Matematika Universitas — Tahun 1 · Bachelor Year 1

25Fungsi Dua Variabel

Tahun ini berakhir dengan langkah pertama ke dimensi yang lebih tinggi: yaitu fungsi $f(x, y)$ atas dua variabel real. Segalanya terampat — limit, kekontinuan, turunan, ekstremum — tetapi setiap gagasannya memperoleh puntiran: karena limitnya dapat didekati sepanjang setiap arah sekaligus, turunannya terbelah menjadi turunan parsial, dan gradiennya menunjuk jalan mendaki. Adapun teori lengkapnya (diferensial, $\R^n$ yang umum, submanifold) termasuk tahun kedua; sedangkan di sini kita menegakkan kosakata dan teorema jujur yang pertama.

25.1 Bidang $\R^2$ ; kekontinuan

Definisi 25.1

Pada $\R^2$ , pakailah norma Euklides $\norm{(x,y)} = \sqrt{x^2 + y^2}$ (Bab 23). Bola buka, persekitaran, dan himpunan bagian terbuka pada $\R^2$ didefinisikan persis seperti pada Bab 12, dengan bola menggantikan selang. Sebuah fungsi $f \colon U \to \R$ ( $U \subseteq \R^2$ terbuka) disebut kontinu di $a \in U$ ketika

\forall\varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0, \quad \norm{X - a} \leq \delta \implies \abs{f(X) - f(a)} \leq \varepsilon,

dengan pencirian barisan yang sama seperti pada satu variabel. Adapun jumlah, hasil kali, hasil bagi dan komposisi dengan fungsi satu variabel yang kontinu mengawetkan kekontinuan; sedangkan pemetaan koordinatnya kontinu, jadi demikian pula polinomial pada $(x,y)$ .

Contoh 25.2 (Batas kutub, cara yang bersih untuk membuktikan sebuah limit)

Tunjukkan bahwa $f(x, y) = \dfrac{x^2y^2}{x^2 + y^2}$ (dengan $f(0,0) = 0$ ) kontinu di titik asalnya. Dalam koordinat kutub $x = \rho\cos\theta$ , $y = \rho\sin\theta$ :

\abs{f} = \frac{\rho^4\cos^2\theta\sin^2\theta}{\rho^2} = \rho^2\,(\cos\theta\sin\theta)^2 \leq \frac{\rho^2}{4} \xrightarrow[\rho \to 0]{} 0 ,

yaitu batas yang tak bergantung pada $\theta$ : sehingga apa pun arah pendekatannya, nilainya terperas ke $0$ . Keseragaman pada $\theta$ itulah inti seluruhnya — karena batas seperti $\abs g = \abs{\cos\theta\sin\theta}$ (tanpa $\rho$ yang tersisa) tak membuktikan apa pun, dan memang $g$ itulah perangkap radial pada contoh berikutnya.

Contoh 25.3 (Perangkap radialnya)

Misalkan $f(x, y) = \dfrac{xy}{x^2 + y^2}$ untuk $(x,y) \neq (0,0)$ , dengan $f(0, 0) = 0$ . Sepanjang setiap sumbunya, $f = 0 \to 0$ ; tetapi sepanjang diagonal $y = x$ , $f(x, x) = \frac12 \not\to 0$ . Jadi tak ada limit di titik asalnya: karena mendekat sepanjang setiap garis, dan bahkan menemukan limit yang sama sepanjang masing-masingnya, belumlah cukup (di sini limit garisnya tak sepakat; sedangkan contoh yang lebih buruk sepakat sepanjang semua garis namun gagal sepanjang sebuah parabola, Latihan 25.3). Kekontinuan pada setiap variabel secara terpisah tak mengakibatkan kekontinuan.

25.2 Turunan parsial

Definisi 25.4

Adapun turunan parsial $f$ di $(a, b)$ adalah turunan satu variabel sepanjang sumbunya:

\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h, b) - f(a,b)}{h}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(a,b) = \lim_{k \to 0} \frac{f(a, b + k) - f(a,b)}{k}.

