Apa itu pemetaan linear?

Contoh 20.8 (Membangun sebuah pemetaan menurut spesifikasi)

Konstruksikanlah $u \in \mathcal{L}(\R^3)$ dengan $\ker u = \operatorname{Vect}(1,1,1)$ dan $\operatorname{im} u = \{z = 0\}$. Periksa kewarasannya dulu: rank–nulitas menuntut $1 + 2 = 3$ — yang selaras, sehingga sebuah penyelesaian mungkin ada. Pilihlah basis yang disesuaikan dengan kernelnya, katakanlah $\bigl((1,1,1),\ e_1,\ e_2\bigr)$ (Contoh 19.7), lalu tetapkanlah petanya (Proposisi 20.2):

Maka $\ker u \supseteq \operatorname{Vect}(1,1,1)$ dan $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(e_1, e_2) = \{z = 0\}$; lalu rank–nulitas memaksa $\dim\ker u = 1$, sehingga kernelnya tepat garis yang ditetapkan itu. Adapun secara eksplisit, dengan menguraikan $(x, y, z) = z(1,1,1) + (x - z)e_1 + (y - z)e_2$:

Resepnya tersamaratakan: bahwa pemetaan linear dengan kernel $N$ dan peta $I$ yang ditetapkan ada tepat ketika $\dim N + \dim I = \dim E$ — dengan keperluannya dari rank–nulitas, dan kecukupannya dari konstruksi ini.

Contoh 20.10 (Interpolasi, secara struktural)

Tetapkanlah $x_0, \dots, x_n$ yang berbeda lalu misalkan $u \colon \R_n[X] \to \R^{n+1}$, $P \mapsto (P(x_0), \dots, P(x_n))$: yang linear. Adapun kernelnya adalah $\{P : \deg P \leq n,\ n+1 \text{ akar}\} = \{0\}$ (Akibat 8.8). Dengan dimensi yang sama $n + 1$: maka $u$ sebuah isomorfisma — sehingga keberadaan dan ketunggalan interpolan Lagrange (Teorema 8.23) dalam satu baris.

Adapun pola satu baris yang sama menangani data yang mencampur nilai dan turunan: $v \colon \R_3[X] \to \R^4$, $P \mapsto \bigl(P(0), P'(0), P(1), P'(1)\bigr)$ bersifat linear, dan kernelnya terdiri atas polinomial berderajat $\leq 3$ dengan akar rangkap di $0$ dan $1$, yakni terbagi oleh $X^2(X-1)^2$ yang berderajat $4$: sehingga hanya $P = 0$. Dengan dimensi yang sama lagi: setiap kuadruple data $(P(0), P'(0), P(1), P'(1))$ terwujud oleh tepat satu kubik — yaitu interpolasi Hermite, yang diberikan oleh perhitungan kernel sebelum rumus apa pun dituliskan (adapun soal akhir pekan Bab 22 bertemu determinannya).

Contoh 20.11 (Rank–nulitas dalam kerja: operator selisihnya)

Misalkan $\Delta \colon \R_n[X] \to \R_n[X]$, $P \mapsto P(X+1) - P(X)$: yang linear. Kernelnya: jika $\Delta P = 0$, maka $P(0) = P(1) = P(2) = \dots$, sehingga $P - P(0)$ berakar tak hingga banyak dan lenyap (Akibat 8.8): jadi $\ker\Delta$ adalah garis konstantanya. Lalu rank–nulitas: $\operatorname{rk}\Delta = (n + 1) - 1 = n$. Dan karena $\deg \Delta P < \deg P$ untuk $P$ yang takkonstan (sebab suku puncaknya saling meniadakan), $\operatorname{im}\Delta \subseteq \R_{n-1}[X]$, yang berdimensi tepat $n$: sehingga inklusinya menjadi kesamaan. Kesimpulannya, tanpa perhitungan prapeta apa pun: bahwa setiap polinomial $Q$ berderajat $\leq n - 1$ merupakan selisih $Q = P(X+1) - P(X)$ — jadi antiturunan diskretnya ada. (Bandingkanlah soal akhir pekan Bab 18, yang di situ $\Delta$ dibalik secara eksplisit pada basis binomialnya.)