Matematika Sekolah Menengah Atas · Grades 10–12

21Limit dan Kekontinuan

Bab ini memperluas gagasan limit dari barisan ke fungsi dari satu peubah real, lalu memperkenalkan kekontinuan. Hasil utamanya adalah teorema nilai antara, yang mengubah keterangan kualitatif (“ $f$ kontinu dan berganti tanda”) menjadi keberadaan penyelesaian sebuah persamaan.

21.1 Limit fungsi

Di sepanjang bab ini, $f$ adalah fungsi yang terdefinisi pada sebuah interval atau gabungan interval $D \subseteq \R$ .

Definisi 21.1 (Limit di takhingga)

Misalkan $f$ terdefinisi pada interval $\intco{a}{+\infty}$ dan $\ell \in \R$ . Kita katakan bahwa $f$ menuju $\ell$ di $+\infty$ , ditulis $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ , bila setiap interval terbuka yang memuat $\ell$ memuat semua nilai $f(x)$ untuk $x$ yang cukup besar: untuk setiap $\varepsilon > 0$ ada $A$ sehingga untuk semua $x \geq A$ berlaku $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ .

Kita katakan $f$ menuju $+\infty$ di $+\infty$ bila untuk setiap $M \in \R$ ada $A$ sehingga $f(x) \geq M$ untuk semua $x \geq A$ . Limit di $-\infty$ dan limit yang sama dengan $-\infty$ didefinisikan secara serupa.

Definisi 21.2 (Limit di sebuah titik)

Misalkan $a \in \R$ dan misalkan $f$ terdefinisi di dekat $a$ (kecuali mungkin di $a$ ). Kita katakan bahwa $f$ menuju $\ell \in \R$ di $a$ , ditulis $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell$ , bila untuk setiap $\varepsilon > 0$ ada $\delta > 0$ sehingga untuk semua $x \in D$ dengan $\abs{x - a} \leq \delta$ berlaku $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ .

Kita katakan $f$ menuju $+\infty$ di $a$ bila untuk setiap $M$ ada $\delta > 0$ sehingga $f(x) \geq M$ setiap kali $x \in D$ dan $\abs{x - a} \leq \delta$ . Limit sepihak ( $x \to a^+$ , $x \to a^-$ ) membatasi $x$ pada $x > a$ atau $x < a$ .

Contoh 21.3

$\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{1}{x} = 0$ , $\lim\limits_{x\to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ , $\lim\limits_{x\to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$ . Fungsi $x \mapsto \frac1x$ tidak berlimit (dua pihak) di $0$ .

Definisi 21.4 (Asimtot)

Garis $y = \ell$ disebut asimtot mendatar kurva $f$ di $+\infty$ (masing-masing $-\infty$ ) bila $\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ (masing-masing di $-\infty$ ). Garis $x = a$ disebut asimtot tegak bila $f$ mempunyai limit sepihak yang takhingga di $a$ .

Kurva f(x) = 2 + 1/x-1 beserta asimtot mendatarnya y = 2 (di ±∈fty) dan asimtot tegaknya x = 1. — Kurva $f(x) = 2 + \frac{1}{x-1}$ beserta asimtot mendatarnya $y = 2$ (di $\pm\infty$ ) dan asimtot tegaknya $x = 1$ .

Proposisi 21.5 (Operasi pada limit)

Aturan Proposisi 20.14 (jumlah, hasil kali, hasil bagi) berlaku kata demi kata untuk limit fungsi, di sebuah titik atau di takhingga, dengan keempat bentuk taktentu yang sama $(+\infty)+(-\infty)$ , $0\times\infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\frac{0}{0}$ .

Bukti. Buktinya sama persis dengan kasus barisan, dengan mengganti “untuk $n \geq N$ ” oleh “untuk $x \geq A$ ” atau “untuk $\abs{x-a} \leq \delta$ ”. ∎

Teorema 21.6 (Limit sebuah komposisi)

Misalkan $f, g$ dua fungsi dan $a, b, c$ bilangan real atau $\pm\infty$ . Jika $\lim\limits_{x \to a} f(x) = b$ dan $\lim\limits_{y \to b} g(y) = c$ , maka

\lim_{x \to a} g\bigl(f(x)\bigr) = c .

Pernyataan yang sama berlaku dengan sebuah barisan sebagai ganti $f$ : jika $u_n \to b$ dan $\lim_{y\to b} g(y) = c$ , maka $g(u_n) \to c$ .

Bukti. Ambil $b, c$ berhingga (kasus lainnya serupa). Misalkan $\varepsilon > 0$ . Ada $\delta > 0$ sehingga $\abs{y - b} \leq \delta$ mengakibatkan $\abs{g(y) - c} \leq \varepsilon$ ; dan ada $\delta' > 0$ sehingga $\abs{x - a} \leq \delta'$ mengakibatkan $\abs{f(x) - b} \leq \delta$ . Merangkai keduanya memberi $\abs{g(f(x)) - c} \leq \varepsilon$ untuk $\abs{x - a} \leq \delta'$ . ∎

Teorema 21.7 (Pembandingan dan apitan)

Misalkan $f, g, h$ fungsi dan $a \in \R \cup \{\pm\infty\}$ .

