ما معنى المتتالية المتقاربة؟

مثال 20.22

ليكن $u_0 = 2$ و $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right)$. ويُتحقق بالتراجع من أن $u_n \geq \sqrt{2}$ من أجل كل $n$ (فالمتراجحة $\frac{1}{2}(x + 2/x) \geq \sqrt{2}$ من أجل $x>0$ تكافئ $(x - \sqrt2)^2 \geq 0$)، ثم من أن $(u_n)$ متناقصة، إذ

وبما أنها متناقصة ومحدودة من الأسفل، فإن $(u_n)$ تتقارب إلى $\ell \geq \sqrt{2}$ ما، ولا بد أن يحقق $\ell = \frac{1}{2}(\ell + 2/\ell)$، أي $\ell^2 = 2$. ومنه $u_n \to \sqrt{2}$. وهذه خوارزمية هيرون، وقد استعملها البابليون من قبل؛ وتقاربها سريع جدًا ($u_3$ يعطي $\sqrt 2$ بثمانية أرقام عشرية أصلًا).