$f$ disebut berkelas $C^1$ pada $U$ ketika keduanya ada dan kontinu pada $U$ . Adapun gradien adalah $\nabla f(a,b) = \bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\, \frac{\partial f}{\partial y}\bigr)(a,b)$ .

Teorema 25.5 ( $C^1$ mengakibatkan bidang singgung)

Misalkan $f$ berkelas $C^1$ pada $U$ dan $(a,b) \in U$ . Maka, ketika $(h, k) \to (0,0)$ :

f(a + h, b + k) = f(a, b) + h\,\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) + k\,\frac{\partial f}{\partial y}(a,b) + o\bigl(\norm{(h,k)}\bigr) .

Khususnya $f$ kontinu, dan grafik $z = f(x,y)$ mempunyai pada setiap titiknya bidang singgung yang terbaca dari rumusnya.

Contoh 25.6 (Hampiran linear dalam kerja)

Taksirlah $f(1.02,\ 0.99)$ bagi $f(x, y) = x^3y^2$ . Di $(1, 1)$ : $f = 1$ , $\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2 = 3$ , $\frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3y = 2$ , sehingga Teorema 25.5 memberikan

f(1.02,\ 0.99) \approx 1 + 3\,(0.02) + 2\,(-0.01) = 1.04 ,

lawan nilai sejatinya $1.02^3 \times 0.99^2 = 1.04006\dots$ — sehingga galatnya berorde dua pada tambahannya, sebagaimana dijanjikan $o(\norm{(h,k)})$ . Adapun bidang singgung grafiknya di $(1, 1, 1)$ adalah $z = 1 + 3(x - 1) + 2(y - 1)$ , yaitu persamaan yang tersirat pada taksirannya.

Bukti. Geserlah satu koordinat setiap kali:

f(a+h, b+k) - f(a,b) = \bigl[f(a+h, b+k) - f(a, b+k)\bigr] + \bigl[f(a, b+k) - f(a,b)\bigr].

Menurut teorema nilai rata-rata satu variabel (Teorema 14.9), kurung pertamanya adalah $h\, \frac{\partial f}{\partial x}(a + \theta h,\, b + k)$ bagi suatu $\theta \in \intoo{0}{1}$ , sedangkan yang kedua adalah $k\,\frac{\partial f}{\partial y}(a,\, b + \theta' k)$ . Lalu kekontinuan turunan parsialnya di $(a,b)$ memungkinkan kita menulis masing-masingnya sebagai (nilai di $(a,b)$ ) $+$ (galat $\to 0$ ); sehingga galat totalnya adalah $h\,\varepsilon_1 + k\,\varepsilon_2 = o(\norm{(h,k)})$ karena $\abs h, \abs k \leq \norm{(h,k)}$ . ∎

Teorema 25.7 (Kaidah rantai)

Misalkan $f$ berkelas $C^1$ pada $U$ dan $t \mapsto (x(t), y(t))$ berkelas $C^1$ dari sebuah selang ke dalam $U$ . Maka $g(t) = f\bigl(x(t), y(t)\bigr)$ berkelas $C^1$ , dengan

g'(t) = x'(t)\,\frac{\partial f}{\partial x}\bigl(x(t),y(t)\bigr) + y'(t)\,\frac{\partial f}{\partial y}\bigl(x(t),y(t)\bigr) = \bigl\langle \nabla f,\ (x', y')\bigr\rangle .

Bukti. Terapkanlah Teorema 25.5 di $(x(t), y(t))$ dengan $(h, k) = (x(t+s) - x(t),\, y(t+s) - y(t))$ : karena ketika $s \to 0$ , sifat dapat diturunkan satu variabelnya memberikan $h = s\,x'(t) + o(s)$ dan $k = s\,y'(t) + o(s)$ , sehingga $\norm{(h, k)} = O(s)$ dan

g(t+s) - g(t) = h\,\frac{\partial f}{\partial x} + k\,\frac{\partial f}{\partial y} + o\bigl(\norm{(h,k)}\bigr) = s\,\Bigl(x'\,\frac{\partial f}{\partial x} + y'\,\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr) + o(s) ,

dengan galat terakhirnya menyerap baik kedua $o(s)$ milik $h$ dan $k$ (yang dikalikan nilai tetap turunan parsialnya) maupun $o(O(s))$ pada taksiran bidang singgungnya. Bagilah dengan $s$ lalu biarkanlah $s \to 0$ . Adapun kekontinuan $g'$ menyusul dari kekontinuan semua bahannya. ∎