Jika $f \leq g$ di dekat $a$ dan $f(x) \to +\infty$ ketika $x \to a$ , maka $g(x) \to +\infty$ .
Jika $f \leq g \leq h$ di dekat $a$ dan $f, h$ menuju limit berhingga yang sama $\ell$ di $a$ , maka $g(x) \to \ell$ ketika $x \to a$ .

Bukti. Alasan yang sama seperti untuk barisan (Teorema 20.16). ∎

Metode 21.8 (Menghitung limit dalam praktik)

Polinomial dan fungsi rasional di $\pm\infty$ : keluarkan pangkat tertinggi $x$ sebagai faktor; limitnya adalah limit perbandingan suku utamanya.
Bentuk $\frac{0}{0}$ di sebuah titik $a$ : keluarkan $(x-a)$ sebagai faktor pembilang dan penyebutnya, atau kenali sebuah turunan $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a)$ (Bab 22).
Akar kuadrat: kalikan dengan bentuk sekawannya.
Faktor yang berosilasi ( $\cos$ , $\sin$ ): pakailah teorema apit.

21.2 Kekontinuan

Definisi 21.9 (Kekontinuan)

Misalkan $f$ terdefinisi pada interval $I$ dan $a \in I$ . Fungsi $f$ disebut kontinu di $a$ bila $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$ . Fungsi itu disebut kontinu pada $I$ bila kontinu di setiap titik $I$ .

Secara gerak hati, grafik fungsi yang kontinu pada sebuah interval dapat digambar tanpa mengangkat pena.

Proposisi 21.10 (Kekontinuan fungsi yang lazim)

Polinomial, fungsi rasional, $x \mapsto \sqrt{x}$ , $x \mapsto \abs{x}$ , $\cos$ , $\sin$ , $\exp$ dan $\ln$ kontinu pada setiap interval yang termuat dalam daerah asalnya. Jumlah, hasil kali, hasil bagi (di tempat yang terdefinisi) dan komposisi fungsi kontinu bersifat kontinu.

Bukti sebagian. Kestabilannya terhadap jumlah, hasil kali, hasil bagi dan komposisi menyusul dari teorema limit yang bersesuaian. Kekontinuan $x \mapsto x$ dan fungsi tetap langsung terlihat dari definisinya, sehingga polinomial dan fungsi rasional kontinu. Kekontinuan fungsi lazim yang lain dibuktikan pada bab tempat fungsi itu disusun, atau diterima tanpa bukti. ∎

Contoh 21.11

Fungsi lantai $x \mapsto \floor{x}$ (bilangan bulat terbesar $\leq x$ ) tidak kontinu di bilangan bulat $n$ mana pun: limit kirinya di sana adalah $n - 1$ sedangkan $\floor{n} = n$ .

Fungsi lantai melompat di setiap bilangan bulat: nilainya (titik penuh) berbeda dari limit kirinya (titik kosong).

Proposisi 21.12 (Barisan dan kekontinuan)

Jika $u_n \to \ell$ dan $f$ kontinu di $\ell$ , maka $f(u_n) \to f(\ell)$ . Khususnya, jika barisan yang ditentukan oleh $u_{n+1} = f(u_n)$ konvergen ke $\ell$ dan $f$ kontinu di $\ell$ , maka $f(\ell) = \ell$ .

Bukti. Pernyataan pertamanya adalah Teorema 21.6 yang diterapkan dengan barisan $(u_n)$ . Untuk yang kedua, terapkan limit pada kedua ruas $u_{n+1} = f(u_n)$ : ruas kirinya menuju $\ell$ , ruas kanannya menuju $f(\ell)$ , dan limitnya tunggal. ∎

21.3 Teorema nilai antara

Teorema 21.13 (Teorema nilai antara)

Misalkan $f$ kontinu pada $\intcc{a}{b}$ dan misalkan $k$ sebarang bilangan di antara $f(a)$ dan $f(b)$ . Maka ada $c \in \intcc{a}{b}$ sehingga $f(c) = k$ .

Teorema nilai antara: kurva kontinu yang menghubungkan (a, f(a)) dengan (b, f(b)) pasti memotong setiap garis mendatar y = k yang terletak di antara f(a) dan f(b). — Teorema nilai antara: kurva kontinu yang menghubungkan $(a, f(a))$ dengan $(b, f(b))$ pasti memotong setiap garis mendatar $y = k$ yang terletak di antara $f(a)$ dan $f(b)$ .

