अवस्था-समष्टि, केट और कोष्ठक क्या है? — भौतिकी

परिभाषा 8.1 विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 3 · 第 8 章 — क्वांटम यांत्रिकी की औपचारिक रचना

किसी क्वांटम तंत्र की अवस्थाएँ एक आंतरिक गुणनफल वाली सम्मिश्र सदिश समष्टि बनाती हैं — अर्थात् कोई हिल्बर्ट समष्टि $\mathcal H$ (गणित वर्ष 3 के गणित-खंड में विकसित है)। कोई अवस्था एक सदिश है, जिसे केट $\ket\psi$ लिखते हैं, और जो प्रसामान्यित है: $\braket\psi\psi = 1$ । दो अवस्थाओं का आंतरिक गुणनफल सम्मिश्र संख्या $\braket\varphi\psi$ है, जो पहले खाने में संयुग्मी-रैखिक है और जिसमें $\braket\varphi\psi = \braket\psi\varphi^*$ । किसी लांबिक प्रसामान्य आधार $\{\ket{e_i}\}$ में,

\ket\psi = \sum_i c_i\ket{e_i} , \qquad c_i = \braket{e_i}\psi , \qquad \sum_i|c_i|^2 = 1 .

पिछले अध्यायों का तरंग फलन स्थिति के अनुदिश $\ket\psi$ के घटकों का कुल ही है: $\psi(x) = \braket{x}{\psi}$ ; इसमें कुछ भी नहीं खोता, और परिमित अवस्था-समष्टि वाले तंत्र — जिनकी तरंगों के रूप में कल्पना भी नहीं की जा सकती — वर्णनीय हो जाते हैं।

किसी ध्रुवण-अवस्था का सदिश रूप: किसी विश्लेषक के आधार पर उसके घटकों के वर्ग ही परिणामों की प्रायिकताएँ हैं — ज्यामिति, जो प्रायिकता बन गई।

示例

उदाहरण 8.2 (फ़ोटॉन का ध्रुवण: एक द्विविमीय संसार)

$z$ अक्ष के अनुदिश जाता कोई फ़ोटॉन अपना ध्रुवण किसी द्विविमीय हिल्बर्ट समष्टि में ढोता है, जिसका आधार $\ket H$ (क्षैतिज) और $\ket V$ (ऊर्ध्वाधर) है। कोण $\theta$ पर ध्रुवित प्रकाश यह अध्यारोपण है

\ket\theta = \cos\theta\,\ket H + \sin\theta\,\ket V ,

और वृत्तीय ध्रुवण वह सम्मिश्र संयोजन $(\ket H \pm \iu\ket V)/\sqrt2$ है: गुणांकों का सम्मिश्र होना कोई सजावट नहीं, भौतिकी है। हर क्वांटम द्वि-स्तरीय तंत्र — चक्रण, अमोनिया का अणु, कोई अतिचालक क्यूबिट — वही सदिश समष्टि है, बस दूसरे कपड़ों में।

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