Contoh 25.8 (Kaidah rantainya, diperiksa dengan dua cara)

Misalkan $f(x, y) = x^2 y$ dan $g(t) = f(t, t^2)$ . Secara langsung: $g(t) = t^2\cdot t^2 = t^4$ , sehingga $g'(t) = 4t^3$ . Lewat kaidah rantainya: $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$ dan $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2$ , yang dinilai sepanjang kurva $(t, t^2)$ :

g'(t) = 1\cdot 2t\cdot t^2 + 2t\cdot t^2 = 2t^3 + 2t^3 = 4t^3 .

Kedua perhitungannya sepakat, dan pembelahannya bermakna: karena $2t^3$ pertumbuhannya datang dari bergerak ke kanan lewat kemiringan $x$ , dan $2t^3$ dari bergerak ke atas lewat kemiringan $y$ . Pada kurva yang tak berbentuk tertutup bagi $g$ , hanya perhitungan keduanya yang bertahan — dan itulah inti teoremanya.

Catatan 25.9 (Membaca gradiennya)

Sepanjang arah satuan $u$ , kaidah rantai pada $t \mapsto f(a + tu)$ memberikan turunan berarah $\langle \nabla f(a), u\rangle$ : yang maksimal ketika $u$ menunjuk sepanjang $\nabla f(a)$ (menurut Cauchy–Schwarz, Teorema 23.4). Jadi gradiennya adalah arah pendakian tercuram, dan ia ortogonal terhadap kurva aras $\{f = c\}$ (turunkanlah $f$ sepanjang sebuah kurva yang digambar di dalam himpunan aras: maka kaidah rantainya memberikan $\langle\nabla f,\, \text{singgung}\rangle = 0$ ).

Contoh 25.10 (Kurva aras dan gradien, pada satu fungsi)

Ambillah $f(x, y) = x^2 - y^2$ . Himpunan arasnya: $\{f = c\}$ berupa hiperbola yang terbuka kiri-kanan untuk $c > 0$ , atas-bawah untuk $c < 0$ , dan sepasang garis bersilangan $y = \pm x$ untuk $c = 0$ — yaitu peta kontur sebuah pelana gunung, dengan titik pelananya di titik asalnya, yaitu tempat kedua garis yang beraras nol bersilangan. Gradiennya: $\nabla f = (2x, -2y)$ . Pada titik $(2, 1)$ (di aras $c = 3$ ): $\nabla f = (4, -2)$ , sedangkan vektor singgung kurva arasnya, yang diparameterkan dekat titik itu oleh $\bigl(t, \sqrt{t^2 - 3}\bigr)$ , adalah $\bigl(1, \frac{t}{\sqrt{t^2 - 3}}\bigr) = (1, 2)$ di $t = 2$ — dan memang

\langle (4, -2),\ (1, 2)\rangle = 4 - 4 = 0 :

yaitu gradien yang tegak lurus konturnya, yang menunjuk ke nilai $f$ yang lebih tinggi (di sini: menjauhi sumbu $y$ ). Dua bacaan lagi: bahwa gradiennya lenyap tepat pada pelananya, tempat peta konturnya menjepit; dan bahwa garis singgung pada kurva aras di $(2,1)$ adalah $4(x - 2) - 2(y - 1) = 0$ , yaitu $2x - y = 3$ — yakni persamaan “ $\langle \nabla f,\ M - M_0\rangle = 0$ ” yang mengampat garis singgung elips pada Latihan 24.11.

Teorema 25.11 (Schwarz)

Jika $f$ berkelas $C^2$ (yakni turunan parsial atas turunan parsialnya ada dan kontinu), maka

\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} .