Bukti. Dengan mengganti $f$ oleh $f - k$ (dan oleh $k - f$ bila perlu), kita boleh menganggap $f(a) \leq 0 \leq f(b)$ lalu mencari sebuah nol $f$ . Kita susun dua barisan lewat dikotomi: ambil $a_0 = a$ , $b_0 = b$ ; diberikan $a_n \leq b_n$ dengan $f(a_n) \leq 0 \leq f(b_n)$ , misalkan $m = \frac{a_n + b_n}{2}$ lalu definisikan

(a_{n+1}, b_{n+1}) = \begin{cases} (a_n, m) & \text{jika } f(m) \geq 0,\\ (m, b_n) & \text{jika } f(m) < 0. \end{cases}

Pada kedua kasusnya $f(a_{n+1}) \leq 0 \leq f(b_{n+1})$ , barisan $(a_n)$ naik, $(b_n)$ turun, dan $b_n - a_n = \frac{b-a}{2^n} \to 0$ : jadi kedua barisannya berdampingan (lihat Latihan 20.10) dan konvergen ke limit bersama $c \in \intcc{a}{b}$ . Menurut kekontinuannya, $f(a_n) \to f(c)$ dan $f(b_n) \to f(c)$ ; menerapkan limit pada $f(a_n) \leq 0$ dan $f(b_n) \geq 0$ memberi $f(c) \leq 0 \leq f(c)$ , sehingga $f(c) = 0$ . ∎

Catatan 21.14

Bukti dikotominya adalah sebuah algoritme: bukti itu menghasilkan hampiran sebuah penyelesaian setepat yang diinginkan, dengan galat yang terbagi dua pada setiap langkah. Beginilah komputer dapat menyelesaikan $f(x) = 0$ hanya dengan mengetahui cara menghitung $f$ .

Teorema 21.15 (Teorema bijeksi)

Misalkan $f$ kontinu dan tegas monoton pada sebuah interval $I$ . Maka untuk setiap $k$ yang terletak tegas di antara limit $f$ di titik ujung $I$ , persamaan $f(x) = k$ mempunyai penyelesaian tunggal di $I$ .

Bukti. Keberadaannya: pilihlah $a, b \in I$ dengan $k$ di antara $f(a)$ dan $f(b)$ (mungkin dilakukan sebab nilai $f$ mendekati limit di titik ujungnya), lalu terapkan teorema nilai antara pada $\intcc{a}{b}$ . Ketunggalannya: jika $x < y$ , kemonotonan yang tegas memberi $f(x) \neq f(y)$ , sehingga dua titik yang berbeda tidak dapat sama-sama menjadi penyelesaian. ∎

Metode 21.16 (Menyelesaikan $f(x) = k$ dengan teorema bijeksi)

Untuk membuktikan bahwa $f(x) = k$ mempunyai tepat satu penyelesaian pada sebuah interval:

susunlah tabel variasi $f$ (tanda $f'$ , lihat Bab 22);
pada setiap interval tempat $f$ kontinu dan tegas monoton, bandingkan $k$ dengan nilai atau limit di titik ujungnya;
terapkan teorema bijeksi pada setiap interval semacam itu lalu bilanglah penyelesaiannya.

Sebuah kalkulator atau dikotomi lalu menempatkan setiap penyelesaiannya sehalus yang diinginkan.

Contoh 21.17

Persamaan $x^3 + x = 1$ mempunyai penyelesaian real yang tunggal. Memang $f(x) = x^3 + x$ kontinu dan tegas naik pada $\R$ (sebagai jumlah fungsi yang tegas naik), $\lim_{-\infty} f = -\infty$ dan $\lim_{+\infty} f = +\infty$ , sehingga teorema bijeksi berlaku dengan $k = 1$ . Karena $f(0.6) = 0.816 < 1$ dan $f(0.7) = 1.043 > 1$ , penyelesaiannya terletak di $\intoo{0.6}{0.7}$ .

21.4 Latihan

Latihan 21.1 ★

Hitunglah limit berikut:

\lim_{x\to+\infty} \frac{2x^3 - x + 1}{5x^3 + x^2}, \qquad \lim_{x\to-\infty} \bigl(x^2 + 3x - 1\bigr), \qquad \lim_{x\to 2^+} \frac{x+1}{x-2}, \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{\cos x}{x}.

Solusi

Solusi Latihan 21.1.

Setelah dibagi $x^3$ : $\dfrac{2x^3 - x + 1}{5x^3 + x^2} = \dfrac{2 - 1/x^2 + 1/x^3}{5 + 1/x} \to \dfrac{2}{5}$ .

$x^2 + 3x - 1 = x^2(1 + 3/x - 1/x^2) \to +\infty$ ketika $x \to -\infty$ , sebab $x^2 \to +\infty$ dan isi kurungnya menuju $1$ .

