Matematika Universitas — Tahun 1 · Bachelor Year 1

9Pecahan Rasional

Pecahan rasional adalah hasil bagi polinomial. Teorema pusat bab pendek ini — yaitu penguraian pecahan parsial — memecah sebarang hasil bagi semacam itu menjadi jumlah bata dasar $\frac{c}{(X - a)^k}$ . Di luar minat aljabarnya, ia mesin baku untuk mengintegralkan fungsi rasional (Bab 15) dan untuk menjumlahkan deret tertentu (Bab 17).

9.1 Lapangan $K(X)$

Definisi 9.1

Sebuah pecahan rasional atas $K$ ( $= \R$ atau $\C$ ) adalah hasil bagi $F = \frac{A}{B}$ dengan $A, B \in K[X]$ , $B \neq 0$ ; dan dua hasil bagi $\frac AB$ serta $\frac{A'}{B'}$ diidentifikasikan bila $AB' = A'B$ . Setiap pecahan mempunyai bentuk paling sederhana dengan $\gcd(A, B) = 1$ , yang tunggal sampai konstanta. Dengan operasi yang wajar, himpunan $K(X)$ berisi pecahan rasional menjadi sebuah lapangan.

Sebuah kutub $F$ (dalam bentuk paling sederhana) adalah akar $B$ ; sedangkan orde sebuah kutub adalah kegandaannya sebagai akar $B$ . Adapun derajat $F$ adalah $\deg F = \deg A - \deg B \in \Z \cup \{-\infty\}$ .

Contoh 9.2 (Membaca kutub, orde dan derajatnya)

Misalkan $F = \dfrac{X^3 - X}{X^4 - 2X^3 + X^2}$ . Faktorkan kedua lapisnya: pembilangnya $X(X-1)(X+1)$ , penyebutnya $X^2(X-1)^2$ ; lalu coret faktor persekutuannya $X(X-1)$ :

F = \frac{X + 1}{X(X - 1)} \quad\text{(bentuk paling sederhana).}

Kutubnya: $0$ dan $1$ , keduanya sederhana — ordenya terbaca pada penyebut yang sudah disederhanakan, sehingga akar ganda yang tampak pada penyebut aslinya tidak relevan. Derajatnya: $\deg F = 1 - 2 = -1$ , yang terlihat secara asimtotik ( $xF(x) \to 1$ ketika $x \to \infty$ ). Adapun derajatnya berperilaku seperti derajat polinomial ( $\deg FG = \deg F + \deg G$ , $\deg(F + G) \leq \max$ ), yaitu kaidah pembukuan yang dipakai terus-menerus pada perburuan koefisien di bawah: setiap argumen “limit $xF(x)$ ” sesungguhnya cacahan derajat yang menyamar.

Proposisi 9.3 (Bagian bulat)

Setiap $F = \frac AB \in K(X)$ secara tunggal berbentuk $F = E + \frac RB$ dengan $E \in K[X]$ (yaitu bagian bulat, atau bagian polinomial, dari $F$ ) dan $\deg R < \deg B$ . Di sini $E \neq 0$ jika dan hanya jika $\deg F \geq 0$ .

Bukti. Pembagian Euclid $A = BE + R$ (Teorema 8.3), lalu dibagi oleh $B$ . Ketunggalannya: jika $E + \frac RB = E' + \frac{R'}{B}$ , maka $(E - E')B = R' - R$ dengan $\deg(R' - R) < \deg B$ , yang memaksa $E = E'$ lalu $R = R'$ . ∎

Contoh 9.4 (Sederhanakan dulu, baru bagi)

Carilah bagian bulat $F = \dfrac{X^3 + 1}{X^2 - 1}$ . Dengan membagi secara membabi buta: $X^3 + 1 = (X^2 - 1)X + (X + 1)$ , jadi $F = X + \frac{X + 1}{X^2 - 1}$ . Tetapi pecahannya belum disederhanakan: $X^3 + 1 = (X + 1)(X^2 - X + 1)$ dan $X^2 - 1 = (X+1)(X-1)$ berbagi faktor $X + 1$ , sehingga

F = \frac{X^2 - X + 1}{X - 1} = X + \frac{1}{X - 1} :

bagian bulatnya tetap sama, yaitu $X$ , tetapi bagian pecahannya runtuh menjadi satu bata saja, dan “kutub” di $-1$ sesungguhnya tak pernah menjadi kutub. Sederhanakanlah selalu sampai bentuk yang terkecil sebelum berburu kutub: karena kutub $F$ adalah akar penyebut yang sudah disederhanakan. (Adapun bagian bulatnya tak peka terhadap penyederhanaan itu, sebagaimana dijamin ketunggalan pada Proposisi 9.3.)

9.2 Penguraian pecahan parsial atas $\C$

Teorema 9.5 (Penguraian atas $\C$ )

Misalkan $F = \frac AB \in \C(X)$ dalam bentuk paling sederhana, dengan $B = c\,(X - a_1)^{m_1} \cdots (X - a_r)^{m_r}$ . Maka $F$ dapat ditulis, secara tunggal,

F = E + \sum_{i=1}^{r} \sum_{k=1}^{m_i} \frac{c_{i,k}}{(X - a_i)^k}, \qquad E \in \C[X],\ c_{i,k} \in \C ,

dengan $E$ bagian bulat $F$ .

Bukti. Menurut Proposisi 9.3 kita boleh mengandaikan $\deg A < \deg B$ lalu membuktikan penguraian jumlahnya dengan $E = 0$ .

Memilah kutubnya. Tulis $B = (X - a_1)^{m_1} B_1$ dengan $B_1(a_1) \neq 0$ . Polinomial $(X-a_1)^{m_1}$ dan $B_1$ saling prima (karena tak berakar persekutuan), jadi menurut Bézout di $\C[X]$ (lihat catatan pada Bab 8) ada $U_0, V_0$ dengan $U_0 (X-a_1)^{m_1} + V_0 B_1 = 1$ ; lalu dengan mengalikannya dengan $A$ dan menulis $U = AU_0$ , $V = AV_0$ , kemudian membaginya dengan $B$ :

\frac AB = \frac{V}{(X - a_1)^{m_1}} + \frac{U}{B_1} .

Syarat derajatnya dapat dipaksakan: bagilah $V$ dengan $(X-a_1)^{m_1}$ , katakanlah $V = (X-a_1)^{m_1}Q + V_1$ dengan $\deg V_1 < m_1$ , lalu serap hasil baginya ke dalam suku kedua ( $U_1 = U + QB_1$ ):

\frac AB = \frac{V_1}{(X - a_1)^{m_1}} + \frac{U_1}{B_1}, \qquad \deg V_1 < m_1 ;

lalu membandingkan derajatnya ( $\deg A < \deg B$ dan $\deg V_1 < m_1$ ) memaksa $\deg U_1 < \deg B_1$ juga. Mengiterasikannya pada $\frac{U_1}{B_1}$ , kutub demi kutub, menyusutkan segalanya menjadi kasus kutub tunggal di bawah.

Kutub tunggal. Untuk $\frac{A}{(X-a)^m}$ dengan $\deg A < m$ : jabarkan $A$ dalam pangkat $(X - a)$ , $A = \sum_{j=0}^{m-1} \alpha_j (X - a)^j$ (yaitu ekspansi Taylor sebuah polinomial, seperti pada bukti Proposisi 8.11); lalu membaginya memberikan tepat bata $\frac{\alpha_j}{(X-a)^{m-j}}$ . Secara konkret, untuk $\frac{X^2 + 1}{(X+2)^3}$ : dengan mensubstitusikan $X = Y - 2$ ,

X^2 + 1 = (Y - 2)^2 + 1 = Y^2 - 4Y + 5 , \qquad\text{sehingga}\qquad \frac{X^2+1}{(X+2)^3} = \frac1{Y} - \frac4{Y^2} + \frac5{Y^3}

dengan $Y = X + 2$ : jadi ketiga batanya muncul lewat pembagian belaka atas ekspansi yang tergeser — yaitu jalur tercepat setiap kali ada satu kutub berorde tinggi, dan jalur yang dianjurkan untuk Latihan 9.3.

