O que é Sequência convergente?

Exemplo 20.22

Sejam $u_0 = 2$ e $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right)$. Verifica-se por indução que $u_n \geq \sqrt{2}$ para todo $n$ (a desigualdade $\frac{1}{2}(x + 2/x) \geq \sqrt{2}$ para $x>0$ equivale a $(x - \sqrt2)^2 \geq 0$) e, em seguida, que $(u_n)$ é decrescente, pois

Decrescente e limitada inferiormente, $(u_n)$ converge para algum $\ell \geq \sqrt{2}$, que deve satisfazer $\ell = \frac{1}{2}(\ell + 2/\ell)$, isto é, $\ell^2 = 2$. Logo $u_n \to \sqrt{2}$. Esse é o algoritmo de Heron, já usado pelos babilônios; sua convergência é extremamente rápida ($u_3$ já dá $\sqrt 2$ com oito casas decimais corretas).