Wat is Eenheidswortels? — Wiskunde

Definitie 28.14 Wiskunde bovenbouw · Hoofdstuk 28 — Complexe getallen

Voor $n \geq 1$ zijn de $n$ -de eenheidswortels de oplossingen van $z^n = 1$ .

De vijfde eenheidswortels, = 2 π/5: de hoekpunten van een regelmatige vijfhoek ingeschreven in de eenheidscirkel (). — De vijfde eenheidswortels, $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ : de hoekpunten van een regelmatige vijfhoek ingeschreven in de eenheidscirkel (Oefening 28.10).

Definitie 3.17 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Hoofdstuk 3 — Complexe getallen

De $n$ -de eenheidswortels zijn de oplossingen van $z^n = 1$ :

\mathbb{U}_n = \bigl\{\, \omega^k : k = 0, \dots, n-1 \,\bigr\}, \qquad \omega = \eu^{2\iu\pi/n}.

Ze vormen een groep onder de vermenigvuldiging (Hoofdstuk 7) en liggen op de hoekpunten van een regelmatige $n$ -hoek ingeschreven in de eenheidscirkel.

De vijfde eenheidswortels, = 2 π/5: een regelmatige vijfhoek op de eenheidscirkel. — De vijfde eenheidswortels, $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ : een regelmatige vijfhoek op de eenheidscirkel.

Voorbeelden

Voorbeeld 3.20 (Vierkantswortels in algebraïsche vorm)

Om $z^2 = 3 + 4\iu$ zonder goniometrie op te lossen, zet je $z = x + \iu y$ :

x^2 - y^2 = 3, \qquad 2xy = 4, \qquad x^2 + y^2 = \abs{3 + 4\iu} = 5 .

De eerste en de laatste optellen geeft $x^2 = 4$ , dus $x = \pm 2$ , en dan $y = 2/x = \pm 1$ met hetzelfde tekenpaar (want $xy = 2 > 0$ ): $z = \pm(2 + \iu)$ . Samen met de gebruikelijke formule lost dit elke vierkantsvergelijking met complexe coëfficiënten op (Oefening 3.7).

Voorbeeld 3.16 (Een niet-reëel rechterlid)

Los $z^4 = -8 + 8\iu\sqrt3$ op. Exponentiële vorm van het rechterlid: modulus $\sqrt{64 + 192} = 16$ , en argument $\theta$ met $\cos\theta = -\frac12$ en $\sin\theta = \frac{\sqrt3}2$ , dus $\theta = \frac{2\pi}3$ . De vier wortels zijn

z_k = 2\,\eu^{\iu(\frac\pi6 + \frac{k\pi}2)}, \quad k = 0, 1, 2, 3 : \qquad z_0 = \sqrt3 + \iu,\quad z_1 = \iu z_0 = -1 + \iu\sqrt3,

z_2 = -z_0 = -\sqrt3 - \iu,\qquad z_3 = -\iu z_0 = 1 - \iu\sqrt3 .

(Controle: $z_0^2 = 2 + 2\iu\sqrt3$ , dus $z_0^4 = (2 + 2\iu\sqrt3)^2 = 4 - 12 + 8\iu\sqrt3 = -8 + 8\iu\sqrt3$ .) Zodra één wortel gevonden is, komen de drie andere er gratis bij: het zijn haar opeenvolgende draaiingen over $\frac\pi2$ , dat wil zeggen haar producten met de vierde eenheidswortels — de algemene structuur achter Stelling 3.14, die je beter benut dan elke wortel opnieuw uit te rekenen. Ditmaal is er geen toegevoegde symmetrie: het rechterlid is niet reëel.

Lees in het hoofdstuk →