Peubah acak diskret; hukumnya কী?

Contoh 22.2 (Hukum klasiknya)

• Bernoulli $\mathcal{B}(p)$: dengan $X \in \{0, 1\}$ dan $\P(X = 1) = p$. Yakni indikator sebuah kejadian.
• Binomial $\mathcal{B}(n, p)$: dengan $\P(X = k) = \binom nk p^k(1-p)^{n-k}$ untuk $0 \leq k \leq n$: yakni banyaknya keberhasilan pada $n$ percobaan Bernoulli yang saling bebas (jilid Kelas 10–12; yang dibuktikan ulang di bawah lewat jumlah peubah yang saling bebas).
• Geometri $\mathcal{G}(p)$: dengan $\P(X = k) = (1-p)^{k-1}p$ untuk $k \in \N^*$: yakni pangkat keberhasilan pertamanya (Contoh 21.5).
• Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$: dengan $\P(X = k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}$ untuk $k \in \N$ — yakni sebuah ukuran peluang berkat deret eksponensialnya. Inilah hukum kejadian langka (Bab 23).

Contoh 22.10 (Pemindahan beraksi)

Untuk $X \sim \mathcal P(\lambda)$, hitunglah $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ — sebab hukum $\frac1{1+X}$ sendiri janggal, tetapi pemindahannya tak pernah memintanya:

Ada dua pelajaran. Secara hitungan: mengenali deret eksponensial yang tergeser adalah seluruh kerjanya — sebab pemindahan menyusutkan nilai harapan $f(X)$ menjadi manipulasi deret. Secara struktural: nilai colok naifnya adalah $\frac1{1 + \E X} = \frac1{1 + \lambda}$, sedangkan jawaban benarnya lebih besar,

persis seperti dituntut ketaksamaan Jensen bagi fungsi cembung $t \mapsto \frac1{1+t}$. Jadi nilai harapan peta cembung duduk di atas nilai colok naifnya, dan pemindahan ditambah pemeriksaan deret membuat ketaksamaan abstraknya menjadi konkret.

Contoh 22.12 (Hasil kali, dengan dan tanpa kebebasan)

Lemparkan dua dadu setimbang. Bila $Y$ adalah dadu kedua (yang bebas dari yang pertama), maka $\E(XY) = \E(X)\E(Y) = 3.5^2 = 12.25$. Sedangkan bila $Y = X$ (yakni “hasil kali” sebuah dadu dengan dirinya sendiri),

jadi hukum marginal yang sama pada kedua skenarionya, hukum bersama yang berbeda, dan nilai harapan hasil kali yang berbeda. Adapun pelajarannya, yang layak dipahat: $\E(XY)$ adalah fungsional pasangannya, bukan kedua marginalnya — dan senjangnya $\E(X^2) - \E(X)^2 \approx 2.92$ persis, menurut König–Huygens, merupakan ragam $\frac{35}{12}$ dadunya.