Ketunggalannya. Andaikan dua penguraian berimpit; maka selisihnya menjadi kesamaan $0 = \sum_{i,k} \frac{d_{i,k}}{(X - a_i)^k}$ . Kalikan seluruhnya dengan $(X - a_1)^{m_1}$ : setiap sukunya memperoleh faktor yang lenyap di $a_1$ kecuali suku dengan $i = 1$ , $k = m_1$ , yang koefisiennya menjadi $d_{1,m_1}$ ditambah suku yang memikul sekurang-kurangnya satu faktor $(X - a_1)$ . Lalu menghitung nilainya di $a_1$ (yang sah: setelah perkalian itu, tak ada kutub yang tersisa di $a_1$ ) memberikan $d_{1,m_1} = 0$ . Dengan koefisien teratasnya lenyap, ulangi dengan $(X - a_1)^{m_1 - 1}$ , dan seterusnya turun sampai $k = 1$ ; lalu berpindahlah ke kutub berikutnya. Semua $d_{i,k}$ lenyap: jadi penguraiannya tunggal. ∎

Metode 9.6 (Menghitung koefisiennya)

Dalam praktik, hindarilah Bézout; padukan saja:

penutupan untuk pangkat tertingginya: koefisien $\frac{1}{(X-a)^m}$ (dengan $m$ orde kutub $a$ ) adalah

$c_{a,m} = \Bigl[\,(X - a)^m F\,\Bigr]_{X = a};$

dan untuk kutub yang sederhana pada $F = \frac AB$ , nilainya $\frac{A(a)}{B'(a)}$ ;
perhitungan nilai pada titik yang nyaman dan limit $xF(x)$ ketika $x \to \infty$ untuk mengumpulkan hubungan linear bagi koefisien yang tersisa;
simetri paritas atau konjugasi, bila ada, untuk memangkas pekerjaannya menjadi separuh.

Catatan 9.7 (Jebakan yang lazim dengan pecahan parsial)

Melewatkan bagian bulatnya. Penguraian batanya berlaku untuk pecahan berderajat $< 0$ ; jadi ketika $\deg A \geq \deg B$ , bagilah dulu (Proposisi 9.3), atau perburuan koefisiennya akan melahirkan pertentangan.
Penutupan di luar jangkauannya. Mengalikan dengan $(X - a)^k$ lalu menghitung nilainya di $a$ menghasilkan koefisiennya hanya untuk $k = m$ , yaitu orde penuh kutub itu; sedangkan koefisien berorde lebih rendah menuntut hubungan lain (limit atau perhitungan nilai) — lihat Contoh 9.9.
Lupa menyederhanakan. Kutub terbaca pada bentuk yang sudah disederhanakan; jadi faktor persekutuan antara pembilang dan penyebut melahirkan kutub hantu (Contoh 9.4).
Bentuk bata yang salah atas $\R$ . Di atas kuadrat yang tak tereduksikan, pembilangnya afin ( $\alpha X + \beta$ ), bukan konstanta; jadi menulis $\frac{c}{X^2 + 1}$ saja menghilangkan penyelesaian — bentuk yang benar didiktekan Teorema 9.10, dan tak pernah diimprovisasi.

Bukti rumus kutub sederhananya. Di dekat kutub sederhana $a$ : $B = (X - a) Q$ dengan $Q(a) \neq 0$ , dan $B' = Q + (X - a) Q'$ , sehingga $B'(a) = Q(a)$ . Jadi nilai penutupannya adalah $\frac{A(a)}{Q(a)} = \frac{A(a)}{B'(a)}$ . ∎

Contoh 9.8

Uraikan $F = \dfrac{1}{X(X-1)(X-2)}$ . Ada tiga kutub sederhana; lakukan penutupan pada masing-masingnya:

c_0 = \frac{1}{(0-1)(0-2)} = \frac12, \quad c_1 = \frac{1}{1 \times (1 - 2)} = -1, \quad c_2 = \frac{1}{2 \times 1} = \frac12,

jadi $F = \dfrac{1/2}{X} - \dfrac{1}{X-1} + \dfrac{1/2}{X-2}$ . Periksa di $X = 3$ : secara langsung, $F(3) = \frac{1}{3\cdot2\cdot1} = \frac16$ ; sedangkan dari penguraiannya, $\frac{1/2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1/2}{1} = \frac16 - \frac12 + \frac12 = \frac16$ .

Contoh 9.9 (Kutub ganda)

Uraikan $F = \dfrac{X}{(X-1)^2 (X+1)}$ . Bentuknya: $\frac{a}{(X-1)^2} + \frac{b}{X-1} + \frac{c}{X+1}$ .

Penutupan pada kutub gandanya: $a = \bigl[\frac{X}{X+1}\bigr]_{X=1} = \frac12$ .
Penutupan di $-1$ : $c = \bigl[\frac{X}{(X-1)^2}\bigr]_{X=-1} = -\frac14$ .
Limit $xF(x)$ di $\infty$ : $0 = b + c$ , jadi $b = \frac14$ .

F = \frac{1/2}{(X-1)^2} + \frac{1/4}{X-1} - \frac{1/4}{X+1} .

Periksa di $X = 0$ : $F(0) = 0$ dan $\frac12 - \frac14 - \frac14 = 0$ .

9.3 Penguraian atas $\R$

Teorema 9.10 (Penguraian atas $\R$ )

Misalkan $F \in \R(X)$ dalam bentuk paling sederhana dengan penyebut

B = c \prod_i (X - a_i)^{m_i} \prod_j (X^2 + p_j X + q_j)^{n_j} \qquad (p_j^2 - 4q_j < 0).

Maka $F$ terurai secara tunggal sebagai bagian bulatnya ditambah suku

\frac{c_{i,k}}{(X - a_i)^k} \quad (1 \leq k \leq m_i), \qquad \frac{\alpha_{j,l}\, X + \beta_{j,l}}{(X^2 + p_j X + q_j)^{l}} \quad (1 \leq l \leq n_j),

dengan koefisien yang real.

Bukti. Uraikan atas $\C$ (Teorema 9.5). Karena $F$ real, koefisien di atas kutub $\conj a$ (pada setiap ordenya) adalah konjugat koefisien di atas $a$ (terapkan konjugasi pada penguraiannya lalu panggil ketunggalannya). Kelompokkan setiap pasangan konjugatnya:

\frac{c}{(X - z)^l} + \frac{\conj c}{(X - \conj z)^l} = \frac{c\,(X - \conj z)^l + \conj c\,(X - z)^l}{\bigl(X^2 - 2\Re(z)X + \abs z^2\bigr)^{l}},

yang pembilangnya menjadi konjugat dirinya sendiri, sehingga real, berderajat $\leq l$ ; lalu memisahkan kelipatan kuadrat realnya menurunkannya ke derajat $\leq 1$ pada setiap aras $l$ (yaitu induksi turun yang kecil). Adapun kutub real mempertahankan koefisien realnya (karena konjugasi menetapkannya). Ketunggalannya menyusul dari ketunggalan atas $\C$ . ∎

Contoh 9.11 (Menyaksikan pemasangan konjugatnya)

Mekanisme buktinya, pada kasus terkecil: atas $\C$ , kutub $\frac1{X^2+1}$ adalah $\pm\iu$ , dengan koefisien penutupan $\frac1{2\iu}$ di $\iu$ dan $\frac1{-2\iu}$ di $-\iu$ — yang saling konjugat, sebagaimana diramalkan teoremanya:

\frac{1}{X^2 + 1} = \frac{1/(2\iu)}{X - \iu} - \frac{1/(2\iu)}{X + \iu} .

Dengan menggabungkannya kembali atas penyebut persekutuannya:

\frac{1}{2\iu}\cdot\frac{(X + \iu) - (X - \iu)}{X^2 + 1} = \frac{1}{2\iu}\cdot\frac{2\iu}{X^2 + 1} = \frac{1}{X^2+1} :

bagian imajinernya saling hapus dan bata realnya muncul kembali utuh. Untuk integran yang real kita biasanya tak pernah meninggalkan $\R$ — tetapi ketika menghitung nilai jumlah pada titik kompleks (seperti dilakukan soal akhir pekan dengan akar satuan), bata kompleks menjadi mata uang yang wajar, dan pemasangan inilah kurs tukar antara kedua penguraiannya.