Ketika $x \to 2^+$ , pembilangnya menuju $3 > 0$ dan penyebutnya menuju $0^+$ , sehingga $\dfrac{x+1}{x-2} \to +\infty$ .

Untuk $x > 0$ , $-\dfrac1x \leq \dfrac{\cos x}{x} \leq \dfrac1x$ , sehingga limitnya $0$ menurut teorema apit.

Latihan 21.2 ★

Misalkan $f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}$ , terdefinisi untuk $x \neq 1$ .

Tunjukkan bahwa $f(x) = 2x - 1$ untuk semua $x \neq 1$ .
Simpulkan $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$ . Dapatkah $f$ diperluas menjadi fungsi yang kontinu di $1$ ?

Solusi

Solusi Latihan 21.2.

1. $2x^2 - 3x + 1 = (x-1)(2x-1)$ (akar $x=1$ terlihat dari $2 - 3 + 1 = 0$ ). Untuk $x \neq 1$ , hapuslah $x - 1$ : $f(x) = 2x - 1$ .

2. Jadi $\lim_{x\to1} f(x) = 1$ . Menetapkan $f(1) = 1$ memperluas $f$ menjadi fungsi polinomial $x \mapsto 2x-1$ pada $\R$ , yang kontinu di $1$ .

Latihan 21.3 ★

Tentukan asimtot kurva $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ lalu sketsalah kurvanya.

Solusi

Solusi Latihan 21.3.

Tulislah $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2} = \dfrac{3(x+2) - 7}{x+2} = 3 - \dfrac{7}{x+2}$ . Ketika $x \to \pm\infty$ , $f(x) \to 3$ : jadi garis $y = 3$ adalah asimtot mendatar di kedua takhingga. Ketika $x \to (-2)^\pm$ , $f(x) \to \mp\infty$ : garis $x = -2$ adalah asimtot tegak. Kurvanya berupa hiperbola, di bawah $y=3$ untuk $x > -2$ dan di atasnya untuk $x < -2$ .

Latihan 21.4 ★★

Hitunglah

\lim_{x\to+\infty} \bigl(\sqrt{x^2 + x} - x\bigr) \qquad\text{dan}\qquad \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}.

Solusi

Solusi Latihan 21.4.

Kalikan dengan bentuk sekawannya:

\sqrt{x^2 + x} - x = \frac{x^2 + x - x^2}{\sqrt{x^2+x} + x} = \frac{x}{x\left(\sqrt{1 + 1/x} + 1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1 + 1/x} + 1} \xrightarrow[x\to+\infty]{} \frac{1}{2}.

Serupa dengan itu,

\frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} = \frac{(1+x) - 1}{x\left(\sqrt{1+x} + 1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} \xrightarrow[x\to0]{} \frac{1}{2}.

Latihan 21.5 ★★

Misalkan $f(x) = x + \sin x$ .

Tunjukkan bahwa $f(x) \to +\infty$ ketika $x \to +\infty$ , walaupun $f$ tidak monoton pada interval $\intco{A}{+\infty}$ mana pun.
Tunjukkan bahwa $g(x) = \dfrac{x + \sin x}{x - \sin x}$ menuju $1$ di $+\infty$ .

Solusi

Solusi Latihan 21.5.

1. Karena $\sin x \geq -1$ , berlaku $f(x) \geq x - 1 \to +\infty$ , dan kita simpulkan lewat pembandingan. Namun $f'(x) = 1 + \cos x$ lenyap di setiap kelipatan ganjil $\pi$ , dan pada setiap interval $\intco{A}{+\infty}$ fungsi itu berselang-seling dengan interval kenaikan yang tegas; fungsi itu naik tetapi tidak tegas, dan yang lebih penting pertumbuhannya tidak diperlukan: pembandingannya sudah cukup.

2. Untuk $x > 1$ , bagilah dengan $x$ :

g(x) = \frac{1 + \frac{\sin x}{x}}{1 - \frac{\sin x}{x}},

dan $\frac{\sin x}{x} \to 0$ menurut teorema apit ( $\abs{\sin x} \leq 1$ ). Jadi $g(x) \to \frac{1+0}{1-0} = 1$ .

Latihan 21.6 ★★

Tunjukkan bahwa persamaan $x^3 - 3x + 1 = 0$ mempunyai tepat tiga penyelesaian real, lalu berikan untuk masing-masing sebuah interval sepanjang $1$ yang memuatnya. (Petunjuk: telaahlah variasi $f(x) = x^3 - 3x + 1$ ; turunannya adalah $3x^2 - 3$ .)

Solusi

Solusi Latihan 21.6.

$f(x) = x^3 - 3x + 1$ kontinu, dengan $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ : jadi $f$ naik pada $\intoc{-\infty}{-1}$ , turun pada $\intcc{-1}{1}$ , naik pada $\intco{1}{+\infty}$ , dengan maksimum lokal $f(-1) = 3 > 0$ dan minimum lokal $f(1) = -1 < 0$ , $\lim_{-\infty} f = -\infty$ , $\lim_{+\infty} f = +\infty$ .

