Qu'est-ce que « Suite convergente » ? — Mathématiques

Définition 20.10 Mathématiques du lycée · Chapitre 20 — Suites

Une suite $(u_n)$ converge vers le nombre réel $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes $u_n$ à partir d’un certain rang. On écrit alors $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = \ell$ .

De façon équivalente : pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe $N \in \N$ tel que pour tout $n \geq N$ , $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon$ .

Convergence de u_n = 2 + (-1)n/n vers = 2 : pour > 0 donné, tous les termes à partir de l’indice N sont dans la bande [ - , + ]. — Convergence de $u_n = 2 + \frac{(-1)^n}{n}$ vers $\ell = 2$ : pour $\varepsilon > 0$ donné, tous les termes à partir de l’indice $N$ sont dans la bande $\intcc{\ell-\varepsilon}{\ell+\varepsilon}$ .

Exemples

Exemple 20.22

Soit $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right)$ . On vérifie par récurrence que $u_n \geq \sqrt{2}$ pour tout $n$ (l’inégalité $\frac{1}{2}(x + 2/x) \geq \sqrt{2}$ pour $x>0$ équivaut à $(x - \sqrt2)^2 \geq 0$ ), puis que $(u_n)$ est décroissante, car

u_{n+1}-u_n=\frac{2-u_n^2}{2u_n}\leq 0 .

Décroissante et minorée, $(u_n)$ converge vers un certain $\ell \geq \sqrt{2}$ , qui doit satisfaire $\ell = \frac{1}{2}(\ell + 2/\ell)$ , c’est-à-dire $\ell^2 = 2$ . D’où $u_n \to \sqrt{2}$ . C’est l’algorithme d’Héron, déjà utilisé par les Babyloniens ; sa convergence est extrêmement rapide ( $u_3$ donne déjà $\sqrt 2$ à huit décimales).

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Exemples

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