Qu'est-ce que « Racines de l’unité » ? — Mathématiques

Définition 28.14 Mathématiques du lycée · Chapitre 28 — Nombres complexes

Pour $n \geq 1$ , les racines $n$ -ièmes de l’unité sont les solutions de $z^n = 1$ .

Les racines cinquièmes de l’unité, = 2 π/5 : les sommets d’un pentagone régulier inscrit dans le cercle unité (). — Les racines cinquièmes de l’unité, $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ : les sommets d’un pentagone régulier inscrit dans le cercle unité (Exercice 28.10).

Définition 3.17 Mathématiques universitaires — Licence 1 · Chapitre 3 — Nombres complexes

Les racines $n$ -ièmes de l’unité sont les solutions de $z^n = 1$ :

\mathbb{U}_n = \bigl\{\, \omega^k : k = 0, \dots, n-1 \,\bigr\}, \qquad \omega = \eu^{2\iu\pi/n}.

Elles forment un groupe pour la multiplication (Chapitre 7) et occupent les sommets d’un $n$ -gone régulier inscrit dans le cercle unité.

Les racines cinquièmes de l’unité, = 2 π/5 : un pentagone régulier sur le cercle unité. — Les racines cinquièmes de l’unité, $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ : un pentagone régulier sur le cercle unité.

Exemples

Exemple 3.20 (Racines carrées sous forme algébrique)

Pour résoudre $z^2 = 3 + 4\iu$ sans trigonométrie, posons $z = x + \iu y$ :

x^2 - y^2 = 3, \qquad 2xy = 4, \qquad x^2 + y^2 = \abs{3 + 4\iu} = 5 .

En ajoutant la première et la dernière : $x^2 = 4$ , donc $x = \pm 2$ , puis $y = 2/x = \pm 1$ avec le même appariement de signes ( $xy = 2 > 0$ ) : $z = \pm(2 + \iu)$ . Combiné à la formule usuelle, cela résout toute équation du second degré à coefficients complexes (Exercice 3.7).

Exemple 3.16 (Un second membre non réel)

Résolvons $z^4 = -8 + 8\iu\sqrt3$ . Forme exponentielle du second membre : module $\sqrt{64 + 192} = 16$ , argument $\theta$ avec $\cos\theta = -\frac12$ , $\sin\theta = \frac{\sqrt3}2$ , c’est-à-dire $\theta = \frac{2\pi}3$ . Les quatre racines sont

z_k = 2\,\eu^{\iu(\frac\pi6 + \frac{k\pi}2)}, \quad k = 0, 1, 2, 3 : \qquad z_0 = \sqrt3 + \iu,\quad z_1 = \iu z_0 = -1 + \iu\sqrt3,

z_2 = -z_0 = -\sqrt3 - \iu,\qquad z_3 = -\iu z_0 = 1 - \iu\sqrt3 .

(Vérification : $z_0^2 = 2 + 2\iu\sqrt3$ , donc $z_0^4 = (2 + 2\iu\sqrt3)^2 = 4 - 12 + 8\iu\sqrt3 = -8 + 8\iu\sqrt3$ .) Dès qu’une racine est trouvée, les trois autres viennent gratuitement : ce sont ses images par les rotations successives d’angle $\frac\pi2$ , autrement dit ses produits par les racines quatrièmes de l’unité — c’est la structure générale sous-jacente au Théorème 3.14, qu’il vaut mieux exploiter que de recalculer chaque racine depuis le début. Pas de symétrie par conjugaison cette fois : le second membre n’est pas réel.

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