Apa itu Barisan konvergen? — Matematika

Definisi 20.10 Matematika Sekolah Menengah Atas · Bab 20 — Barisan

Sebuah barisan $(u_n)$ konvergen ke bilangan real $\ell$ bila setiap interval terbuka yang memuat $\ell$ memuat semua suku $u_n$ mulai dari suatu indeks. Kita lalu tulis $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = \ell$ .

Setara dengan itu: untuk setiap $\varepsilon > 0$ , ada $N \in \N$ sehingga untuk semua $n \geq N$ berlaku $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon$ .

Kekonvergenan u_n = 2 + (-1)n/n ke = 2: diberikan > 0, semua suku mulai dari indeks N terletak dalam pita [ - , + ]. — Kekonvergenan $u_n = 2 + \frac{(-1)^n}{n}$ ke $\ell = 2$ : diberikan $\varepsilon > 0$ , semua suku mulai dari indeks $N$ terletak dalam pita $\intcc{\ell-\varepsilon}{\ell+\varepsilon}$ .

Contoh

Contoh 20.22

Misalkan $u_0 = 2$ dan $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right)$ . Dengan induksi diperiksa bahwa $u_n \geq \sqrt{2}$ untuk semua $n$ (ketaksamaan $\frac{1}{2}(x + 2/x) \geq \sqrt{2}$ untuk $x>0$ setara dengan $(x - \sqrt2)^2 \geq 0$ ), lalu bahwa $(u_n)$ turun, sebab

u_{n+1}-u_n=\frac{2-u_n^2}{2u_n}\leq 0 .

Karena turun dan terbatas di bawah, $(u_n)$ konvergen ke suatu $\ell \geq \sqrt{2}$ , yang pasti memenuhi $\ell = \frac{1}{2}(\ell + 2/\ell)$ , yaitu $\ell^2 = 2$ . Jadi $u_n \to \sqrt{2}$ . Inilah algoritme Heron, yang sudah dipakai orang Babilonia; kekonvergenannya sangat cepat ( $u_3$ sudah memberi $\sqrt 2$ sampai delapan angka desimal).

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait