O que é Polinômio característico? — Matemática

Definição 3.3 Matemática universitária — Graduação 2 · Capítulo 3 — Redução de endomorfismos

$\chi_u(X) = \det(X\,\mathrm{id} - u)$ — calculado em qualquer base como $\det(XI_n - A)$ , um polinômio mônico de grau $n$ , invariante por semelhança (Teorema 2.17). Suas raízes em $K$ são exatamente os autovalores ( $\lambda$ é autovalor $\iff u - \lambda\,\mathrm{id}$ não injetivo $\iff \chi_u(\lambda) = 0$ ), e

\chi_u(X) = X^n - (\operatorname{tr} u)\, X^{n-1} + \dots + (-1)^n \det u .

A multiplicidade algébrica $m_\lambda$ de um autovalor é sua multiplicidade como raiz de $\chi_u$ ; a multiplicidade geométrica é $\dim E_\lambda$ , e $1 \leq \dim E_\lambda \leq m_\lambda$ .

Exemplos

Exemplo 3.4 (Mesmo $\chi$ , geometria diferente)

As matrizes

\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad \begin{pmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}

têm o mesmo polinômio característico $(X - 2)^2$ , o mesmo traço, o mesmo determinante, o mesmo espectro — e no entanto não são semelhantes: a primeira tem $E_2$ de dimensão $2$ (multiplicidade geométrica $2$ ), a segunda de dimensão $1$ . O polinômio característico enxerga apenas multiplicidades algébricas; as dimensões dos autoespaços são o invariante mais fino, e o polinômio minimal arbitra ( $X - 2$ contra $(X - 2)^2$ ). Moral para toda discussão de diagonalizabilidade: $\chi$ seleciona os candidatos, mas são os núcleos que depositam os votos.

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Exemplos

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