Pada masing-masing ketiga interval kemonotonannya, $f$ kontinu, tegas monoton, dan $0$ terletak tegas di antara nilai atau limit di titik ujungnya, sehingga teorema bijeksi memberi tepat satu nol per interval: seluruhnya tiga nol. Pemeriksaan tandanya: $f(-2) = -1 < 0 < f(-1) = 3$ , jadi satu nol di $\intoo{-2}{-1}$ ; $f(0) = 1 > 0 > f(1) = -1$ , satu nol di $\intoo{0}{1}$ ; $f(1) = -1 < 0 < f(2) = 3$ , satu nol di $\intoo{1}{2}$ .

Latihan 21.7 ★★

Misalkan $f \colon \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ kontinu. Tunjukkan bahwa $f$ mempunyai titik tetap: ada $c \in \intcc{0}{1}$ dengan $f(c) = c$ . (Petunjuk: terapkan teorema nilai antara pada $g(x) = f(x) - x$ .)

Solusi

Solusi Latihan 21.7.

Misalkan $g(x) = f(x) - x$ , yang kontinu pada $\intcc{0}{1}$ . Karena $f(0) \in \intcc{0}{1}$ , berlaku $g(0) = f(0) \geq 0$ ; karena $f(1) \in \intcc{0}{1}$ , berlaku $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$ . Menurut teorema nilai antara, $g$ lenyap di suatu $c \in \intcc{0}{1}$ , yaitu $f(c) = c$ .

Latihan 21.8 ★★★

Seorang pendaki menyusuri jalur gunung, berangkat pukul 08.00 dan tiba pukul 20.00. Keesokan harinya ia menuruni jalur yang sama, lagi-lagi berangkat pukul 08.00 dan tiba pukul 20.00. Tunjukkan bahwa ada saat dalam sehari ketika ia berada tepat pada titik jalur yang sama pada kedua harinya. (Petunjuk: perkenalkan selisih kedua fungsi kedudukannya.)

Solusi

Solusi Latihan 21.8.

Misalkan $u(t)$ dan $d(t)$ kedudukannya (diukur sebagai jarak dari kaki jalurnya) pada waktu $t \in \intcc{8}{20}$ ketika mendaki dan ketika menuruni jalur. Keduanya kontinu, dengan $u(8) = 0$ , $u(20) = L$ (panjang jalurnya), $d(8) = L$ , $d(20) = 0$ . Fungsi $g = u - d$ kontinu dengan $g(8) = -L \leq 0$ dan $g(20) = L \geq 0$ , sehingga $g(c) = 0$ untuk suatu waktu $c$ menurut teorema nilai antara: pada waktu $c$ , kedudukannya pada kedua hari itu berimpit.

Latihan 21.9 ★★★

Misalkan $f(x) = x^5 + x^3 + x - 1$ .

Tunjukkan bahwa $f$ mempunyai satu nol real tunggal $\alpha$ , dan bahwa $\alpha \in \intoo{0}{1}$ .
Perikan sebuah prosedur dikotomi yang menghitung $\alpha$ dengan ketelitian $10^{-6}$ , lalu berikan banyaknya iterasi yang diperlukan bila dimulai dari $\intcc{0}{1}$ .

Solusi

Solusi Latihan 21.9.

1. $f'(x) = 5x^4 + 3x^2 + 1 > 0$ , sehingga $f$ tegas naik pada $\R$ ; dengan $\lim_{\pm\infty} f = \pm\infty$ dan kekontinuannya, teorema bijeksi memberi satu nol real tunggal $\alpha$ . Karena $f(0) = -1 < 0$ dan $f(1) = 2 > 0$ , diperoleh $\alpha \in \intoo{0}{1}$ .

2. Pertahankan sebuah interval $\intcc{a_n}{b_n}$ dengan $f(a_n) < 0 < f(b_n)$ , dimulai dari $\intcc{0}{1}$ ; pada setiap langkahnya hitunglah $f$ di titik tengah $m$ lalu simpan separuh interval tempat pergantian tandanya bertahan. Setelah $n$ langkah, intervalnya berpanjang $2^{-n}$ , sehingga titik tengahnya menghampiri $\alpha$ dengan ketelitian $2^{-(n+1)}$ . Kita memerlukan $2^{-(n+1)} \leq 10^{-6}$ , yaitu $n + 1 \geq \frac{6}{\log_{10} 2} \approx 19.93$ : jadi $n = 20$ iterasi sudah cukup.

