8क्वांटम यांत्रिकी की औपचारिक रचना

हल — अभ्यास 8.1.

(क) $(4 + 1)/5 = 1$ और $(1 + 1)/2 = 1$। (ख) $\braket\varphi\psi = (2 - \iu)/\sqrt{10}$; $\braket\psi\varphi = (2 + \iu)/\sqrt{10}$: अर्थात् संयुग्मी। (ग) $|(2 - \iu)|^2/10 = 1/2$। (घ) $\braket\psi\chi = 0$ हल कीजिए: $\ket\chi = (\ket1 - 2\iu\ket2)/\sqrt5$।

हल — अभ्यास 8.2.

पहला: हर्मिटीय; $\pm1$, और $(\ket1 \pm \ket2)/\sqrt2$। दूसरा: हर्मिटीय; $\pm1$, और $(\ket1 \pm \iu\ket2)/\sqrt2$। तीसरा: हर्मिटीय नहीं (उसका पारित-संयुग्मी भिन्न है)। चौथा: हर्मिटीय; $\lambda^2 - 5\lambda + 4 = 0$ से $1$ और $4$ मिलते हैं, जिनके अभिलक्षणिक सदिश $\big({-(1 - \iu)}\ket1 + \ket2\big)/\sqrt3$ और $\big(\ket1 + (1 + \iu)\ket2\big)/\sqrt3$ हैं।

हल — अभ्यास 8.3.

(क) $\braket\beta\alpha = \cos\beta\cos\alpha + \sin\beta\sin\alpha = \cos(\beta - \alpha)$: प्रायिकता $\cos^2(\beta - \alpha)$। (ख) तीव्रता $\propto$ फ़ोटॉनों की संख्या: अर्थात् मैलस। (ग) हर फ़ोटॉन एक स्वतंत्र प्रयास है: प्रसरण $N\mathcal P(1 - \mathcal P)$ — यह कोलाहल स्वयं फ़ोटॉनों का प्रमाण है। (घ) $|\cos\beta + \iu\sin\beta|^2/2 = 1/2$, हर $\beta$ के लिए: वृत्तीय प्रकाश किसी अनुप्रस्थ अक्ष को नहीं चुनता।

हल — अभ्यास 8.4.

(क) $(\hat x\hat p - \hat p\hat x)f = -\iu\hbar(xf' - (xf)') = \iu\hbar f$। (ख) $[\hat x^2, \hat p] = 2\iu\hbar\hat x$; $[\hat x, \hat p^2] = 2\iu\hbar\hat p$। (ग) $\hat B\hat A \hat C$ जोड़िए और घटाइए। (घ) (ग) के साथ आगमन: $\iu\hbar\,n\hat p^{n-1}$ — $[\hat x, \cdot]$, $\iu\hbar\,\partial/\partial p$ की तरह काम करता है, जो $x$ के साथ प्वासों कोष्ठक की क्वांटम छाया है।

हल — अभ्यास 8.5.

(क) $|\braket{45^\circ}{V}|^2 = \tfrac12$, संकुचन, फिर $|\braket{H}{45^\circ}|^2 = \tfrac12$: कुल $\tfrac14$। (ख) उन्हें क्रम $60^\circ$, $30^\circ$ में लेने पर ($30^\circ$ के तीन पग): $(\cos^230^\circ)^3 = 27/64 \approx 0.42$। (ग) हर पग $\pi/2N$ का, जो $\cos^2(\pi/2N)$ से गुज़रता है: उत्तरजीविता $[\cos^2(\pi/2N)]^N = 0.25$, $0.60$, $0.88$, जब $N = 2, 5, 20$। (घ) $N \to \infty$ पर उत्तरजीविता $1$ की ओर जाती है: अनेक कोमल माप अवस्था को बिना किसी हानि के $90^\circ$ तक घुमा ले जाते हैं — माप, जिसे सुकान की तरह काम में लाया गया।

हल — अभ्यास 8.6.

(क) $[\hat A, \hat B] = \begin{pmatrix}0 & -2\\ 2 & 0\end{pmatrix} \neq 0$: असंगत। (ख) $\hat B$, $\ket1$ पर: निश्चय ही $+1$, और कोई संकुचन नहीं चाहिए; फिर $\hat A$, $\pm1$ देता है, प्रायिकता $\tfrac12$ से। (ग) $\hat A \to +1$ के बाद अवस्था $(\ket1 + \ket2)/\sqrt2$ है; $\hat B$ उसे $\ket1$ या $\ket2$ में संकुचित कर देता है (हर एक $\tfrac12$); और दोनों ही स्थितियों में अंतिम $\hat A$, $\pm1$ देता है प्रायिकता $\tfrac12$ से: अतः खंडन की प्रायिकता $\tfrac12$। (घ) क्रमविनिमेय प्रेक्ष्य अभिलक्षणिक अवस्थाएँ बाँटते हैं: तब बीच की माप विक्षोभ न करती, और पुनरावृत्ति निश्चय ही सहमत होती।

हल — अभ्यास 8.7.

(क) $\Delta x = \sigma$ और $\Delta p = \hbar/2\sigma$ (चौड़ाई $\sigma$ की किसी गाउसीय के फूरिये रूपांतर की चौड़ाई $1/2\sigma$ होती है, $k$ में): गुणनफल ठीक $\hbar/2$। (ख) कोशी–श्वार्त्स में समता: $\hat\beta\ket\psi \propto \hat\alpha\ket\psi$, और अनुपात विशुद्ध काल्पनिक — $x, p$ के लिए इस अवकल समीकरण के हल केवल गाउसीय हैं। (ग) $\Delta p \ge 5.3 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $E \sim \Delta p^2/2m_{\text{e}} \approx 1\,\mathrm{eV}$ — परमाणु इलेक्ट्रॉनवोल्ट की मशीनें इसलिए हैं कि वे ऐंग्स्ट्रॉम के संदूक हैं। (घ) $\Delta v \ge 5 \times 10^{-27}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: कुछ भी नहीं, कभी नहीं।

हल — अभ्यास 8.8.

