1लाग्रांजियन यांत्रिकी

हल — अभ्यास 1.1.

(क) 2 (कटोरे के पृष्ठ पर दो कोण)। (ख) 1: ढलान के अनुदिश भुज $x$, जिससे घूर्णन-कोण लुढ़कने के कारण बँधा है, $x = R\phi$। (ग) 3: $X$, $\theta_1$, $\theta_2$। (घ) 5: केंद्र के लिए तीन, छड़ की दिशा के लिए दो। (ङ) 2: प्रत्येक के लिए एक कोण। लुढ़कने की शर्त वेगों के बीच का संबंध है, $\dot x = R\dot\phi$; इस समतलीय समस्या में वह तुरंत समाकलित होकर $x = R\phi + \text{अचर}$ बन जाती है, अतः होलोनॉमिक। (किसी समतल पर लुढ़कती गेंद के लिए वह समाकलित नहीं होती, और लाग्रांजियन यांत्रिकी को विस्तार चाहिए।)

हल — अभ्यास 1.2.

(क) $[L] = \mathrm{J}$; $[p_\theta] = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ — एक कोणीय संवेग, क्योंकि $\theta$ विमाहीन है। (ख) $p_\theta = m\ell^2\dot\theta$ धुरी-बिंदु के परितः गोलक का कोणीय संवेग है। (ग) $\ddot\theta = -(g/\ell)\theta$ से $T = 2\pi\sqrt{\ell/g}$। (घ) $E_p$ को साम्यावस्था से नापने पर, हरात्मक दोलन में समय-औसत गतिज और स्थितिज ऊर्जाएँ बराबर होती हैं, अतः पूरे आवर्तकाल पर $\langle L\rangle = 0$ और $S = 0$ — गणना इसकी पुष्टि करती है: $S = \int_0^T\tfrac12 m\ell^2\theta_0^2[\omega^2\sin^2 \omega t - (g/\ell)\cos^2\omega t]\,\dd t = 0$, क्योंकि $\omega^2 = g/\ell$।

हल — अभ्यास 1.3.

(क) $x$ को $m_1$ का नीचे उतरना मानिए (तब $m_2$, $x$ जितना ऊपर उठता है): $L = \tfrac12(m_1 + m_2)\dot x^2 + (m_1 - m_2)gx$। (ख) $(m_1 + m_2)\ddot x = (m_1 - m_2)g$: $a = (m_1 - m_2)g/(m_1 + m_2)$। (ग) तनाव किसी अवितान्य डोरी के दोनों सिरों पर लगता है: किसी भी अनुमत विस्थापन में उसके कार्य कट जाते हैं, इसलिए वह $L$ में कभी नहीं आता। (घ) अकेले $m_1$ पर न्यूटन: $T = m_1(g - a) = 2m_1m_2g/(m_1 + m_2)$।

हल — अभ्यास 1.4.

(क) $\varphi$ और $z$: $p_\varphi = mr^2\dot\varphi$ (अक्ष के परितः कोणीय संवेग) और $p_z = m\dot z$ संरक्षित हैं। (ख) $r$, $L$ में $r^2\dot\varphi^2$ के द्वारा आता है, अतः वह चक्रीय नहीं: $\dot p_r = mr\dot\varphi^2 \neq 0$। इसमें कुछ भी गलत नहीं — $p_r = m\dot r$ किसी अचर सदिश $\vect p$ का त्रिज्य घटक है, और किसी घूमती दिशा के अनुदिश घटक का अचर होना आवश्यक नहीं। (ग) $m\ddot r = mr\dot\varphi^2$: अपकेंद्री पद, उन निर्देशांकों के उपयोग की कीमत जो घूमती दिशाओं से बँधे हैं। (घ) दूरी $b$ पर की उस रेखा के लिए जो चाल $v$ से तय हो: $r = \sqrt{b^2 + v^2t^2}$, $r^2\dot\varphi = bv$; तब $\ddot r = b^2v^2/r^3 = r(bv/r^2)^2 = r\dot\varphi^2$।

हल — अभ्यास 1.5.

(क) गुटके की स्थिति $(X + s\cos\alpha,\ -s\sin\alpha)$, अतः

(ख) $X$ चक्रीय है: $P = (M + m)\dot X + m\dot s\cos\alpha$ संरक्षित है — कुल क्षैतिज संवेग, क्योंकि कोई बाह्य क्षैतिज बल नहीं लगता। (ग) $s$ का समीकरण $\ddot s + \ddot X\cos\alpha = g\sin\alpha$ है; (ख) से $\ddot X = -m\ddot s\cos\alpha/(M + m)$ लेने पर,

(घ) $M \to \infty$: $\ddot s \to g\sin\alpha$, अर्थात् नियत आनत तल; $\alpha \to 90^\circ$: $\ddot s \to g$, $\ddot X \to 0$ — किसी ऊर्ध्वाधर फलक के अनुदिश मुक्त पतन, फाँक बिना धक्के के।

हल — अभ्यास 1.6.

