Pemetaan transpos কী?

Contoh 2.9 (Transpos, unsur demi unsur)

Misalkan $u \colon \R^2 \to \R^3$ bermatriks $A = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1\\ 3 & 0\end{smallmatrix}\right)$ pada basis kanonik. Untuk $\psi = b_1f_1^* + b_2f_2^* + b_3f_3^* \in (\R^3)^*$, hitung $u^{\mathsf T}(\psi) = \psi \circ u$ pada basis $\R^2$:

Jadi $u^{\mathsf T}(\psi) = (b_1 + 3b_3)\,e_1^* + (2b_1 + b_2)\,e_2^*$, dan pada basis dual matriks $u^{\mathsf T}$ adalah

transpos abstrak adalah matriks yang dibalik, tanpa perhitungan yang tersisa untuk dipercaya begitu saja. Perhatikan mekanismenya: kolom ke-$j$ pada $A$ menjadi baris ke-$j$ pada matriks yang baru, sebab $\psi \circ u$ membaca keluaran $u$ lewat koefisien $\psi$.

Contoh 2.11 (Rank dibaca dari kedua sisi)

Misalkan

Rank kolom: baris ketiga adalah jumlah dua baris pertama, jadi $\operatorname{rk} A \leq 2$; kolom $1$ dan $2$ bebas, sehingga $\operatorname{rk} A = 2$. Kernel transposnya: menyelesaikan $A^{\mathsf T}y = 0$ memberi $y \in \R\,(1, 1, -1)$, jadi $\ker A^{\mathsf T}$ berdimensi $1 = 3 - 2$: persis $(\operatorname{im} A)^\circ$ di bawah penyamaan $(\R^3)^*$ dengan vektor baris, sebagaimana ditegaskan Proposisi 2.10 — satu-satunya kaitan “baris$_3$ = baris$_1$ + baris$_2$” adalah anihilator ruang kolomnya. Rank baris ($2$ baris yang bebas) dan rank kolom berimpit bukan karena kebetulan, melainkan karena keduanya sama dengan $\operatorname{rk} A = \operatorname{rk} A^{\mathsf T}$.