21.5 Soal: Menyeberangi sungai pasti basah

Soal 21.1

Soal akhir pekan — teorema nilai antara memaksa titik tetap, antipoda bersuhu sama dan meja yang berhenti goyang: tiga teorema yang terdengar mustahil dari satu gagasan

Remaslah sebuah peta lalu jatuhkan di mana saja di atas wilayah yang digambarnya: ada satu titik peta yang terletak tepat di atas tempat yang diwakilinya. Pada setiap saat, dua titik khatulistiwa yang berhadapan secara diametral mempunyai suhu yang persis sama. Dan sebuah meja persegi yang goyang di atas tanah bergelombang selalu dapat ditenangkan dengan memutarnya. Tiga sulap pesta, satu teorema: besaran yang kontinu tidak dapat beralih dari negatif ke positif tanpa lenyap (Teorema 21.13). Soal ini melatih limit, lalu membangun ketiga keajaiban itu — sekaligus mengetahui persis apa yang tidak dijanjikan teoremanya.

Bagian I — Kefasihan dengan limit.

Hitunglah $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 - x}{x^2 + 5}$ , $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x + 1}{x^2 + 1}$ , dan $\lim_{x \to +\infty} (x^3 - x^2)$ (Metode 21.8).
Berikan asimtot $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ (Definisi 21.4), dengan menghitung limit yang bersangkutan.
Hitunglah $\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ (dengan memfaktorkan) dan $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$ (dengan bentuk sekawan).
Dengan teorema apit (Teorema 21.7): hitunglah $\lim_{x \to 0} x \sin\frac1x$ dan $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x}$ .
Lewat komposisi dan suku yang menguasai: $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{4x^2 + x}}{x}$ .

Bagian II — Akar, yang tersahkan.

Tunjukkan bahwa persamaan $x^3 + x = 5$ mempunyai paling sedikit satu penyelesaian di $\intcc{1}{2}$ .
Tunjukkan bahwa penyelesaiannya tunggal pada $\R$ (Teorema 21.15).
Buktikan yang klasik: setiap polinomial berderajat ganjil mempunyai paling sedikit satu akar real. (Tuliskan alasannya untuk $p(x) = x^3 + a x^2 + b x + c$ : hitunglah kedua limit takhingganya lewat suku yang menguasai, lalu terapkan teorema nilai antara pada interval yang besar.)
Menempatkan akar pertanyaan 6 lewat dikotomi: berapa kali $\intcc{1}{2}$ harus dibagi dua agar galatnya terjamin di bawah $10^{-6}$ (Latihan 21.9)? Bandingkan dengan penggandaan angka pada metode Newton (Soal 12.1): kira-kira berapa langkah yang diperlukannya?
Contoh penyangkal yang menjaga teoremanya: $g(x) = \frac1x$ memenuhi $g(-1) = -1 < 0$ dan $g(1) = 1 > 0$ , namun tidak pernah lenyap. Hipotesis mana pada teorema nilai antara yang gagal — dan apa yang diajarkan contoh itu tentang memeriksa hipotesis?

Bagian III — Tiga teorema yang terdengar mustahil.

Teorema titik tetap pada sebuah ruas: jika $f : \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ kontinu, buktikan bahwa ada $c$ yang memenuhi $f(c) = c$ . (Telaahlah $g(x) = f(x) - x$ di kedua ujungnya.)
Terjemahkan pertanyaan 11 ke peta yang teremas: apa yang berperan sebagai $f$ , mengapa nilainya mendarat di $\intcc{0}{1}$ (secara kiasan: di dalam wilayahnya), dan apa titik yang terletak tepat di atas letaknya sendiri? (Satu dimensi diterima diam-diam — pernyataan dua dimensi yang jujur adalah teorema Brouwer, pada jilid universitas.)
Khatulistiwa: misalkan $T$ sebuah suhu yang kontinu pada sebuah lingkaran, yang dipandang sebagai fungsi berkala $2\pi$ dengan $T(0) = T(2\pi)$ . Ambil $g(t) = T(t) - T(t + \pi)$ . Hitunglah $g(0) + g(\pi)$ , simpulkan bahwa $g$ lenyap di suatu tempat pada $\intcc{0}{\pi}$ , lalu nyatakan teoremanya tentang titik antipoda.
Meja yang goyang: sebuah meja persegi yang sempurna kaku berdiri di atas tanah bergelombang yang kontinu (tanpa undakan!); tiga kakinya selalu menyentuh tanah, satu melayang setinggi $h(\theta)$ yang bergantung secara kontinu pada sudut putar meja itu, $\theta$ . Jelaskan mengapa memutarnya seperempat putaran memaksa celah yang melayang itu berganti tanda — lalu simpulkan bahwa ada sudut $\theta^*$ yang menenangkan keempat kakinya. (Alasan ini diterbitkan sebagai teorema sungguhan pada tahun 2005; pemilik kafe sudah lebih dahulu tahu kiatnya.)
Pendaki pada Latihan 21.8 memakai skema yang sama. Nyatakan pola yang dibagi pertanyaan 11, 13, 14 dan pendaki itu — bangunlah fungsi yang mana, periksalah apa di kedua ujungnya, panggillah teorema apa — dalam tiga baris.
Apa yang tidak diberikan teorema nilai antara: keberadaannya datang cuma-cuma, tetapi dua pertanyaan mana yang dibiarkannya terbuka, dan perkakas mana pada soal ini yang menjawabnya (pertanyaan 7 dan 9)?