(क) $L = \tfrac12 m\ell^2(\dot\theta^2 + \sin^2\theta\,\dot\varphi^2) + mg\ell\cos\theta$। (ख) $\varphi$ चक्रीय: $p_\varphi = m\ell^2\sin^2\theta\,\dot\varphi$, ऊर्ध्वाधर कोणीय संवेग। (ग) $\dot\varphi$ हटाने पर $\tfrac12 m\ell^2\dot\theta^2 + U_{\text{प्र}}(\theta)$ संरक्षित है, जहाँ

$\theta = 0$ और $\theta = \pi$ पर एक दीवार ($p_\varphi \neq 0$ के लिए) और बीच में एक निम्निष्ठ — गोलक दो वृत्तों के बीच अवचलन करता है। (घ) निम्निष्ठ पर $\dot\theta = 0$ और $\theta = \theta_0$ अचर: $p_\varphi^2\cos\theta_0/m\ell^2\sin^3\theta_0 = mg\ell\sin\theta_0$; इसमें $p_\varphi = m\ell^2\sin^2\theta_0\,\omega$ रखने पर $\ell\omega^2\cos\theta_0 = g$ मिलता है।

हल — अभ्यास 1.7.

(क) गोलक $(X + \ell\sin\theta,\ -\ell\cos\theta)$ पर:

(ख) $X$ चक्रीय: $(M + m)\dot X + m\ell\cos\theta\,\dot\theta$ संरक्षित है — पूरे तंत्र का क्षैतिज संवेग (पटरी केवल ऊर्ध्वाधर दिशा में धकेलती है)। (ग) लघु कोण: $(M + m)\ddot X + m\ell\ddot\theta = 0$ और $\ell\ddot\theta + \ddot X + g\theta = 0$; $\ddot X$ हटाने पर $\ell\ddot\theta\,[1 - m/(M + m)] = -g\theta$, अतः $\Omega^2 = (M + m)g/M\ell = (1 + m/M)\,g/\ell$। (घ) $M \to \infty$: नियत धुरी-बिंदु, $\Omega^2 = g/\ell$। छोटे $M$ पर गाड़ी गोलक के विपरीत पीछे हटती है, और झूलना धुरी से गोलक तक के बीच के किसी बिंदु (नियत द्रव्यमान-केंद्र) के परितः होता है, जिससे प्रभावी लोलक छोटा हो जाता है — इसीलिए आवृत्ति अधिक, जो $M \to 0$ पर अपसरित हो जाती है।

हल — अभ्यास 1.8.

(क) $\vect A = \tfrac12 B(-y, x, 0)$: $L = \tfrac12 m(\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2) + \tfrac12 qB(x\dot y - y\dot x)$। (ख) $x$ का समीकरण: $\dd(m\dot x - \tfrac12 qBy)/\dd t = \tfrac12 qB\dot y$, अर्थात् $m\ddot x = qB\dot y$; इसी प्रकार $m\ddot y = -qB\dot x$: $\omega_{\text{c}} = qB/m$ पर वृत्तीय गति, $\dot z$ अचर। (ग) $p_x = m\dot x - \tfrac12 qBy \neq m\dot x$; न $x$ चक्रीय है न $y$ ($\partial L/\partial x = \tfrac12 qB\dot y$), अतः कोई भी संवेग संरक्षित नहीं — केवल $m\dot x - qBy$ जैसे संयोजन संरक्षित हैं (जाँचिए: उसका अवकलज लुप्त हो जाता है)। (घ) बेलनाकार निर्देशांकों में $A_\varphi = \tfrac12 Br$: $L = \tfrac12 m(\dot r^2 + r^2\dot\varphi^2 + \dot z^2) + \tfrac12 qBr^2\dot\varphi$; $\varphi$ चक्रीय है, $p_\varphi = mr^2\dot\varphi + \tfrac12 qBr^2$। अक्ष पर केंद्रित त्रिज्या $R$ के वृत्त पर $\dot\varphi = -\omega_{\text{c}}$, अतः $p_\varphi = -qBR^2 + \tfrac12 qBR^2 = -\tfrac12 qBR^2$।

हल — अभ्यास 1.9.

(क) $h = \dot\theta\,\partial L/\partial\dot\theta - L = \tfrac12 mR^2\dot\theta^2 - \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta - mgR\cos\theta = \tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + U_{\text{प्र}}$; गति के समीकरण से $\dd h/\dd t = \dot\theta\,[mR^2\ddot\theta + U_{\text{प्र}}'(\theta)] = 0$। (ख) $E = \tfrac12 mR^2\dot\theta^2 + \tfrac12 m\omega^2R^2\sin^2\theta - mgR\cos\theta = h + m\omega^2R^2\sin^2\theta$। (ग) $P = \dd E/\dd t = m\omega^2R^2\sin2\theta\,\dot\theta$: जब तक मनका अक्ष से दूर चढ़ता है तब तक धनात्मक (मोटर मनके के जड़त्व के विरुद्ध कार्य करता है), लौटते समय ऋणात्मक। (घ) $U_{\text{प्र}}'' = mgR\cos\theta - m\omega^2R^2\cos2\theta$; $\cos\theta_{\text{सा}} = g/\omega^2R$ पर यह $m\omega^2R^2\sin^2\theta_{\text{सा}}$ है, अतः $\omega_{\text{दो}} = \omega\sin\theta_{\text{सा}} = \omega\sqrt{1 - (g/\omega^2R)^2} \to 0$, जब $\omega^2 \to g/R$: प्रत्यानयन बल ठीक तभी चपटा पड़ जाता है जब दोनों कूप मिल जाते हैं।

हल — अभ्यास 1.10.