Contoh 9.12

Uraikan $F = \dfrac{4}{(X^2+1)(X-1)^2}$ atas $\R$ . Bentuknya: $\frac{aX + b}{X^2 + 1} + \frac{c}{(X-1)^2} + \frac{d}{X - 1}$ . Penutupan pada kutub gandanya: $c = \bigl[\frac{4}{X^2+1}\bigr]_{X=1} = 2$ . Penutupan pada kutub kompleks $\iu$ (dengan pembilang di atas $X^2 + 1$ dihitung lewat penguraian kompleksnya, atau langsung): kalikan dengan $X^2 + 1$ lalu ambil $X = \iu$ :

a\iu + b = \frac{4}{(\iu - 1)^2} = \frac{4}{-2\iu} = 2\iu ,

jadi $a = 2$ , $b = 0$ . Limit $xF(x)$ di tak hingga: $0 = a + d$ , sehingga $d = -2$ . Jadi

F = \frac{2X}{X^2+1} + \frac{2}{(X-1)^2} - \frac{2}{X-1} .

Periksa di $X = 0$ : $F(0) = 4$ dan $0 + 2 + 2 = 4$ .

Contoh 9.13 (Penyebut kubik, dari awal sampai akhir)

Uraikan $F = \dfrac{1}{X^3 + 1}$ atas $\R$ . Faktorkan dulu: $X^3 + 1 = (X + 1)(X^2 - X + 1)$ , dengan kuadratnya berdiskriminan $-3 < 0$ . Bentuknya: $\frac{a}{X+1} + \frac{bX + c}{X^2 - X + 1}$ . Penutupan pada kutub sederhana $-1$ : $a = \bigl[\frac1{X^2 - X + 1}\bigr]_{X=-1} = \frac13$ . Limit $xF(x)$ di tak hingga: $0 = a + b$ , jadi $b = -\frac13$ . Perhitungan nilai di $X = 0$ : $1 = a + c$ , jadi $c = \frac23$ . Sehingga

\frac{1}{X^3+1} = \frac13\Bigl(\frac{1}{X+1} + \frac{-X + 2}{X^2 - X + 1}\Bigr) ,

yang dibenarkan di $X = 1$ : ruas kirinya $\frac12$ , ruas kanannya $\frac13\bigl(\frac12 + 1\bigr) = \frac12$ . Perhatikan penghematannya: tiga bilangan yang belum diketahui, tiga fakta linear yang murah (satu penutupan, satu limit, satu perhitungan nilai), tanpa penjabaran apa pun — yaitu alur kerja Metode 9.6 dalam bentuk murninya.

Catatan 9.14 (Untuk apa semua ini)

Begitu terurai, sebuah fungsi rasional terintegralkan suku demi suku: bata $\frac{1}{(x-a)^k}$ mempunyai antiturunan dasar, dan bata $\frac{\alpha x + \beta}{(x^2 + px + q)^l}$ menyusut menjadi $\ln$ dan $\arctan$ (Bab 15). Adapun jumlah teleskopik adalah penerapan baku yang lain (Latihan 9.8).

Catatan 9.15 (Di mana bab ini dipakai)

Pecahan parsial di atas segalanya adalah langkah prapengolahan: bab pengintegralan (Bab 15) menyuapkan setiap integran rasional lewat Teorema 9.10 sebelum mengintegralkannya, dan bab deret (Bab 17) meneleskopkan suku rasional persis seperti pada Latihan 9.8 dan pada soal akhir pekan di bawah — yang mendorong tekniknya sampai ke $\sum 1/k^2 = \pi^2/6$ . Adapun turunan logaritmik $P'/P = \sum m_i/(X - a_i)$ (Latihan 8.11) muncul kembali setiap kali letak akar ditelaah. Di luar jilid ini, penguraian $1/\chi(X)$ untuk sebuah polinomial karakteristik $\chi$ melandasi perhitungan pangkat matriks dan transformasi Laplace pada jilid Tahun ke-2: karena bata $\frac{c}{(X - a)^k}$ adalah bayangan aljabar bagi penyelesaian $t^{k-1}\eu^{at}$ yang ditemui pada Bab 5.

Fungsi F(x) = 1x+1 + 1x + 1x-1 bertipe : ia turun tegas pada setiap selang di antara kutubnya -1, 0, 1 (garis putus-putus). Setiap aras mendatar > 0 dipotong tepat sekali per selang di sebelah kanan kutub pertamanya (titik yang ditandai): jadi penyelesaian F = berselang-seling dengan kutubnya. — Fungsi $F(x) = \frac1{x+1} + \frac1x + \frac1{x-1}$ bertipe Latihan 9.12: ia turun tegas pada setiap selang di antara kutubnya $-1, 0, 1$ (garis putus-putus). Setiap aras mendatar $\lambda > 0$ dipotong tepat sekali per selang di sebelah kanan kutub pertamanya (titik yang ditandai): jadi penyelesaian $F = \lambda$ berselang-seling dengan kutubnya.

9.4 Latihan

Latihan 9.1 ★

Uraikan atas $\R$ : $\dfrac{1}{X^2 - 1}$ ; $\;\dfrac{X}{X^2 - 3X + 2}$ ; $\;\dfrac{X^2 + 1}{X(X-1)}$ (perhatikan bagian bulatnya).

Solusi

Solusi Latihan 9.1.

$\dfrac{1}{X^2 - 1}$ : dengan kutub sederhana $\pm 1$ ; lalu penutupan memberikan $\dfrac{1/2}{X-1} - \dfrac{1/2}{X+1}$ .

$\dfrac{X}{X^2 - 3X + 2} = \dfrac{X}{(X-1)(X-2)}$ : penutupan memberikan $\frac{1}{1-2} = -1$ di $1$ dan $\frac{2}{2-1} = 2$ di $2$ , sehingga $\dfrac{-1}{X-1} + \dfrac{2}{X-2}$ .

$\dfrac{X^2+1}{X(X-1)}$ : derajatnya $0$ , jadi ada bagian bulatnya: dengan membaginya, $X^2 + 1 = (X^2 - X) + (X + 1)$ , sehingga $F = 1 + \frac{X+1}{X(X-1)}$ . Penutupan pada sisanya: $\frac{1}{-1} = -1$ di $0$ , dan $\frac{2}{1} = 2$ di $1$ :

F = 1 - \frac{1}{X} + \frac{2}{X-1} .

Latihan 9.2 ★

Uraikan atas $\R$ : $\dfrac{1}{X(X^2 + 1)}$ dan $\dfrac{X^3}{X^2 + X + 1}$ .

Solusi

Solusi Latihan 9.2.

$\dfrac{1}{X(X^2+1)}$ : dengan bentuk $\frac aX + \frac{bX + c}{X^2 + 1}$ . Penutupan di $0$ : $a = 1$ . Limit $xF$ : $0 = a + b$ , jadi $b = -1$ . Perhitungan nilai di $X = 1$ : $\frac12 = 1 + \frac{c - 1}{2}$ , jadi $c = 0$ :

\frac{1}{X(X^2+1)} = \frac 1X - \frac{X}{X^2+1} .

$\dfrac{X^3}{X^2+X+1}$ : dengan pembagian: $X^3 = (X^2+X+1)(X - 1) + 1$ , jadi

\frac{X^3}{X^2+X+1} = X - 1 + \frac{1}{X^2 + X + 1} ,

yang sudah berbentuk terurai secara real (karena kuadratnya berdiskriminan negatif).

Latihan 9.3 ★

Uraikan $\dfrac{1}{X^2(X - 1)}$ dan $\dfrac{X + 1}{(X - 1)^3}$ (untuk yang kedua, substitusikan $Y = X - 1$ ).

Solusi

Solusi Latihan 9.3.

$\dfrac{1}{X^2(X-1)}$ : dengan bentuk $\frac{a}{X^2} + \frac bX + \frac{c}{X-1}$ . Penutupan pada kutub ganda $0$ : $a = \bigl[\frac{1}{X-1}\bigr]_{0} = -1$ . Penutupan di $1$ : $c = 1$ . Limit $xF$ : $0 = b + c$ , jadi $b = -1$ :

\frac{1}{X^2(X-1)} = -\frac{1}{X^2} - \frac1X + \frac{1}{X-1} .

$\dfrac{X+1}{(X-1)^3}$ : dengan $Y = X - 1$ , pembilangnya menjadi $Y + 2$ :

\frac{Y + 2}{Y^3} = \frac{1}{Y^2} + \frac{2}{Y^3} = \frac{1}{(X-1)^2} + \frac{2}{(X-1)^3} .

