O que é Raízes da unidade? — Matemática

Definição 28.14 Matemática do ensino médio · Capítulo 28 — Números complexos

Para $n \geq 1$ , as raízes $n$ -ésimas da unidade são as soluções de $z^n = 1$ .

As raízes quintas da unidade, = 2 π/5: os vértices de um pentágono regular inscrito no círculo de raio 1 (). — As raízes quintas da unidade, $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ : os vértices de um pentágono regular inscrito no círculo de raio $1$ (Exercício 28.10).

Definição 3.17 Matemática universitária — Graduação 1 · Capítulo 3 — Números Complexos

As raízes $n$ -ésimas da unidade são as soluções de $z^n = 1$ :

\mathbb{U}_n = \bigl\{\, \omega^k : k = 0, \dots, n-1 \,\bigr\}, \qquad \omega = \eu^{2\iu\pi/n}.

Elas formam um grupo com a multiplicação (Capítulo 7) e ocupam os vértices de um $n$ -ágono regular inscrito no círculo unitário.

As raízes quintas da unidade, = 2 π/5: um pentágono regular no círculo unitário. — As raízes quintas da unidade, $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ : um pentágono regular no círculo unitário.

Exemplos

Exemplo 3.20 (Raízes quadradas na forma algébrica)

Para resolver $z^2 = 3 + 4\iu$ sem trigonometria, ponha $z = x + \iu y$ :

x^2 - y^2 = 3, \qquad 2xy = 4, \qquad x^2 + y^2 = \abs{3 + 4\iu} = 5 .

Somando a primeira e a última: $x^2 = 4$ , logo $x = \pm 2$ , e então $y = 2/x = \pm 1$ com o mesmo pareamento de sinais ( $xy = 2 > 0$ ): $z = \pm(2 + \iu)$ . Combinado com a fórmula usual, isso resolve toda equação do segundo grau com coeficientes complexos (Exercício 3.7).

Exemplo 3.16 (Um lado direito não real)

Resolva $z^4 = -8 + 8\iu\sqrt3$ . Forma exponencial do lado direito: módulo $\sqrt{64 + 192} = 16$ , argumento $\theta$ com $\cos\theta = -\frac12$ , $\sin\theta = \frac{\sqrt3}2$ , isto é, $\theta = \frac{2\pi}3$ . As quatro raízes são

z_k = 2\,\eu^{\iu(\frac\pi6 + \frac{k\pi}2)}, \quad k = 0, 1, 2, 3 : \qquad z_0 = \sqrt3 + \iu,\quad z_1 = \iu z_0 = -1 + \iu\sqrt3,

z_2 = -z_0 = -\sqrt3 - \iu,\qquad z_3 = -\iu z_0 = 1 - \iu\sqrt3 .

(Verificação: $z_0^2 = 2 + 2\iu\sqrt3$ , logo $z_0^4 = (2 + 2\iu\sqrt3)^2 = 4 - 12 + 8\iu\sqrt3 = -8 + 8\iu\sqrt3$ .) Uma vez encontrada uma raiz, as outras três saem de graça: são as suas rotações sucessivas de $\frac\pi2$ , isto é, os seus produtos pelas raízes quartas da unidade — a estrutura geral por trás do Teorema 3.14, que vale explorar antes de recalcular cada raiz do zero. Desta vez não há simetria conjugada: o lado direito não é real.

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