ما معنى جذور الوحدة؟

مثال 3.20 (الجذور التربيعية في الشكل الجبري)

لحلّ $z^2 = 3 + 4\iu$ دون مثلثات، ضع $z = x + \iu y$:

وبجمع الأولى والأخيرة: $x^2 = 4$، ومنه $x = \pm 2$، ثم $y = 2/x = \pm 1$ مع اقتران الإشارتين نفسه (إذ $xy = 2 > 0$): $z = \pm(2 + \iu)$. وبضمّ ذلك إلى الصيغة المعتادة، يُحلّ كل معادلة من الدرجة الثانية ذات معاملات عقدية (التمرين 3.7).

مثال 3.16 (طرف أيمن غير حقيقي)

حُلَّ $z^4 = -8 + 8\iu\sqrt3$. الشكل الأسّي للطرف الأيمن: المقياس $\sqrt{64 + 192} = 16$، والعمدة $\theta$ حيث $\cos\theta = -\frac12$ و$\sin\theta = \frac{\sqrt3}2$، أي $\theta = \frac{2\pi}3$. والجذور الأربعة هي

(وللتحقق: $z_0^2 = 2 + 2\iu\sqrt3$، ومنه $z_0^4 = (2 + 2\iu\sqrt3)^2 = 4 - 12 + 8\iu\sqrt3 = -8 + 8\iu\sqrt3$.) وبمجرد العثور على جذر واحد تأتي الثلاثة الأخرى مجانًا: فهي دوراناته المتتالية بالزاوية $\frac\pi2$، أي جداءاته بالجذور الرابعة للوحدة — وهو البناء العام وراء المبرهنة 3.14، ويجدر استغلاله قبل إعادة حساب كل جذر من الصفر. ولا تناظر مترافق هذه المرة: فالطرف الأيمن ليس حقيقيًا.