कला चित्र, स्थिर बिंदु, पृथक्कारी वक्र क्या है? — भौतिकी

परिभाषा 2.6 विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 3 · 第 2 章 — हैमिल्टोनियन यांत्रिकी

किसी तंत्र का कला चित्र कला समष्टि में उसके प्रक्षेप-पथों का कुल है। स्थिर बिंदु वह अवस्था है जहाँ दोनों विहित समीकरण लुप्त हो जाते हैं — अर्थात् साम्यावस्था: विभव का निम्निष्ठ एक केंद्र की तरह दिखता है, जिसके चारों ओर बंद वक्र होते हैं, और उच्चिष्ठ एक काठी बिंदु की तरह, जिससे होकर एक पृथक्कारी वक्र गुज़रता है — वह प्रक्षेप-पथ जो कला समष्टि को गुणात्मक रूप से भिन्न गति के क्षेत्रों में बाँट देता है।

लोलक का कला चित्र: H के तलवक्र। बंद अंडाकार (झूले) केंद्र के चारों ओर दक्षिणावर्त परिक्रमा करते हैं; पृथक्कारी वक्र के ऊपर और नीचे लोलक घूमता है। ± 180 पर के काठी बिंदु उलटी साम्यावस्था हैं। — लोलक का कला चित्र: $H$ के तलवक्र। बंद अंडाकार (झूले) केंद्र के चारों ओर दक्षिणावर्त परिक्रमा करते हैं; पृथक्कारी वक्र के ऊपर और नीचे लोलक घूमता है। $\pm 180^\circ$ पर के काठी बिंदु उलटी साम्यावस्था हैं।

示例

उदाहरण 2.7 (लोलक का कला चित्र)

$H = p^2/2m\ell^2 - mg\ell\cos\theta$ के लिए: $(0, 0)$ के चारों ओर बंद अंडाकार — आंदोलन, अर्थात् साधारण झूले; बड़े $|p|$ पर लहरदार वक्र — घूर्णन, जब लोलक शीर्ष के ऊपर से घूम जाता है; और $\theta = \pm\pi$ के काठी बिंदुओं से होकर पृथक्कारी वक्र, जिसकी ऊर्जा $E = +mg\ell$ है और जिस पर लोलक को शीर्ष तक पहुँचने में अनंत समय लगता है। पृथक्कारी वक्र पर की अवस्था वह झूला है जिसे ठीक उतना ही ज़ोर दिया गया है कि वह उलटी स्थिति तक बिना कुछ बचाए पहुँच जाए।

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