Latihan 9.4 ★★

Uraikan atas $\C$ , lalu atas $\R$ : $\dfrac{1}{X^4 - 1}$ .

Solusi

Solusi Latihan 9.4.

Kutubnya adalah akar satuan keempat $1, \iu, -1, -\iu$ , yang semuanya sederhana. Rumus kutub sederhananya dengan $B' = 4X^3$ : koefisien di $a$ adalah $\frac{1}{4a^3} = \frac{a}{4a^4} = \frac a4$ (memakai $a^4 = 1$ ). Jadi, atas $\C$ :

\frac{1}{X^4 - 1} = \frac{1/4}{X - 1} - \frac{1/4}{X + 1} + \frac{\iu/4}{X - \iu} - \frac{\iu/4}{X + \iu} .

Dengan mengelompokkan pasangan konjugatnya (yang berpenyebut persekutuan $X^2 + 1$ ): $\frac{\iu}{4}\bigl(\frac{1}{X-\iu} - \frac{1}{X+\iu}\bigr) = \frac{\iu}{4}\cdot\frac{2\iu}{X^2+1} = \frac{-1/2}{X^2+1}$ . Jadi atas $\R$ :

\frac{1}{X^4 - 1} = \frac{1/4}{X-1} - \frac{1/4}{X+1} - \frac{1/2}{X^2 + 1} .

Periksa di $X = 0$ : $-1 = -\frac14 - \frac14 - \frac12$ .

Latihan 9.5 ★★

Uraikan atas $\R$ : $\dfrac{X^2}{(X^2 + 1)^2}$ , lalu simpulkan sebuah antiturunan $x \mapsto \dfrac{x^2}{(x^2+1)^2}$ bila diberikan $\int \frac{\dd x}{(x^2+1)^2} = \frac12\bigl(\arctan x + \frac{x}{x^2+1}\bigr) + C$ .

Solusi

Solusi Latihan 9.5.

$\dfrac{X^2}{(X^2+1)^2} = \dfrac{(X^2 + 1) - 1}{(X^2+1)^2} = \dfrac{1}{X^2+1} - \dfrac{1}{(X^2+1)^2}$ .

Jadi sebuah antiturunannya:

\int \frac{x^2\,\dd x}{(x^2+1)^2} = \arctan x - \frac12\Bigl(\arctan x + \frac{x}{x^2+1}\Bigr) + C = \frac12\arctan x - \frac{x}{2(x^2+1)} + C .

Latihan 9.6 ★★

Untuk $n \in \N^*$ , uraikan $F_n = \dfrac{n!}{X(X+1)\cdots(X+n)}$ (dengan kutub sederhana di $0, -1, \dots, -n$ ; pakai rumus penutupannya lalu kenali koefisien binomialnya).

Solusi

Solusi Latihan 9.6.

Kutubnya $0, -1, \dots, -n$ semuanya sederhana. Penutupan di $-k$ :

c_k = \frac{n!}{\prod_{j \neq k} (-k + j)} = \frac{n!}{\bigl(\prod_{j=0}^{k-1}(j - k)\bigr) \bigl(\prod_{j=k+1}^{n}(j-k)\bigr)} = \frac{n!}{(-1)^k k!\,(n-k)!} = (-1)^k \binom nk .

Jadi

\frac{n!}{X(X+1)\cdots(X+n)} = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k \binom nk}{X + k} .

(Pemeriksaan kewajaran untuk $n = 1$ : $\frac{1}{X(X+1)} = \frac1X - \frac{1}{X+1}$ .)

Latihan 9.7 ★★

Dengan memakai kesamaan pada Latihan 8.11 untuk $P = X^n - 1$ , buktikan bahwa

\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{X - \omega^k} = \frac{n X^{n-1}}{X^n - 1}, \qquad \omega = \eu^{2\iu\pi/n},

lalu hitung nilai kedua ruasnya di $X = 2$ untuk $n = 4$ sebagai pemeriksaan.

Solusi

Solusi Latihan 9.7.

$P = X^n - 1$ mempunyai $n$ akar sederhana $\omega^k$ (Teorema 3.14), jadi kesamaan turunan logaritmik pada Latihan 8.11 berbunyi

\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{X - \omega^k} = \frac{P'(X)}{P(X)} = \frac{n X^{n-1}}{X^n - 1} .

Di $X = 2$ , $n = 4$ : ruas kanannya $= \frac{4 \times 8}{15} = \frac{32}{15}$ . Ruas kirinya: $\frac{1}{2-1} + \frac{1}{2+1} + \frac{1}{2 - \iu} + \frac{1}{2 + \iu} = 1 + \frac13 + \frac{4}{5} = \frac{15 + 5 + 12}{15} = \frac{32}{15}$ , dengan memakai $\frac{1}{2-\iu} + \frac{1}{2+\iu} = \frac{4}{5}$ .

Latihan 9.8 ★★

Uraikan $\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)}$ lalu hitunglah

S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}, \qquad\text{lalu}\qquad \lim_{n \to \infty} S_n .

Solusi

Solusi Latihan 9.8.

Penutupan: $\dfrac{1}{k(k+1)(k+2)} = \dfrac{1/2}{k} - \dfrac{1}{k+1} + \dfrac{1/2}{k+2}$ . Tulis ulang sebagai selisih yang teleskopik:

\frac{1}{k(k+1)(k+2)} = \frac12\Bigl(\frac{1}{k(k+1)} - \frac{1}{(k+1)(k+2)}\Bigr),

(jabarkan untuk memeriksanya — atau kurangkan kedua penguraiannya). Dengan menjumlahkannya:

S_n = \frac12\Bigl(\frac{1}{1 \times 2} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}\Bigr) = \frac14 - \frac{1}{2(n+1)(n+2)} \xrightarrow[n \to \infty]{} \frac14 .

Latihan 9.9 ★★★

Misalkan $P \in \R[X]$ monik berderajat $n$ dengan $n$ akar real yang berbeda $x_1 < \dots < x_n$ . Buktikan bahwa

\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{P'(x_i)} = 0 \quad (n \geq 2), \qquad \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^{\,n-1}}{P'(x_i)} = 1 .

Petunjuk: uraikan $\frac{X^m}{P}$ untuk $m \leq n - 1$ lalu perhatikan peluruhan koefisiennya di tak hingga — atau pakai interpolasi Lagrange (Teorema 8.23) atas monomial $X^m$ pada simpul $x_i$ .

Solusi

Solusi Latihan 9.9.

Uraikan, untuk $0 \leq m \leq n - 1$ , pecahan $\frac{X^m}{P}$ (yang berderajat $m - n \leq -1$ , dengan kutub sederhana): maka rumus kutub sederhananya memberikan

\frac{X^m}{P} = \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^m / P'(x_i)}{X - x_i} .

Kalikan dengan $X$ lalu ambil $X \to +\infty$ : ruas kirinya menuju limit $X^{m+1}/P$ , yang bernilai $0$ bila $m \leq n - 2$ dan $1$ bila $m = n - 1$ (karena $P$ monik berderajat $n$ ); sedangkan ruas kanannya menuju $\sum_i \frac{x_i^m}{P'(x_i)}$ . Jadi

\sum_{i=1}^{n} \frac{x_i^{m}}{P'(x_i)} = \begin{cases} 0 & \text{untuk } 0 \leq m \leq n-2,\\ 1 & \text{untuk } m = n - 1, \end{cases}

yang memuat kedua kesamaan yang dinyatakan tadi (dengan $m = 0$ menuntut $n \geq 2$ ). (Tafsirannya lewat Teorema 8.23: jumlah itu adalah koefisien utama penginterpolasi Lagrange bagi $X^m$ , dan menginterpolasi polinomial berderajat $\leq n-1$ pada $n$ titik menghasilkannya kembali secara persis.)

Latihan 9.10 ★★

Uraikan $\dfrac{1}{X(X+1)^2}$ atas $\R$ . Dengan menerima nilai $\sum_{k \geq 1} \frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6$ (yang dibuktikan pada soal akhir pekan bab ini), simpulkan

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)^2} = 2 - \frac{\pi^2}{6} .

Solusi

Solusi Latihan 9.10.