Bukti. Diterima tanpa bukti pada tingkat ini. ∎

25.3 Ekstremum lokal

Metode 25.12 (Kajian ekstremum, tertata)

Pecahkanlah $\nabla f = 0$ selengkapnya. Faktorkanlah setiap turunan parsialnya kapan pun mungkin (karena hasil kali faktor linear membelah sistemnya menjadi kasus yang bening, seperti pada Contoh 25.16 di bawah); dan kasus yang terlupa adalah titik kritis yang terlupa.
Golongkanlah setiap titiknya dengan data Monge $r, s, t$ — yang dihitung ulang pada setiap titiknya, tak pernah sekali untuk semuanya.
Jika $rt - s^2 = 0$ , periksalah $f$ secara langsung sepanjang kurva yang terpilih baik lewat titiknya (garis dahulu, lalu parabola), sembari memburu entah dua tanda (jadi tak ada ekstremum) atau satu tanda yang terkunci beserta argumen yang meliputi semua arahnya.
Mundurlah untuk gambaran globalnya: periksalah perilakunya di takhingga (karena minimum lokal boleh jadi bukan yang global), dan jika daerah asalnya tak terbuka, perlakukanlah batasnya secara terpisah (Latihan 25.12) — karena teorema titik kritisnya hanya melihat titik dalamnya.

Teorema 25.13 (Titik kritis)

Jika $f$ ( $C^1$ pada himpunan terbuka $U$ ) berekstremum lokal di $(a,b) \in U$ , maka $\nabla f(a,b) = (0,0)$ : jadi titiknya bersifat kritis.

Bukti. Fungsi satu variabel $x \mapsto f(x, b)$ dan $y \mapsto f(a, y)$ berekstremum lokal di dalam, di $a$ dan $b$ berturut-turut: sehingga Proposisi 14.7 membunuh kedua turunan parsialnya. ∎

Metode 25.14 (Uji orde dua (notasi Monge))

Pada sebuah titik kritis fungsi $C^2$ , tetapkanlah

r = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \qquad s = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}, \qquad t = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \qquad (\text{nilai pada titiknya}).

Jika $rt - s^2 > 0$ : maka ada ekstremum lokal — yakni minimum untuk $r > 0$ , dan maksimum untuk $r < 0$ ;
jika $rt - s^2 < 0$ : maka tak ada ekstremum (melainkan sebuah titik pelana);
jika $rt - s^2 = 0$ : maka ujinya bungkam; periksalah secara langsung.

(Pembenarannya — yaitu penjabaran Taylor–Young pada orde $2$ dan kajian tanda bentuk kuadratik $r h^2 + 2shk + tk^2$ — dijalankan pada tahun kedua; sedangkan di sini ujinya dipakai sebagai perkakas kerja.)

Contoh 25.15

$f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$ . Titik kritisnya: $\nabla f = (3x^2 - 3y,\; 3y^2 - 3x) = 0$ memberikan $y = x^2$ dan $x = y^2$ , sehingga $x = x^4$ : jadi $x \in \{0, 1\}$ : yaitu titik $(0,0)$ dan $(1,1)$ .

Turunan keduanya: $r = 6x$ , $s = -3$ , $t = 6y$ . Di $(0,0)$ : $rt - s^2 = -9 < 0$ : jadi pelana. Di $(1,1)$ : $rt - s^2 = 36 - 9 > 0$ , $r = 6 > 0$ : jadi minimum lokal, $f(1,1) = -1$ . (Yang tak global: karena $f(x, 0) = x^3 \to -\infty$ .)

Contoh 25.16 (Kajian empat titik, selengkapnya)

$f(x, y) = xy\,(3 - x - y) = 3xy - x^2y - xy^2$ . Gradiennya:

\frac{\partial f}{\partial x} = y\,(3 - 2x - y), \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = x\,(3 - x - 2y).

Titik kritisnya: jika $y = 0$ , maka persamaan keduanya memberikan $x \in \{0, 3\}$ ; jika $x = 0$ , maka yang pertama memberikan $y \in \{0, 3\}$ ; sedangkan jika $xy \neq 0$ , pecahkanlah $2x + y = 3$ , $x + 2y = 3$ : jadi $x = y = 1$ . Empat titik: $(0,0)$ , $(3,0)$ , $(0,3)$ , $(1,1)$ . Turunan keduanya: $r = -2y$ , $s = 3 - 2x - 2y$ , $t = -2x$ .