(क) स्थितियाँ $x_2 = \ell(\sin\theta_1 + \sin\theta_2)$ इत्यादि; द्विघात पद रखने पर मिश्रित वेग-पद $m\ell^2\dot\theta_1\dot\theta_2$ है, जो कथित $L$ देता है। (ख) यहाँ $2\ddot\theta_1 + \ddot\theta_2 = -2\omega_0^2\theta_1$ और $\ddot\theta_1 + \ddot\theta_2 = -\omega_0^2\theta_2$, जहाँ $\omega_0^2 = g/\ell$। (ग) $\theta_i = a_i\cos\Omega t$ रखने पर $\det\begin{pmatrix} 2\omega_0^2 - 2\Omega^2 & -\Omega^2\\ -\Omega^2 & \omega_0^2 - \Omega^2\end{pmatrix} = \Omega^4 - 4\omega_0^2\Omega^2 + 2\omega_0^4 = 0$, अतः $\Omega_\pm^2 = (2 \mp \sqrt2)\omega_0^2$; दूसरी पंक्ति से $a_2/a_1 = \Omega^2/(\omega_0^2 - \Omega^2) = \pm\sqrt2$: गोलक साथ-साथ (मंद विधा), गोलक विपरीत (द्रुत विधा)। (घ) बड़े आयाम पर $\sin$ और $\cos$ के युग्मन समीकरणों को अरैखिक बना देते हैं; हल अब अध्यारोपित नहीं होते, और पड़ोसी प्रारंभिक स्थितियाँ चरघातांकी रूप से अलग होती जाती हैं (अराजकता)। ऊर्जा फिर भी ठीक-ठीक संरक्षित है — $L$ में स्पष्ट समय नहीं है — अराजकता पूर्वकथनीयता की बात है, संरक्षण की नहीं।

हल — अभ्यास 1.11.

(क) $v = \sqrt{2gy}$ और $\dd s = \sqrt{1 + y'^2}\,\dd x$ से फलनक मिलता है। (ख) समय के स्थान पर $x$ लेकर प्रतिज्ञप्ति 1.14 की गणना: $\dd h/\dd x = -\partial F/\partial x = 0$। (ग) $h = -1/\sqrt{2gy(1 + y'^2)}$, अतः $y(1 + y'^2) = 2r$। चक्रज के लिए $y' = \sin\phi/(1 - \cos\phi)$ और $1 + y'^2 = 2/(1 - \cos\phi)$, अतः $y(1 + y'^2) = 2r$। (घ) $\dd t = \dd s/v = \sqrt{r/g}\,\dd\phi$ (सारी $\phi$-निर्भरता कट जाती है), अतः तल ($\phi = \pi$) तक $\pi\sqrt{r/g}$ में पहुँचा जाता है — प्रारंभ बिंदु चाहे कोई भी हो: चक्रज समकालिक वक्र भी है। $(\pi r, 2r)$ तक की सीधी ढलान में $\sqrt{\pi^2 + 4}\,\sqrt{r/g} \approx 3.72\sqrt{r/g}$ लगता है, अर्थात् लगभग $18\%$ अधिक, $\pi\sqrt{r/g}$ की तुलना में।

हल — अभ्यास 1.12.

(क) $\dd t = \dd s/(c/n)$। (ख) $h = -n(y)/\sqrt{1 + y'^2}$ संरक्षित है; $1/\sqrt{1 + y'^2} = \cos\theta$ ($\theta$ ढलान-कोण) $= \sin i$, जहाँ $i$ ऊर्ध्वाधर से नापा गया है: $n\sin i = \text{अचर}$ — स्नेल का नियम, संतत रूप से लगाया हुआ। (ग) लगभग क्षैतिज किरण के लिए $n\cos\theta \approx \text{अचर}$, और लघु $\theta$ के साथ यह $\theta\,\dd\theta = \dd n/n \approx \beta\,\dd y$ देता है; चूँकि $\dd y = \theta\,\dd x$, वक्रता $\dd\theta/\dd x = \beta$ है, अर्थात् $R = 1/\beta \approx 83\,\mathrm{km}$, और मुड़ाव ऊपर की ओर (बड़े $n$ की ओर)। (घ) आँख से चली वह किरण जो त्रिज्या $R$ से मुड़कर सड़क की स्पर्शी बनती है, उसे $d = \sqrt{2hR} = \sqrt{2 \times 1.2 \times 8.3e4} \approx 450\,\mathrm{m}$ पर छूती है: उससे आगे सड़क स्वयं दिखाई नहीं देती — दिखता है ऊपर की ओर अपवर्तित आकाश, वही झिलमिलाता “पानी”।