Qu'est-ce que « Suite convergente » ?

Exemple 20.22

Soit $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right)$. On vérifie par récurrence que $u_n \geq \sqrt{2}$ pour tout $n$ (l’inégalité $\frac{1}{2}(x + 2/x) \geq \sqrt{2}$ pour $x>0$ équivaut à $(x - \sqrt2)^2 \geq 0$), puis que $(u_n)$ est décroissante, car

Décroissante et minorée, $(u_n)$ converge vers un certain $\ell \geq \sqrt{2}$, qui doit satisfaire $\ell = \frac{1}{2}(\ell + 2/\ell)$, c’est-à-dire $\ell^2 = 2$. D’où $u_n \to \sqrt{2}$. C’est l’algorithme d’Héron, déjà utilisé par les Babyloniens ; sa convergence est extrêmement rapide ($u_3$ donne déjà $\sqrt 2$ à huit décimales).