Bagian IV — Potret beserta asimtotnya.

Tulislah ulang $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ sebagai $3 - \dfrac{7}{x + 2}$ lalu pakailah untuk memerikan kurvanya selengkapnya: asimtot, variasi pada masing-masing sisi, dan sketsanya. (Sebuah hiperbola yang tergeser — kurva biaya rata-rata pada Soal 4.1 pun demikian.)
Fungsi $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ tidak terdefinisi di $1$ . Nilai mana yang diberikan kepada $f(1)$ yang membuatnya kontinu di sana — dan mengapa para analis menyebut titik semacam itu diskontinuitas yang terhapuskan?
Fungsi lantai $x \mapsto \lfloor x \rfloor$ (bilangan bulat terbesar $\leq x$ ): di mana fungsi itu kontinu, di mana ia melompat, dan mengapa kesimpulan teorema nilai antara gagal untuknya (carilah $a < b$ dengan $\lfloor a \rfloor < \frac12 < \lfloor b \rfloor$ namun tanpa penyelesaian $\lfloor x \rfloor = \frac12$ )?
Penutup — kedua wajah kekontinuan: janji lokalnya (nilai $=$ limit: tanpa teleportasi) dan kekuatan globalnya (teorema nilai antara: setiap nilai antaranya disinggahi). Golongkan keempat keajaiban Bagian III di bawah wajah yang tepat, lalu berikan nama matematis yang tepat bagi semboyan penyeberangan sungai itu.

Solusi

Solusi Soal 21.1.

1. Suku yang menguasai: $\frac{3x^2}{x^2} \to 3$ ; $\frac{2x}{x^2} = \frac2x \to 0$ ; $x^3 - x^2 = x^3\left(1 - \frac1x\right) \to +\infty$ .

2. $\lim_{x \to \pm\infty} f = 3$ : jadi asimtot mendatarnya $y = 3$ ; $\lim_{x \to (-2)^\pm} f = \mp\infty$ : asimtot tegaknya $x = -2$ .

3. $\frac{(x-3)(x+3)}{x - 3} = x + 3 \to 6$ . Lalu $\frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} \to \frac12$ .

4. $\abs{x \sin\frac1x} \leq \abs x \to 0$ , sehingga limitnya $0$ . Lalu $\abs{\frac{\sin x}{x}} \leq \frac1x \to 0$ : limitnya $0$ .

5. $\frac{\sqrt{4x^2 + x}}{x} = \sqrt{4 + \frac1x} \to \sqrt4 = 2$ (lewat kekontinuan akar kuadrat dan komposisi).

6. $f(x) = x^3 + x$ kontinu dengan $f(1) = 2 < 5 < 10 = f(2)$ : menurut teorema nilai antara, $f(c) = 5$ untuk suatu $c \in \intoo{1}{2}$ .

7. $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ : jadi tegas naik pada $\R$ , kontinu, dengan limit $\mp\infty$ : menurut teorema bijeksi, setiap nilai — khususnya $5$ — dicapai tepat satu kali.

8. $p(x) = x^3\left(1 + \frac ax + \frac{b}{x^2} + \frac{c}{x^3}\right)$ : ketika $x \to +\infty$ , $p \to +\infty$ ; ketika $x \to -\infty$ , $p \to -\infty$ . Jadi pada suatu interval yang sangat besar $\intcc{-M}{M}$ berlaku $p(-M) < 0 < p(M)$ : teorema nilai antara menyerahkan sebuah akar. Alasan suku yang menguasai itu berlaku kata demi kata untuk sebarang derajat ganjil — pangkat ganjil mempertahankan tanda yang berlawanan di kedua takhingga.

9. Membagi dua sebanyak $n$ kali menyisakan interval sepanjang $2^{-n}$ ; $2^{-20} \approx 9.5 \times 10^{-7} < 10^{-6}$ : jadi dua puluh langkah. Newton melipatduakan angka yang benar setiap langkah: dari satu angka yang benar, sekitar $3$ – $4$ langkah sudah mencapai enam — si kura-kura dan si anjing pemburu dalam pencarian akar.

10. $g$ tidak kontinu pada $\intcc{-1}{1}$ : fungsi itu meledak di $0$ , yang termuat dalam intervalnya. Kesimpulan teorema nilai antara menguap bersama hipotesisnya — periksalah selalu kekontinuannya pada seluruh intervalnya, bukan hanya di titik ujungnya.