Bentuknya $\frac aX + \frac b{X+1} + \frac c{(X+1)^2}$ . Penutupan di $0$ : $a = 1$ ; penutupan pada kutub gandanya: $c = \bigl[\frac1X \bigr]_{X=-1} = -1$ ; dan limit $xF(x)$ di tak hingga: $0 = a + b$ , jadi $b = -1$ :

\frac{1}{X(X+1)^2} = \frac1X - \frac1{X+1} - \frac1{(X+1)^2} .

Dengan menjumlahkannya untuk $n = 1, \dots, N$ : kedua bata pertamanya berteleskop menjadi $1 - \frac1{N+1}$ , dan yang ketiga menyumbang $-\sum_{k=2}^{N+1} \frac1{k^2}$ . Lalu dengan mengambil $N \to \infty$ dan memakai $\sum_{k\geq1} \frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6$ :

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)^2} = 1 - \Bigl(\frac{\pi^2}6 - 1\Bigr) = 2 - \frac{\pi^2}6 \approx 0.355 .

Latihan 9.11 ★★

Uraikan atas $\R$ : $\dfrac{1}{(X^2+1)(X^2+4)}$ , lalu $\dfrac{X^2}{(X^2+1)(X^2+4)}$ . Petunjuk: kedua penyebutnya adalah polinomial dalam $X^2$ : jadi uraikan $\frac1{(Y+1)(Y+4)}$ lebih dulu.

Solusi

Solusi Latihan 9.11.

Dalam variabel $Y$ : $\frac1{(Y+1)(Y+4)} = \frac{1/3}{Y+1} - \frac{1/3}{Y+4}$ (dari penutupan di $-1$ dan $-4$ ), jadi

\frac{1}{(X^2+1)(X^2+4)} = \frac13\,\frac1{X^2+1} - \frac13\,\frac1{X^2+4} .

Demikian pula $\frac{Y}{(Y+1)(Y+4)} = \frac{-1/3}{Y+1} + \frac{4/3}{Y+4}$ , sehingga

\frac{X^2}{(X^2+1)(X^2+4)} = -\frac13\,\frac1{X^2+1} + \frac43\,\frac1{X^2+4} .

(Periksa di $X = 0$ : $0 = \frac13(-1 + 1)$ .) Keduanya sudah merupakan penguraian realnya: karena pembilang di atas kuadrat yang tak tereduksikan kebetulan berupa konstanta.

Latihan 9.12 ★★★

(Persamaan sekuler) Misalkan $F = \sum_{i=1}^{r} \frac{c_i}{X - p_i}$ dengan $p_1 < p_2 < \dots < p_r$ real dan semua $c_i > 0$ .

Tunjukkan bahwa $F$ turun tegas pada setiap selang di daerah asalnya, lalu berikan limitnya di $\pm\infty$ dan pada kedua sisi setiap kutubnya.
Simpulkan bahwa untuk setiap $\lambda > 0$ , persamaan $F(x) = \lambda$ mempunyai tepat $r$ penyelesaian real, satu pada masing-masing selang $\intoo{p_i}{p_{i+1}}$ dan satu di luar $p_r$ . (Persamaan semacam itu mengatur perturbasi nilai eigen; adapun teorema nilai antara di sini dipakai pada taraf sekolah menengah dan dibuktikan pada Bab 13.)

Solusi

Solusi Latihan 9.12.

Pada setiap selang yang menghindari kutubnya, $F'(x) = -\sum_i \frac{c_i}{(x - p_i)^2} < 0$ : jadi ia turun tegas. Ketika $x \to \pm\infty$ , setiap batanya menuju $0$ : sehingga $F \to 0$ , dari atas di $+\infty$ (karena semua batanya positif di sana) dan dari bawah di $-\infty$ . Ketika $x \to p_i^+$ , bata $\frac{c_i}{x - p_i}$ meledak ke $+\infty$ sedangkan yang lain tetap terbatas: jadi $F \to +\infty$ ; demikian pula $F \to -\infty$ ketika $x \to p_i^-$ .
Tetapkan $\lambda > 0$ . Pada $\intoo{-\infty}{p_1}$ : $F$ turun dari $0^-$ ke $-\infty$ , jadi $F < 0 < \lambda$ : tak ada penyelesaian. Pada masing-masing $\intoo{p_i}{p_{i+1}}$ ( $1 \leq i \leq r-1$ ): $F$ turun dari $+\infty$ ke $-\infty$ , sehingga ia bernilai $\lambda$ tepat sekali (menurut sifat nilai antara beserta kemonotonan tegasnya). Pada $\intoo{p_r}{+\infty}$ : $F$ turun dari $+\infty$ ke $0^+$ , sehingga sekali lagi tepat satu penyelesaian. Totalnya: tepat $r$ penyelesaian, yang berselang-seling dengan kutubnya.

9.5 Soal: Pecahan parsial sebagai sebuah mesin

Soal 9.1

Penguraian pecahan parsial tampak seperti pembukuan belaka; soal ini menunjukkan bahwa ia sebuah mesin. Disuapi pecahan $\frac1{X(X+1)\cdots(X+k)}$ , ia meneleskopkan seluruh keluarga jumlah menjadi bentuk tertutup; disuapi $\frac1{X^n - 1}$ , ia menghasilkan kesamaan trigonometri seperti

\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{\sin^2\frac{k\pi}{n}} = \frac{n^2-1}{3} ;

dan, didorong satu langkah lagi, kesamaan itu memeras keluar salah satu rumus paling termasyhur dalam matematika, yaitu rumus Euler

\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}{6}

— yang di sini diperoleh tanpa apa pun di luar aljabar bab ini dan trigonometri sekolah menengah. Di sepanjang soal ini, $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ ; adapun limit barisan dipakai pada taraf sekolah menengah (Bab 11 meresmikannya).

Bagian I — Teleskopnya.

Uraikan $\frac1{X(X+1)}$ lalu hitung $\sum_{n=1}^{N} \frac1{n(n+1)}$ secara eksak; lalu simpulkan bahwa jumlahnya menuju $1$ .
Hal yang sama untuk $\frac1{X(X+2)}$ : tunjukkan $\sum_{n=1}^{N} \frac1{n(n+2)} = \frac12\bigl(\frac32 - \frac1{N+1} - \frac1{N+2}\bigr) \to \frac34$ . (Dengan adanya celah, dua suku batas bertahan pada masing-masing ujungnya.)
Resmikan mekanismenya: jika $F(X) = G(X) - G(X+1)$ untuk suatu $G$ rasional yang tak berkutub di $\intco1{+\infty}$ , maka $\sum_{n=1}^N F(n) = G(1) - G(N+1)$ . Pulihkan nilai $\frac14$ pada Latihan 9.8 dengan menunjukkan saksi $G$ untuk $F = \frac1{X(X+1)(X+2)}$ .
Buktikan teleskop faktorial yang umum: untuk $k \geq 1$ ,

$\frac{1}{X(X+1)\cdots(X+k)} = \frac1k\biggl(\frac{1}{X(X+1)\cdots(X+k-1)} - \frac{1}{(X+1)\cdots(X+k)}\biggr),$

lalu simpulkan

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)\cdots(n+k)} = \frac{1}{k \cdot k!} .$

Periksa kasus $k = 2$ terhadap pertanyaan 3.
Hitunglah nilai penguraian Latihan 9.6 pada titik yang dipilih baik untuk membuktikan

$\sum_{j=0}^{n}(-1)^j\binom nj\,\frac1{j+1} = \frac1{n+1}, \qquad \sum_{j=0}^{n}(-1)^j\binom nj\,\frac1{j+2} = \frac1{(n+1)(n+2)} .$

Bagian II — Pecahan $1/(X^n - 1)$ .

