इकाई के मूल क्या है?

उदाहरण 3.20 (बीजीय रूप में वर्गमूल)

त्रिकोणमिति के बिना $z^2 = 3 + 4\iu$ हल करने के लिए $z = x + \iu y$ रखिए:

पहले और अंतिम को जोड़ने पर $x^2 = 4$, अतः $x = \pm 2$, फिर उसी चिह्न-युग्मन ($xy = 2 > 0$) के साथ $y = 2/x = \pm 1$: $z = \pm(2 + \iu)$। सामान्य सूत्र के साथ मिलाकर यह सम्मिश्र गुणांकों वाला हर द्विघात समीकरण हल कर देता है (अभ्यास 3.7)।

उदाहरण 3.16 (अवास्तविक दायाँ पक्ष)

$z^4 = -8 + 8\iu\sqrt3$ हल कीजिए। दाएँ पक्ष का चरघातांकी रूप: मापांक $\sqrt{64 + 192} = 16$, कोणांक $\theta$, जहाँ $\cos\theta = -\frac12$, $\sin\theta = \frac{\sqrt3}2$, अर्थात् $\theta = \frac{2\pi}3$। चारों मूल हैं

(जाँच: $z_0^2 = 2 + 2\iu\sqrt3$, अतः $z_0^4 = (2 + 2\iu\sqrt3)^2 = 4 - 12 + 8\iu\sqrt3 = -8 + 8\iu\sqrt3$।) एक बार कोई एक मूल मिल जाए तो शेष तीन मुफ़्त में मिल जाते हैं: वे $\frac\pi2$ से उसके क्रमिक घूर्णन हैं, अर्थात् इकाई के चौथे मूलों से उसके गुणनफल — प्रमेय 3.14 के पीछे की सामान्य संरचना, जिसका उपयोग हर मूल को नए सिरे से संगणित करने से पहले कर लेना चाहिए। इस बार संयुग्मी सममिति नहीं है: दायाँ पक्ष वास्तविक नहीं है।