$(1,1)$ : $r = -2$ , $s = -1$ , $t = -2$ : $rt - s^2 = 3 > 0$ , $r < 0$ : jadi maksimum lokal, $f(1,1) = 1$ .
$(0,0)$ : $r = t = 0$ , $s = 3$ : $rt - s^2 = -9 < 0$ : jadi pelana; demikian pula $(3, 0)$ ( $s = -3$ ) dan $(0, 3)$ : jadi tiga pelana.

Maksimumnya hanya lokal: $f(-T, -T) = T^2(3 + 2T) \to +\infty$ . Periksa kesetangkupannya: $f(x, y) = f(y, x)$ , dan memang himpunan kritis dan penggolongannya setangkup pada $x \leftrightarrow y$ . Tafsirannya: di antara persegi panjang berkelonggaran $x, y \geq 0$ , $x + y \leq 3$ , hasil kali $xy(3 - x - y)$ atas ketiga “bagian” $3$ terbesar ketika bagiannya sama — yaitu bayangan dua variabel bagi asas AM–GM.

Kedua kurva f = 0 bagi f = x3 + y3 - 3xy berpotongan pada titik kritis (0,0) (pelana) dan (1,1) (minimum lokal). — Kedua kurva $\nabla f = 0$ bagi $f = x^3 + y^3 - 3xy$ berpotongan pada titik kritis $(0,0)$ (pelana) dan $(1,1)$ (minimum lokal).

Catatan 25.17 (Jebakan yang lazim)

Turunan parsial boleh ada pada sebuah titik ketakkontinuan: karena perangkap radial $g(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}$ pada Contoh 25.3 mempunyai $\frac{\partial g}{\partial x}(0,0) = \frac{\partial g}{\partial y}(0,0) = 0$ (karena kedua pembatasan sumbunya lenyap secara identik), namun $g$ tak berlimit di titik asalnya — sebab turunan parsial hanya menyelidik dua arah, sedangkan kekontinuan menuntut semuanya; dan hanya hipotesis $C^1$ yang memulihkan ketertibannya (Teorema 25.5). Limit garis tak pernah mencukupi: fungsi pada Latihan 25.3 berlimit $0$ sepanjang setiap garis namun tetap tak berlimit — jadi selalu cobalah parabola (atau batas kutub yang sah secara seragam pada $\theta$ ). Kritis itu perlu, bukan cukup: karena pelana bertaburan (tiga dari empat titik pada Contoh 25.16); dan teoremanya berlaku pada himpunan yang terbuka saja — karena pada cakram tertutup, ekstremumnya boleh duduk pada batasnya dengan gradien taknol (Latihan 25.12). Kasus bungkam $rt - s^2 = 0$ memang sungguh bungkam: karena $x^4 + y^4$ (yang berminimum) dan $x^3 + y^3$ (yang tak keduanya) sama-sama mempunyai $r = s = t = 0$ di titik asalnya; sehingga hanya kajian tanda yang langsung yang memutuskan (Latihan 25.6, fungsi $h$ ). Gradiennya ortogonal terhadap kurva aras, bukan sepanjang kurvanya: jadi untuk menyusuri sebuah garis kontur, bergeraklah tegak lurus $\nabla f$ ; sedangkan untuk memanjat paling cepat, bergeraklah sepanjangnya — dan mencampur keduanya membalikkan geometri setiap peta kontur.

Catatan 25.18 (Ke mana dua variabel menuntun)

Bab ini sebuah pintu. Gradien dan kaidah rantainya meluas secara harfiah ke $n$ variabel pada jilid Tahun 2, tempat $o(\norm{(h,k)})$ pada Teorema 25.5 menjadi diferensialnya dan uji Monge dibuktikan selengkapnya lewat rumus Taylor orde dua dan bentuk kuadratik. Adapun kasus khusus yang dapat diselesaikan tahun ini — yaitu fungsi kuadratik, yang penjabaran orde duanya persis — merupakan pokok soal akhir pekannya, dan kebetulan itulah kasus yang menjalankan pencocokan data sedunia: yakni regresi kuadrat terkecil. Sedangkan ekstremum berkendala (Latihan 25.5 adalah pratinjaunya) menjadi pengganda Lagrange pada Tahun 2; dan fungsi harmonik (Latihan 25.7) kembali pada analisis kompleks jilid Tahun 3.