Tunjukkan lewat rumus penutupannya bahwa

$\frac{1}{X^n - 1} = \frac1n\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\omega^k}{X - \omega^k} .$
Dua pemeriksaan kewajaran: periksa rumusnya secara langsung untuk $n = 2$ , lalu tunjukkan bahwa jumlah $n$ koefisiennya lenyap untuk $n \geq 2$ — dan jelaskan mengapa ia harus demikian (tinjau $xF(x)$ ketika $x \to \infty$ ).
Turunkan ulang lewat penutupan kesamaan pada Latihan 9.7: $\frac{nX^{n-1}}{X^n-1} = \sum_k \frac1{X - \omega^k}$ .
Kelompokkan kutub konjugatnya untuk membuktikan penguraian realnya: dengan $\theta_k = \frac{2k\pi}n$ ,

$\frac{\omega^k}{X - \omega^k} + \frac{\omega^{n-k}}{X - \omega^{n-k}} = \frac{2\cos\theta_k\,X - 2} {X^2 - 2\cos\theta_k\,X + 1} ,$

lalu tuliskan penguraian real lengkap $\frac1{X^n-1}$ (bedakan $n$ ganjil dan $n$ genap).
Khususkan pada $n = 4$ lalu cocokkan dengan Latihan 9.4.

Bagian III — Jumlah trigonometri, dan $\pi^2/6$ Euler. Misalkan $P = 1 + X + \dots + X^{n-1}$ , yang akarnya adalah $\omega, \omega^2, \dots, \omega^{n-1}$ (semuanya sederhana).

Dengan memakai $\frac{P'}P = \sum_{k=1}^{n-1}\frac1{X - \omega^k}$ (Latihan 8.11), buktikan

$\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{1 - \omega^k} = \frac{n-1}2 .$
Buktikan $\dfrac1{1 - \eu^{\iu\theta}} = \dfrac12 + \dfrac\iu2\,\frac{\cos(\theta/2)}{\sin(\theta/2)}$ untuk $\theta \notin 2\pi\Z$ (lewat pemfaktoran setengah sudut, Metode 3.11), lalu simpulkan dari pertanyaan 11 bahwa $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{\cos(k\pi/n)}{\sin(k\pi/n)} = 0$ — yang juga terlihat lewat simetri $k \leftrightarrow n - k$ .
Dengan menurunkan kesamaan pertanyaan 11 (yakni memakai $\bigl(\frac{P'}P\bigr)' = \frac{P''}P - \bigl(\frac{P'}P\bigr)^2$ yang dihitung di $X = 1$ ), buktikan

$\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{(1 - \omega^k)^2} = \frac{(n-1)(5-n)}{12} .$
Dengan menulis $\cot t = \frac{\cos t}{\sin t}$ , simpulkan dari pertanyaan 12–13 kedua bentuk tertutupnya

$\sum_{k=1}^{n-1}\cot^2\frac{k\pi}n = \frac{(n-1)(n-2)}3, \qquad \sum_{k=1}^{n-1}\frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} = \frac{n^2-1}3 .$
Periksa kedua rumusnya dengan tangan untuk $n = 3$ dan $n = 4$ .
Buktikan ketaksamaan $\cot t < \frac1t < \frac1{\sin t}$ untuk $t \in \intoo0{\frac\pi2}$ (dari $\sin t < t < \tan t$ ), lalu simpulkan, untuk $n = 2m + 1$ dan $1 \leq k \leq m$ :

$\cot^2\frac{k\pi}n \;<\; \frac{n^2}{k^2\pi^2} \;<\; \frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} .$
Jumlahkan ketaksamaan itu untuk $k = 1, \dots, m$ (dengan memakai simetri $k \leftrightarrow n - k$ untuk memaruhkan rumus pertanyaan 14) lalu apitlah:

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6 .$

Bagian IV — Bata berorde lebih tinggi.

Dengan mengkuadratkan penguraian $\frac1{X^2-1}$ lalu menguraikan ulang suku silangnya, buktikan

$\frac1{(X^2-1)^2} = \frac14\Bigl(\frac1{(X-1)^2} + \frac1{(X+1)^2}\Bigr) - \frac14\Bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1}\Bigr),$

lalu periksa ia di $X = 0$ .
Padukan pertanyaan 18, teleskopnya, dan nilai Euler (pertanyaan 17) untuk membuktikan

$\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{(n^2-1)^2} = \frac{\pi^2}{12} - \frac{11}{16} ,$

lalu benarkan nilainya secara numerik sampai tiga desimal.
Turunkan kesamaan pertanyaan 8 untuk memperoleh sebuah bentuk tertutup bagi $\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{(X - \omega^k)^2}$ , lalu periksa ia di $X = 2$ , $n = 2$ .
Buktikan bahwa untuk $k \geq 2$ ,

$\sum_{n=k}^{\infty}\frac{1}{\binom nk} = \frac{k}{k-1} .$

(Susutkan ke pertanyaan 4 dengan menulis $1/\binom nk$ memakai faktorial.)
Untuk $k = 3$ , berikan jumlah parsial yang eksak $\sum_{n=3}^{N}\frac1{\binom n3}$ beserta limitnya.

Bagian V — Sintesis.

Sebagai perhitungan penutup, tuliskan penguraian real lengkap $\dfrac1{X^6 - 1}$ lalu periksa ia di $X = 0$ .
Di mana persisnya soal ini memakai: (i) ketunggalan penguraiannya; (ii) akar satuan dari Bab 3; (iii) turunan logaritmik dari Latihan 8.11? Satu kalimat untuk masing-masing.
Sintesis, dalam satu paragraf pendek: satu kesamaan aljabar — yaitu memecah pecahan menjadi bata — melahirkan jumlah yang eksak, kesamaan trigonometri, dan $\pi^2/6$ . Berilah komentar atas pembagian tugas antara aljabar (penguraian yang eksak dan berlaku di mana-mana) dan analisis (limit dan pengapitan), lalu tunjukkan tempat masing-masing benangnya diindustrialisasi: teleskop dan perbandingan pada Bab 17, dan pengintegralan batanya pada Bab 15.

Solusi

Solusi Soal 9.1.

1. Penutupan: $\frac1{X(X+1)} = \frac1X - \frac1{X+1}$ . Jumlahnya pun berteleskop:

\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac1n - \frac1{n+1}\Bigr) = 1 - \frac1{N+1} \longrightarrow 1 .

2. $\frac1{X(X+2)} = \frac{1/2}X - \frac{1/2}{X+2}$ . Dengan menjumlahkannya, suku $\frac1n$ bertahan untuk $n = 1, 2$ dan suku $-\frac1{n+2}$ bertahan untuk $n = N-1, N$ :

\sum_{n=1}^{N}\frac1{n(n+2)} = \frac12\Bigl(1 + \frac12 - \frac1{N+1} - \frac1{N+2}\Bigr) \longrightarrow \frac34 .

3. Jika $F(X) = G(X) - G(X+1)$ , maka $\sum_{n=1}^N F(n) = \sum_{n=1}^N\bigl(G(n) - G(n+1)\bigr) = G(1) - G(N+1)$ : karena semua nilai antaranya saling hapus berpasangan. Untuk $F = \frac1{X(X+1)(X+2)}$ , saksinya adalah $G(X) = \frac1{2X(X+1)}$ :

G(X) - G(X+1) = \frac{(X+2) - X}{2X(X+1)(X+2)} = F(X) ,

jadi $\sum_{n=1}^N F(n) = \frac14 - \frac1{2(N+1)(N+2)} \to \frac14$ , yaitu nilai pada Latihan 9.8.

4. Letakkan ruas kanannya di atas penyebut persekutuan $X(X+1)\cdots(X+k)$ :

\frac1k\cdot\frac{(X + k) - X}{X(X+1)\cdots(X+k)} = \frac{1}{X(X+1)\cdots(X+k)} ,

yang tepat merupakan kesamaannya. Jadi $F_k(X) = \frac1k\bigl(G_k(X) - G_k(X+1)\bigr)$ dengan $G_k(X) = \frac1{X(X+1)\cdots(X+k-1)}$ , dan mekanisme pertanyaan 3 memberikan

\sum_{n=1}^{N}\frac1{n(n+1)\cdots(n+k)} = \frac1k\Bigl(\frac1{k!} - G_k(N+1)\Bigr) \longrightarrow \frac1{k\cdot k!} ,

karena $G_k(1) = \frac1{k!}$ dan $G_k(N+1) \to 0$ . Untuk $k = 2$ : $\frac1{2\cdot2} = \frac14$ , yang cocok dengan pertanyaan 3.