11. $g(x) = f(x) - x$ kontinu; $g(0) = f(0) \geq 0$ (nilainya terletak di $\intcc{0}{1}$ ) dan $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$ . Menurut teorema nilai antara, $g(c) = 0$ untuk suatu $c$ : yaitu $f(c) = c$ .

12. Dengan mengidealkan wilayahnya sebagai ruas $\intcc{0}{1}$ : $f$ mengirim setiap tempat ke tempat yang tergambar tepat di bawahnya pada peta yang teremas; meremas peta itu tetap membuatnya berada di atas wilayahnya, sehingga $f$ mendarat di $\intcc{0}{1}$ , dan fungsi itu kontinu (kertasnya tidak robek). Titik tetap $c$ adalah tempat yang terletak persis di atas petanya sendiri — teorema Brouwer menangani peta dua dimensi yang jujur.

13. $g(0) + g(\pi) = \left(T(0) - T(\pi)\right) + \left(T(\pi) - T(2\pi)\right) = T(0) - T(2\pi) = 0$ . Jadi $g(0)$ dan $g(\pi)$ saling berlawanan (atau keduanya nol): bagaimanapun juga $g$ , yang kontinu, lenyap di suatu $t^* \in \intcc{0}{\pi}$ : $T(t^*) = T(t^* + \pi)$ — jadi di suatu tempat pada khatulistiwa, dua titik antipoda bersuhu sama, pada setiap saat.

14. Memutar mejanya seperempat putaran mempertukarkan peran kedua diagonalnya: sepasang kaki yang menekan tanah dan sepasang kaki yang (salah satunya) melayang bertukar keadaan, sehingga tinggi layangnya — yang dihitung bertanda sebagai “celah diagonal yang diistimewakan” — bertanda berlawanan pada $\theta$ dan $\theta + \frac\pi2$ . Tanah yang kontinu membuat $h$ kontinu, dan teorema nilai antara menyerahkan sebuah sudut $\theta^*$ dengan $h(\theta^*) = 0$ : keempat kakinya menapak. (Meja persegi panjang atau tanah berundak tidak seberuntung itu.)

15. Polanya: bangunlah selisih kedua besaran yang ingin kamu buat berimpit ( $f(x) - x$ ; $T(t) - T(t + \pi)$ ; kedudukan mendaki dikurangi kedudukan menuruni bagi sang pendaki; celah bertanda bagi mejanya); periksalah bahwa selisih itu mengambil nilai dari kedua tanda (sering lewat kesimetrian ujungnya); lalu panggillah teorema nilai antara pada fungsi yang kontinu. Keberimpitannya terpaksa.

16. Pertanyaan yang terbuka: berapa banyak penyelesaiannya (dijawab oleh kemonotonan yang tegas dan teorema bijeksi, pertanyaan 7) dan di mana letaknya (dijawab oleh dikotomi atau Newton, pertanyaan 9). Teorema nilai antara adalah peramal keberadaan yang murni.

17. $3 - \frac{7}{x + 2}$ : asimtot tegaknya $x = -2$ , asimtot mendatarnya $y = 3$ ; pada masing-masing sisi $-2$ fungsi itu naik ( $-\frac{7}{x+2}$ naik di tempat yang terdefinisi); kurvanya adalah hiperbola acuan $-\frac7x$ yang tergeser $2$ ke kiri dan $3$ ke atas — dua cabang yang memeluk perpotongan asimtotnya.

18. Untuk $x \neq 1$ : $f(x) = x + 1$ , sehingga $\lim_{x \to 1} f = 2$ : menetapkan $f(1) = 2$ memulihkan kekontinuannya. Ketakkontinuannya berupa tusukan, bukan lompatan — isilah satu titik yang hilang itu dan kurvanya sembuh: terhapuskan.

19. Kontinu pada setiap interval antara dua bilangan bulat berurutan; di setiap bilangan bulat $n$ fungsi itu melompat dari $n - 1$ ke $n$ . Dengan $a = 0.9$ , $b = 1.1$ : $\lfloor a \rfloor = 0 < \frac12 < 1 = \lfloor b \rfloor$ , namun $\lfloor x \rfloor = \frac12$ tidak berpenyelesaian — lompatannya berteleportasi melewati $\frac12$ , dan justru itulah yang dilarang teorema nilai antara bagi fungsi kontinu.

20. Wajah lokalnya: nilai $=$ limit di setiap titik — tusukan yang terhapuskan (pertanyaan 18) melanggarnya tetapi masih dapat diobati, sedangkan lompatan fungsi lantai (pertanyaan 19) tidak. Wajah globalnya: pada sebuah interval, semua nilai antaranya disinggahi — surat keterangan akar (6–8), titik tetapnya, khatulistiwanya, mejanya dan pendakinya semuanya tinggal di sini. Nama resmi semboyannya: teorema nilai antara.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium