¿Qué es Raíces de la unidad? — Matemáticas

Definición 28.14 Matemáticas de secundaria · Capítulo 28 — Números complejos

Para $n \geq 1$ , las raíces $n$ -ésimas de la unidad son las soluciones de $z^n = 1$ .

Las raíces quintas de la unidad, con = 2 π/5: los vértices de un pentágono regular inscrito en la circunferencia unidad (). — Las raíces quintas de la unidad, con $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ : los vértices de un pentágono regular inscrito en la circunferencia unidad (Ejercicio 28.10).

Definición 3.17 Matemáticas universitarias — Grado 1 · Capítulo 3 — Números complejos

Las raíces $n$ -ésimas de la unidad son las soluciones de $z^n = 1$ :

\mathbb{U}_n = \bigl\{\, \omega^k : k = 0, \dots, n-1 \,\bigr\}, \qquad \omega = \eu^{2\iu\pi/n}.

Forman un grupo con la multiplicación (Capítulo 7) y se sitúan en los vértices de un $n$ -ágono regular inscrito en la circunferencia unidad.

Las raíces quintas de la unidad, = 2 π/5: un pentágono regular sobre la circunferencia unidad. — Las raíces quintas de la unidad, $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ : un pentágono regular sobre la circunferencia unidad.

Ejemplos

Ejemplo 3.20 (Raíces cuadradas en forma algebraica)

Para resolver $z^2 = 3 + 4\iu$ sin trigonometría, póngase $z = x + \iu y$ :

x^2 - y^2 = 3, \qquad 2xy = 4, \qquad x^2 + y^2 = \abs{3 + 4\iu} = 5 .

Sumando la primera y la última: $x^2 = 4$ , luego $x = \pm 2$ , y entonces $y = 2/x = \pm 1$ con el mismo emparejamiento de signos ( $xy = 2 > 0$ ): $z = \pm(2 + \iu)$ . Combinado con la fórmula habitual, esto resuelve toda ecuación de segundo grado con coeficientes complejos (Ejercicio 3.7).

Ejemplo 3.16 (Un miembro derecho no real)

Resuélvase $z^4 = -8 + 8\iu\sqrt3$ . Forma exponencial del miembro derecho: módulo $\sqrt{64 + 192} = 16$ y argumento $\theta$ con $\cos\theta = -\frac12$ , $\sin\theta = \frac{\sqrt3}2$ , es decir, $\theta = \frac{2\pi}3$ . Las cuatro raíces son

z_k = 2\,\eu^{\iu(\frac\pi6 + \frac{k\pi}2)}, \quad k = 0, 1, 2, 3 : \qquad z_0 = \sqrt3 + \iu,\quad z_1 = \iu z_0 = -1 + \iu\sqrt3,

z_2 = -z_0 = -\sqrt3 - \iu,\qquad z_3 = -\iu z_0 = 1 - \iu\sqrt3 .

(Comprobación: $z_0^2 = 2 + 2\iu\sqrt3$ , luego $z_0^4 = (2 + 2\iu\sqrt3)^2 = 4 - 12 + 8\iu\sqrt3 = -8 + 8\iu\sqrt3$ .) Una vez hallada una raíz, las otras tres salen gratis: son sus rotaciones sucesivas de $\frac\pi2$ , es decir, sus productos por las raíces cuartas de la unidad — la estructura general que hay detrás del Teorema 3.14, y que conviene aprovechar antes de recalcular cada raíz desde cero. Esta vez no hay simetría de conjugación: el miembro derecho no es real.

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