5. Latihan 9.6 memberikan $\frac{n!}{X(X+1)\cdots(X+n)} = \sum_{j=0}^n \frac{(-1)^j\binom nj}{X + j}$ . Hitung nilainya di $X = 1$ : ruas kirinya menjadi $\frac{n!}{(n+1)!} = \frac1{n+1}$ , sedangkan ruas kanannya menjadi $\sum_j(-1)^j\binom nj\frac1{1+j}$ : itulah kesamaan pertamanya. Di $X = 2$ : ruas kirinya menjadi $\frac{n!}{2\cdot3\cdots(n+2)} = \frac{n!\cdot1}{(n+2)!} = \frac1{(n+1)(n+2)}$ , sedangkan ruas kanannya $\sum_j(-1)^j\binom nj\frac1{2+j}$ : itulah kesamaan keduanya.

6. Kutub $\omega^k$ semuanya sederhana, dan rumus kutub sederhana pada Metode 9.6 memberikan koefisien

\frac{1}{\bigl(nX^{n-1}\bigr)_{X = \omega^k}} = \frac{1}{n\,\omega^{k(n-1)}} = \frac{\omega^k}{n\,\omega^{kn}} = \frac{\omega^k}n ,

dengan memakai $\omega^{kn} = 1$ . Jadi $\frac1{X^n-1} = \frac1n\sum_k \frac{\omega^k}{X - \omega^k}$ .

7. Untuk $n = 2$ (dengan $\omega = -1$ ): $\frac12\bigl( \frac1{X-1} - \frac1{X+1}\bigr) = \frac12\cdot\frac{2}{X^2-1} = \frac1{X^2-1}$ : jadi benar. Koefisiennya berjumlah $\frac1n\sum_k\omega^k = 0$ untuk $n \geq 2$ (Proposisi 3.18). Memang harus demikian: karena $x\,F(x) \to \sum_k c_k$ ketika $x \to \infty$ untuk sebarang penguraian berkutub sederhana, sedangkan di sini $xF(x) = \frac{x}{x^n-1} \to 0$ karena $n \geq 2$ .

8. Penutupan untuk $\frac{X^{n-1}}{X^n - 1}$ di $\omega^k$ : $\frac{A(\omega^k)}{B'(\omega^k)} = \frac{\omega^{k(n-1)}}{n\omega^{k(n-1)}} = \frac1n$ , jadi $\frac{X^{n-1}}{X^n-1} = \frac1n\sum_k\frac1{X - \omega^k}$ — yaitu kesamaan Latihan 9.7 sekali lagi.

9. Dengan $c = \omega^k$ , $\conj c = \omega^{n-k}$ dan $c\conj c = 1$ , $c + \conj c = 2\cos\theta_k$ :

\frac{c}{X - c} + \frac{\conj c}{X - \conj c} = \frac{c(X - \conj c) + \conj c(X - c)} {(X - c)(X - \conj c)} = \frac{2\cos\theta_k\,X - 2}{X^2 - 2\cos\theta_k\,X + 1} .

Dengan mengelompokkan $k$ bersama $n - k$ pada pertanyaan 6: untuk $n$ ganjil,

\frac1{X^n - 1} = \frac1n\Biggl(\frac1{X-1} + \sum_{k=1}^{(n-1)/2} \frac{2\cos\theta_k X - 2}{X^2 - 2\cos\theta_k X + 1}\Biggr) ;

sedangkan untuk $n$ genap, kutub $\omega^{n/2} = -1$ yang berpasangan dengan dirinya sendiri menyumbang $\frac{-1}{X+1}$ di dalam kurungnya dan jumlah pasangannya berjalan sampai $\frac n2 - 1$ .

10. Untuk $n = 4$ : $\theta_1 = \frac\pi2$ , $\cos\theta_1 = 0$ , jadi suku pasangannya adalah $\frac{-2}{X^2+1}$ dan

\frac1{X^4-1} = \frac14\Bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1} - \frac2{X^2+1}\Bigr) ,

yaitu penguraian pada Latihan 9.4.

11. $P = \prod_{k=1}^{n-1}(X - \omega^k)$ (bagilah $X^n - 1$ dengan $X - 1$ ), jadi menurut Latihan 8.11, $\frac{P'}P = \sum_{k=1}^{n-1}\frac1{X-\omega^k}$ . Di $X = 1$ : $P(1) = n$ dan $P'(1) = \sum_{j=1}^{n-1}j = \frac{n(n-1)}2$ , sehingga

\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{1 - \omega^k} = \frac{P'(1)}{P(1)} = \frac{n-1}2 .

12. Setengah sudut: $1 - \eu^{\iu\theta} = -2\iu\sin\frac\theta2\,\eu^{\iu\theta/2}$ , sehingga

\frac1{1 - \eu^{\iu\theta}} = \frac{\eu^{-\iu\theta/2}}{-2\iu\sin\frac\theta2} = \frac{\iu\cos\frac\theta2 + \sin\frac\theta2} {2\sin\frac\theta2} = \frac12 + \frac\iu2\, \frac{\cos\frac\theta2}{\sin\frac\theta2} .

Dengan $\theta = \theta_k = \frac{2k\pi}n$ : $\frac1{1-\omega^k} = \frac12 + \frac\iu2\cot\frac{k\pi}n$ . Dengan menjumlahkannya atas $k = 1, \dots, n-1$ lalu membandingkannya dengan nilai real $\frac{n-1}2$ pada pertanyaan 11: bagian realnya sudah menanggung segalanya, sehingga $\sum_k\cot\frac{k\pi}n = 0$ — sebagaimana juga ditunjukkan simetri $\cot\frac{(n-k) \pi}n = -\cot\frac{k\pi}n$ .

13. Dengan menurunkan $\frac{P'}P = \sum_k\frac1{X - \omega^k}$ :

\frac{P''}P - \Bigl(\frac{P'}P\Bigr)^2 = -\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{(X - \omega^k)^2} .

Di $X = 1$ : $P''(1) = \sum_{j=2}^{n-1}j(j-1) = 2\binom n3 = \frac{n(n-1)(n-2)}3$ (dari kesamaan tongkat hoki, atau lewat induksi), jadi

\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{(1 - \omega^k)^2} = \Bigl(\frac{n-1}2\Bigr)^2 - \frac{(n-1)(n-2)}3 = \frac{(n-1)\bigl(3(n-1) - 4(n-2)\bigr)}{12} = \frac{(n-1)(5-n)}{12} .

14. Dengan mengkuadratkan rumus pertanyaan 12, dengan $c_k = \cot\frac{k\pi}n$ :

\frac1{(1-\omega^k)^2} = \Bigl(\frac12 + \frac\iu2 c_k\Bigr)^2 = \frac14 - \frac{c_k^2}4 + \frac\iu2\,c_k .

Dengan menjumlahkannya dan memakai $\sum c_k = 0$ (pertanyaan 12) beserta pertanyaan 13: $\frac{n-1}4 - \frac14\sum_k c_k^2 = \frac{(n-1)(5-n)}{12}$ , sehingga

\sum_{k=1}^{n-1}\cot^2\frac{k\pi}n = (n-1) - \frac{(n-1)(5-n)}3 = \frac{(n-1)(n-2)}3 .

Lalu $\frac1{\sin^2t} = 1 + \cot^2t$ memberikan $\sum_k\frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} = (n-1) + \frac{(n-1)(n-2)}3 = \frac{n^2-1}3$ .

15. Untuk $n = 3$ : $\cot^2\frac\pi3 + \cot^2\frac{2\pi}3 = \frac13 + \frac13 = \frac23 = \frac{2\cdot1}3$ ; dan $\frac1{\sin^2}$ berjumlah $\frac43 + \frac43 = \frac83 = \frac{9-1}3$ . Untuk $n = 4$ : $1 + 0 + 1 = 2 = \frac{3\cdot2}3$ ; dan $2 + 1 + 2 = 5 = \frac{16-1}3$ . Kedua rumusnya cocok.

16. Untuk $t \in \intoo0{\frac\pi2}$ , perbandingan klasik $\sin t < t < \tan t$ (lewat argumen luas atau kecembungan, yang dikenal sejak sekolah menengah) memberikan, setelah kebalikannya diambil, $\cot t < \frac1t < \frac1{\sin t}$ , dengan ketiganya positif di sana; dan mengkuadratkannya mengawetkan urutannya. Dengan $t = \frac{k\pi}n$ , $1 \leq k \leq m$ , $n = 2m+1$ (sehingga $t < \frac\pi2$ ):

\cot^2\frac{k\pi}n < \frac{n^2}{k^2\pi^2} < \frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} .

