O que é Sequência convergente? — Matemática

Definição 20.10 Matemática do ensino médio · Capítulo 20 — Sequências

Uma sequência $(u_n)$ converge para o número real $\ell$ se todo intervalo aberto que contém $\ell$ contém todos os termos $u_n$ a partir de um certo índice. Escrevemos então $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = \ell$ .

Equivalentemente: para todo $\varepsilon > 0$ , existe $N \in \N$ tal que, para todo $n \geq N$ , $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon$ .

Convergência de u_n = 2 + (-1)n/n para = 2: dado > 0, todos os termos a partir do índice N ficam na faixa [ - , + ]. — Convergência de $u_n = 2 + \frac{(-1)^n}{n}$ para $\ell = 2$ : dado $\varepsilon > 0$ , todos os termos a partir do índice $N$ ficam na faixa $\intcc{\ell-\varepsilon}{\ell+\varepsilon}$ .

Exemplos

Exemplo 20.22

Sejam $u_0 = 2$ e $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right)$ . Verifica-se por indução que $u_n \geq \sqrt{2}$ para todo $n$ (a desigualdade $\frac{1}{2}(x + 2/x) \geq \sqrt{2}$ para $x>0$ equivale a $(x - \sqrt2)^2 \geq 0$ ) e, em seguida, que $(u_n)$ é decrescente, pois

u_{n+1}-u_n=\frac{2-u_n^2}{2u_n}\leq 0 .

Decrescente e limitada inferiormente, $(u_n)$ converge para algum $\ell \geq \sqrt{2}$ , que deve satisfazer $\ell = \frac{1}{2}(\ell + 2/\ell)$ , isto é, $\ell^2 = 2$ . Logo $u_n \to \sqrt{2}$ . Esse é o algoritmo de Heron, já usado pelos babilônios; sua convergência é extremamente rápida ( $u_3$ já dá $\sqrt 2$ com oito casas decimais corretas).

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Exemplos

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