Catatan 25.19 (Cakrawala di dalam Buku 3: tahunnya, ditutup)

Bab inilah tempat kedua paruh jilid ini berjabat tangan. Adapun paruh analisisnya memasok perkakasnya satu turunan setiap kali: karena teorema nilai rata-rata menggerakkan Teorema 25.5, penjabaran Taylor menggerakkan uji ekstremumnya, dan $\varepsilon$ pada Bab 12 kembali dengan bola menggantikan selang. Sedangkan paruh aljabarnya memasok geometrinya: karena gradiennya dibaca lewat hasil kali dalam Bab 23 (karena Cauchy–Schwarz menjadikannya arah tercuram), data Monge $(r, s, t)$ merupakan matriks setangkup Bab 21 dengan uji determinan Bab 22, dan soal akhir pekannya menjalankan proyeksi ortogonal pada vektor data. Bahkan kurva Bab 24 kembali sebagai himpunan aras. Jadi pembaca yang dapat membangun ulang mengapa masing-masing kelima serah terima ini bekerja, telah sesungguhnya mengulang seluruh tahunnya — dan itulah maksud yang sebenarnya pada bab penutup ini.

Kuadrat terkecil dalam satu gambar: yaitu empat titik data, garis regresinya y = 1.4x - 0.1, dan sisaan tegaknya (yang putus-putus) yang kuadratnya diminimalkan garisnya — dengan total 0.2, yakni yang terkecil yang dapat dicapai. Adapun soal akhir pekannya menghitung garis ini, membuktikan bahwa ialah pemberi minimum yang tunggal, dan menyamakan seluruh konstruksinya dengan sebuah proyeksi ortogonal di dalam ℝ4. — Kuadrat terkecil dalam satu gambar: yaitu empat titik data, garis regresinya $y = 1.4x - 0.1$ , dan sisaan tegaknya (yang putus-putus) yang kuadratnya diminimalkan garisnya — dengan total $0.2$ , yakni yang terkecil yang dapat dicapai. Adapun soal akhir pekannya menghitung garis ini, membuktikan bahwa ialah pemberi minimum yang tunggal, dan menyamakan seluruh konstruksinya dengan sebuah proyeksi ortogonal di dalam $\R^4$ .

25.4 Latihan

Latihan 25.1 ★

Hitunglah turunan parsialnya: $f(x,y) = x^2 y + \eu^{xy}$ ; $\;g(x,y) = \ln(x^2 + y^2)$ (pada $\R^2\setminus\{0\}$ ); $\;h(x,y) = \arctan\frac yx$ (pada $x > 0$ ).

Solusi

Solusi Latihan 25.1.

$\dfrac{\partial f}{\partial x} = 2xy + y\,\eu^{xy}$ , $\dfrac{\partial f}{\partial y} = x^2 + x\,\eu^{xy}$ .

$\dfrac{\partial g}{\partial x} = \dfrac{2x}{x^2+y^2}$ , $\dfrac{\partial g}{\partial y} = \dfrac{2y}{x^2+y^2}$ .

$\dfrac{\partial h}{\partial x} = \dfrac{-y/x^2}{1 + y^2/x^2} = \dfrac{-y}{x^2+y^2}$ , $\dfrac{\partial h}{\partial y} = \dfrac{x}{x^2+y^2}$ .

Latihan 25.2 ★

Pelajarilah kekontinuannya di $(0,0)$ (dengan nilai $0$ di situ) bagi:

f(x,y) = \frac{x^2 y}{x^2 + y^2}, \qquad g(x,y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}, \qquad h(x,y) = \frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2}.

(Koordinat kutub $x = \rho\cos\theta$ , $y = \rho\sin\theta$ menolong: batasilah oleh fungsi atas $\rho$ belaka bilamana mungkin.)