17. Menurut simetri $\cot^2\frac{(n-k)\pi}n = \cot^2\frac{k\pi}n$ dan hal serupa untuk $\sin^2$ , jumlah pertanyaan 14 terparuh: $\sum_{k=1}^{m}\cot^2\frac{k\pi}n = \frac{(n-1)(n-2)}6 = \frac{m(2m-1)}3$ dan $\sum_{k=1}^m\frac1{\sin^2\frac{k\pi}n} = \frac{n^2-1}6 = \frac{2m(m+1)}3$ . Dengan menjumlahkan pertanyaan 16 atas $k = 1, \dots, m$ lalu mengalikannya dengan $\frac{\pi^2}{n^2}$ :

\frac{\pi^2}{(2m+1)^2}\cdot\frac{m(2m-1)}3 \;<\; \sum_{k=1}^{m}\frac1{k^2} \;<\; \frac{\pi^2}{(2m+1)^2}\cdot\frac{2m(m+1)}3 .

Kedua batasnya menuju $\frac{\pi^2}6$ ketika $m \to \infty$ (karena rasio $\frac{m(2m-1)}{(2m+1)^2}$ dan $\frac{2m(m+1)}{(2m+1)^2}$ sama-sama menuju $\frac12$ ), sehingga menurut pengapitan jumlah parsialnya yang naik itu konvergen dan

\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6 .

18. Kuadratkan $\frac1{X^2-1} = \frac12\bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1}\bigr)$ :

\frac1{(X^2-1)^2} = \frac14\Bigl(\frac1{(X-1)^2} + \frac1{(X+1)^2}\Bigr) - \frac12\cdot\frac1{(X-1)(X+1)} ,

lalu uraikan ulang suku silangnya $\frac1{(X-1)(X+1)} = \frac12\bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1}\bigr)$ untuk memperoleh bentuk yang dinyatakan tadi. Di $X = 0$ : ruas kirinya $1$ ; ruas kanannya $\frac14(1 + 1) - \frac14(-1 - 1) = \frac12 + \frac12 = 1$ .

19. Jumlahkan pertanyaan 18 atas $n \geq 2$ . Dengan $S = \sum_{k\geq1}\frac1{k^2} = \frac{\pi^2}6$ : maka $\sum_{n\geq2} \frac1{(n-1)^2} = S$ ; $\sum_{n\geq2}\frac1{(n+1)^2} = S - 1 - \frac14$ ; dan teleskop bercelah dua $\sum_{n\geq2}\bigl( \frac1{n-1} - \frac1{n+1}\bigr) = 1 + \frac12 = \frac32$ . Jadi

\sum_{n=2}^{\infty}\frac1{(n^2-1)^2} = \frac14\Bigl(2S - \frac54\Bigr) - \frac14\cdot\frac32 = \frac S2 - \frac{11}{16} = \frac{\pi^2}{12} - \frac{11}{16} \approx 0.135 .

Secara numerik: $\frac19 + \frac1{64} + \frac1{225} + \frac1{576} + \frac1{1225} + \dots \approx 0.1111 + 0.0156 + 0.0044 + 0.0017 + 0.0008 + \dots \approx 0.135$ : jadi sejalan.

20. Turunkan kesamaan pertanyaan 8 $\sum_k\frac1{X-\omega^k} = \frac{nX^{n-1}}{X^n-1}$ :

\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{(X - \omega^k)^2} = \frac{n^2X^{2n-2} - n(n-1)X^{n-2}(X^n - 1)}{(X^n - 1)^2} .

Periksa di $n = 2$ , $X = 2$ : ruas kanannya $\frac{4\cdot4 - 2\cdot1\cdot3}{9} = \frac{10}9$ ; ruas kirinya $\frac1{(2-1)^2} + \frac1{(2+1)^2} = 1 + \frac19 = \frac{10}9$ .

21. $\frac1{\binom nk} = \frac{k!\,(n-k)!}{n!} = \frac{k!}{(n-k+1)(n-k+2)\cdots n}$ , yaitu hasil kali $k$ bilangan bulat berurutan di penyebutnya. Dengan mensubstitusikan $j = n - k + 1$ (sehingga $j$ menjelajahi $\N^*$ ketika $n$ berjalan dari $k$ ):

\sum_{n=k}^{\infty}\frac1{\binom nk} = k!\sum_{j=1}^{\infty}\frac1{j(j+1)\cdots(j+k-1)} = \frac{k!}{(k-1)\,(k-1)!} = \frac{k}{k-1} ,

menurut pertanyaan 4 yang diterapkan dengan $k - 1$ menggantikan $k$ (yang sah karena $k - 1 \geq 1$ ).

22. Untuk $k = 3$ : $\frac1{\binom n3} = \frac6{(n-2)(n-1)n}$ , jadi menurut jumlah parsial pertanyaan 3 (yang tergeser),

\sum_{n=3}^{N}\frac1{\binom n3} = 6\sum_{j=1}^{N-2}\frac1{j(j+1)(j+2)} = 6\Bigl(\frac14 - \frac1{2(N-1)N}\Bigr) = \frac32 - \frac3{(N-1)N} \longrightarrow \frac32 ,

yaitu nilai $\frac k{k-1} = \frac32$ pada pertanyaan 21.

23. Untuk $n = 6$ : pasangannya $k = 1$ ( $\theta_1 = \frac\pi3$ , $2\cos\theta_1 = 1$ ) dan $k = 2$ ( $\theta_2 = \frac{2\pi}3$ , $2\cos\theta_2 = -1$ ), ditambah kutub real $\pm1$ :

\frac1{X^6-1} = \frac16\Bigl(\frac1{X-1} - \frac1{X+1} + \frac{X - 2}{X^2 - X + 1} + \frac{-X - 2}{X^2 + X + 1}\Bigr) .

Di $X = 0$ : ruas kirinya $-1$ ; ruas kanannya $\frac16(-1 - 1 - 2 - 2) = -1$ : jadi benar.

24. (i) Ketunggalannya mengesahkan setiap penyamaan koefisien — baik penutupan, pengelompokan pasangan konjugat pada pertanyaan 9, maupun kiat penurunan (pertanyaan 13, 20) semuanya bersandar padanya. (ii) Akar satuan memasok kutub $X^n - 1$ , simetrinya ( $k \leftrightarrow n-k$ ), dan aljabar setengah sudut pada pertanyaan 12 (Metode 3.11). (iii) Adapun turunan logaritmik $\frac{P'}P = \sum\frac{m_i}{X-a_i}$ mengubah informasi tentang akar $P = 1 + X + \dots + X^{n-1}$ menjadi jumlah numerik pada pertanyaan 11 dan 13 — yaitu engsel antara Bagian II dan Bagian III.

25. Penguraiannya adalah kesamaan yang murni aljabar, benar untuk setiap nilai variabelnya sekaligus; dan itulah yang menjadikannya sebuah mesin. Mensubstitusikan bilangan bulat lalu menjumlahkannya mengubahnya menjadi teleskop (Bagian I); mensubstitusikan akar satuan lalu mengelompokkan konjugatnya mengubahnya menjadi kesamaan trigonometri (Bagian II dan III); dan barulah pada langkah terakhir analisis masuk — yaitu sebuah pengapitan di antara dua bentuk tertutup — untuk menyerahkan $\frac{\pi^2}6$ , yakni pernyataan yang tak dapat dicapai substitusi hingga mana pun. Pembagian tugas ini (aljabar menghasilkan kesamaan hingga yang eksak, analisis melewatkannya ke limit) adalah cetakan bagi Bab 17, yang di sana teleskop dan perbandingan menjadi sistematis, dan bagi Bab 15, yang di sana setiap bata memperoleh antiturunan dan penguraian yang sama menghitung integral alih-alih jumlah.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

pecahan rasional

Lihat semua 395 istilah di glosarium

9.1 Lapangan K(X)K(X)K(X)

9.2 Penguraian pecahan parsial atas C\CC

9.3 Penguraian atas R\RR

9.4 Latihan

9.5 Soal: Pecahan parsial sebagai sebuah mesin

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

9.1 Lapangan $K(X)$

9.2 Penguraian pecahan parsial atas $\C$

9.3 Penguraian atas $\R$