण के समीकरण से निकाला था, यहाँ कोई भी समीकरण हल किए बिना निकल आता है। शेष त्रिज्य समीकरण $m\ddot r = mr\dot\varphi^2 - E_p'(r)$ है, अर्थात् उसी खंड के प्रभावी विभव $E_p(r) + p_\varphi^2/2mr^2$ में एकविमीय गति।

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