(क) $[\hat H, \hat x] = -\iu\hbar\hat p/m$ और $[\hat H, \hat p] = \iu\hbar V'(\hat x)$ से $\dd\langle x\rangle/\dd t = \langle p\rangle/m$, $\dd\langle p\rangle/\dd t = -\langle V'\rangle$। (ख) आंतरिक गुणनफल में चर-परिवर्तन हर्मिटीयता दिखा देता है; $\hat\Pi^2 = \mathbb 1$ अभिलक्षणिक मान $\pm1$ पर विवश कर देता है। (ग) $V(-x) = V(x)$ होने से $\hat H$ सम-विषमता के प्रति अंधा हो जाता है; तब किसी अ-अपह्रासी अभिलक्षणिक अवस्था को $\hat\Pi$ की भी अभिलक्षणिक अवस्था होना ही पड़ता है: सम या विषम। (घ) सममित द्विकूप का लगभग-अपह्रासी द्विक: एक सम, एक विषम अवस्था — अर्थात् अमोनिया का उत्क्रमण-युग्म, जो सुरंगन से विपाटित है और $24\,\mathrm{GHz}$ पर विकिरित करता है।

हल — अभ्यास 8.9.

(क) दोनों अवस्थाएँ $E$ बाँटती हैं: ऊर्जा बता देने पर भी दो संभावनाएँ बचती हैं। (ख) $\hat S$ नाम आपस में बदल देता है: हर्मिटीय, और उसका वर्ग तत्समक; सममित $\hat H$ के साथ क्रमविनिमेय; और उस स्तर के भीतर उसकी अभिलक्षणिक अवस्थाएँ $(\ket{1,2} \pm \ket{2,1})/\sqrt2$ हैं, जिनके अभिलक्षणिक मान $\pm1$ हैं। (ग) $(E, +)$ और $(E, -)$: अद्वितीय नाम। (घ) कोई भी अपह्रासिता अधूरा पता है; और जो सममिति उसे बनाती है, वही छूटा हुआ अंक भी दे देती है।

हल — अभ्यास 8.10.

(क) $\Delta E\,\Delta A \ge \tfrac12|\langle[\hat H, \hat A]\rangle| = \tfrac\hbar2|\dd\langle A\rangle/\dd t|$; अब भाग दीजिए। (ख) काल इस सिद्धांत का एक प्राचल है, कोई संकारक नहीं: यह संबंध बाँधता है कि दी गई ऊर्जा-फैलाव के साथ कोई भी मापनीय वस्तु कितनी तेज़ी से विकसित हो सकती है। (ग) $\Delta E \sim \hbar/2\tau = 3.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$: अर्थात् कुछ मेगाहर्ट्ज़ की प्राकृतिक रेखा-चौड़ाई। (घ) प्रति सेकंड कोई दिखाई देने लायक परिवर्तन केवल $\Delta E \gtrsim 5 \times 10^{-35}\,\mathrm{J}$ माँगता है — स्थूल ऊर्जाओं के लिए कोई प्रतिबंध ही नहीं: घड़ियाँ टिक-टिक कर सकती हैं।

हल — अभ्यास 8.11.

(क) $\|\hat\alpha\psi\|^2 = \braket{\psi}{\hat\alpha^2\psi} = \Delta A^2$, क्योंकि $\hat\alpha$ हर्मिटीय है। (ख) $\braket{\hat\alpha \psi}{\hat\beta\psi} = \tfrac12\langle\{\hat\alpha, \hat\beta\}\rangle + \tfrac12\langle[\hat A, \hat B]\rangle$: पहला पद वास्तविक है (हर्मिटीय भाग), दूसरा विशुद्ध काल्पनिक। (ग) $|z|^2 \ge (\operatorname{Im}z)^2$ प्रमेय दे देता है; और समता के लिए सदिशों का अनुक्रमानुपाती होना तथा प्रति-क्रमविनिमेयक का औसत शून्य होना, दोनों चाहिए। (घ) $\hat A$ की किसी अभिलक्षणिक अवस्था का $\Delta A = 0$ होता है, जिससे $0 \ge \hbar/2$ बन जाता — प्रसामान्यनीय अवस्थाओं के लिए असंभव। समतल तरंगें उसे “पा” लेती हैं, पर केवल इसलिए कि वे अ-प्रसामान्यनीय आदर्शीकरण हैं, जो हिल्बर्ट समष्टि के बाहर हैं।

हल — अभ्यास 8.12.

(क) $\omega t = \pi/2$ पर, अर्थात् $t = T$ पर। (ख) हर जाँच पर अवस्था $\pi/2N$ जितनी घूम चुकी होती है; वह $\ket1$ में $\cos^2(\pi/2N)$ से मिलती है और संकुचित होकर वापस $\ket1$ बन जाती है; जाँचें स्वतंत्र हैं, अतः गुणनफल। (ग) $0$, $0.53$, $0.88$, $0.98$: पर्याप्त पास से देखी जाए तो हाँडी कभी नहीं उबलती। (घ) प्रक्षेप-अभिगृहीत (अ5): हर प्रेक्षण विकास को उसकी आरंभ-रेखा पर लौटा देता है।