Solusi

Solusi Latihan 25.2.

Dalam koordinat kutub ( $\rho \to 0$ ):

$\abs{f} = \dfrac{\rho^3\abs{\cos^2\theta\sin\theta}}{\rho^2} \leq \rho \to 0$ : jadi kontinu.

$g = \cos\theta\sin\theta$ : yang tak bergantung pada $\rho$ , dan mengambil nilai yang berbeda sepanjang sinar garis yang berbeda (bandingkanlah Contoh 25.3): jadi tak berlimit, dan tak kontinu.

$\abs h \leq \dfrac{\rho^3(\abs{\cos^3\theta} + \abs{\sin^3\theta})}{\rho^2} \leq 2\rho \to 0$ : jadi kontinu.

Latihan 25.3 ★★

Misalkan $f(x,y) = \dfrac{x^2 y}{x^4 + y^2}$ ( $f(0,0) = 0$ ). Buktikan bahwa $f$ berlimit $0$ di titik asalnya sepanjang setiap garis lurus, tetapi bahwa $f\bigl(x, x^2\bigr) = \frac12$ : sehingga $f$ tak kontinu di $(0,0)$ .

Solusi

Solusi Latihan 25.3.

Sepanjang $y = mx$ : $f(x, mx) = \dfrac{m x^3}{x^4 + m^2 x^2} = \dfrac{mx}{x^2 + m^2} \to 0$ (untuk $m \neq 0$ ; sedangkan sepanjang $y = 0$ dan sumbu $y$ , $f = 0$ ). Jadi setiap limit garis lurusnya $0$ . Tetapi pada parabola $y = x^2$ :

f(x, x^2) = \frac{x^4}{x^4 + x^4} = \frac12 :

jadi barisan $\bigl(\frac1n, \frac{1}{n^2}\bigr) \to (0,0)$ mempunyai $f \to \frac12 \neq 0$ . Jadi tak kontinu: karena garis tak mencukupi untuk menguji limit dua variabel.

Latihan 25.4 ★

Periksalah teorema Schwarz dengan tangan pada $f(x, y) = x^3 y^2 + \sin(xy)$ .

Solusi

Solusi Latihan 25.4.

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2y^2 + y\cos(xy)$ ; lalu

\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} = 6x^2 y + \cos(xy) - xy\sin(xy) .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2x^3 y + x\cos(xy)$ ; lalu

\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} = 6x^2 y + \cos(xy) - xy\sin(xy) :

jadi sama, sebagaimana dijanjikan Schwarz.

Latihan 25.5 ★★

Misalkan $f$ berkelas $C^1$ pada $\R^2$ dan $g(t) = f(\cos t, \sin t)$ . Nyatakanlah $g'(t)$ lewat kaidah rantainya. Simpulkanlah bahwa $f$ yang dibatasi ke lingkaran satuan mencapai ekstremumnya pada titik tempat $\nabla f$ sejajar vektor jari-jarinya.

Solusi

Solusi Latihan 25.5.

Menurut Teorema 25.7 dengan $(x, y) = (\cos t, \sin t)$ :

g'(t) = -\sin t\,\frac{\partial f}{\partial x}(\cos t, \sin t) + \cos t\,\frac{\partial f}{\partial y}(\cos t, \sin t) = \bigl\langle \nabla f,\ (-\sin t, \cos t)\bigr\rangle .

Pada sebuah ekstremum $g$ , $g'(t) = 0$ : sehingga $\nabla f$ ortogonal terhadap vektor singgung $(-\sin t, \cos t)$ lingkarannya, jadi sejajar vektor jari-jarinya $(\cos t, \sin t)$ (karena pelengkap ortogonal bidang atas sebuah vektor satuan adalah garis yang direntangnya, yang diambil tegak lurus). Inilah contoh tersederhana sebuah pengganda Lagrange.

Latihan 25.6 ★★

Carilah lalu golongkanlah titik kritis pada:

f(x, y) = x^2 + xy + y^2 - 3x, \qquad g(x, y) = x^2 - y^2 + 4y, \qquad h(x, y) = x^4 + y^4 - 2(x - y)^2 .

