Bentuk eksak dan bentuk tertutup কী?

Contoh 20.7 (Membangun ulang sebuah potensial)

Misalkan $\omega = y\,\eu^{xy}\,\dd x + (x\,\eu^{xy} + 2y)\,\dd y$ pada $\R^2$. Ia tertutup: sebab kedua turunan silangnya sama dengan $\eu^{xy}(1 + xy)$. Untuk mencari potensialnya, integralkan $P$ dalam $x$ dengan $y$ yang tetap:

lalu sesuaikan $c$ dengan mencocokkan $f_y$: sebab $x\,\eu^{xy} + c'(y) = x\,\eu^{xy} + 2y$ memberi $c(y) = y^2$. Jadi $f(x,y) = \eu^{xy} + y^2$, dan untuk sembarang busur $\mathcal C^1$ sepotong-sepotong dari $(0,0)$ ke $(1,1)$,

yang tak bergantung pada lintasannya — jadi resep dua langkahnya (yakni integralkan dalam $x$, lalu koreksi dalam $y$) merupakan konvers praktis Teorema 20.6 pada daerah tempat bentuk tertutupnya bersifat eksak.

Contoh 20.8 (Tertutup tak mengakibatkan eksak)

Pada $U = \R^2 \setminus \{0\}$, bentuk sudutnya

bersifat tertutup (lewat perhitungan langsung: sebab $P_y$ maupun $Q_x$ sama dengan $\frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}$), tetapi integralnya sepanjang lingkaran satuannya adalah $2\pi \neq 0$ (yakni perhitungan yang sama seperti pada Contoh 20.3, dibagi $1$): jadi $\omega$ tak eksak pada $U$. Secara lokal, $\omega = \dd\theta$ untuk sebuah penentuan $\theta$ bagi sudut kutubnya; jadi kegagalannya bersifat global — sebab sudutnya tak dapat didefinisikan secara kontinu mengelilingi tusukannya. Adapun pada daerah tanpa lubang patologinya lenyap: sebab pada himpunan terbuka yang berbentuk bintang, setiap bentuk $\mathcal{C}^1$ yang tertutup bersifat eksak (yakni lema Poincaré, Latihan 20.8).