(Bagi $h$ , uji determinannya bungkam di titik asalnya: periksalah $h(x, x)$ dan $h(x, -x)$ .)

Solusi

Solusi Latihan 25.6.

$f$ : $\nabla f = (2x + y - 3,\; x + 2y) = 0$ : jadi $y = -\frac x2$ dan $2x - \frac x2 = 3$ : sehingga $x = 2$ , $y = -1$ . Orde duanya: $r = 2$ , $s = 1$ , $t = 2$ : $rt - s^2 = 3 > 0$ , $r > 0$ : jadi minimum lokal (bahkan global — karena kuadratik) di $(2, -1)$ , bernilai $f(2,-1) = -3$ .

$g$ : $\nabla g = (2x,\; -2y + 4) = 0$ : jadi titik $(0, 2)$ ; $r = 2$ , $s = 0$ , $t = -2$ : $rt - s^2 = -4 < 0$ : jadi pelana.

$h$ : $\nabla h = \bigl(4x^3 - 4(x - y),\; 4y^3 + 4(x-y)\bigr) = 0$ . Menambahkannya: $x^3 + y^3 = 0$ , sehingga $y = -x$ ; lalu menyulihkannya: $4x^3 - 8x = 0$ : jadi $x \in \{0, \pm\sqrt2\}$ . Titik kritisnya: $(0,0)$ , $(\sqrt2, -\sqrt2)$ , $(-\sqrt2, \sqrt2)$ . Di $(\pm\sqrt2, \mp\sqrt2)$ : $r = 12x^2 - 4 = 20$ , $s = 4$ , $t = 20$ : $rt - s^2 > 0$ , $r > 0$ : jadi minimum lokal (bernilai $h = 4 + 4 - 16 = -8$ ). Di $(0,0)$ : $r = t = -4$ , $s = 4$ : $rt - s^2 = 0$ : jadi bungkam. Periksalah: $h(x, x) = 2x^4 > 0$ dan $h(x, -x) = 2x^4 - 8x^2 < 0$ bagi $x \neq 0$ yang kecil: jadi kedua tandanya ada di setiap persekitarannya — sehingga tak ada ekstremum di titik asalnya.

Latihan 25.7 ★★

Sebuah fungsi $f$ disebut harmonik ketika $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$ . Periksalah bahwa $x^2 - y^2$ , $xy$ , $\eu^x\cos y$ dan $\ln(x^2 + y^2)$ (di luar titik asalnya) harmonik.

Solusi

Solusi Latihan 25.7.

$x^2 - y^2$ : turunan parsial keduanya $2$ dan $-2$ : jadi berjumlah $0$ . $xy$ : kedua turunan parsial kedua yang murninya lenyap. $\eu^x\cos y$ : $\frac{\partial^2}{\partial x^2} = \eu^x\cos y$ , $\frac{\partial^2}{\partial y^2} = -\eu^x\cos y$ : jadi berjumlah $0$ . $\ln(x^2+y^2)$ : dari Latihan 25.1,

\frac{\partial^2}{\partial x^2}\ln(x^2+y^2) = \frac{2(x^2+y^2) - 4x^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{2(y^2 - x^2)}{(x^2+y^2)^2},

dan versi $y$ -nya adalah lawannya: jadi berjumlah $0$ .

Latihan 25.8 ★★★

Carilah titik bidang $\{x + 2y - z = 4\} \subseteq \R^3$ yang terdekat dengan titik asalnya, dengan dua cara: lewat proyeksi ortogonal (Bab 23), dan dengan meminimalkan fungsi dua variabel $f(x, y) = x^2 + y^2 + (x + 2y - 4)^2$ yang diperoleh dengan menghapus $z$ .

Solusi

Solusi Latihan 25.8.

Proyeksinya: bidang $P$ bernormal $n = (1, 2, -1)$ dan lewat $A = (4, 0, 0)$ . Adapun titik yang terdekat dengan titik asalnya adalah $O$ yang diproyeksikan: $p = O + \frac{\langle A - O, n\rangle}{\norm n^2}\,n = \frac{4}{6}(1,2,-1) = \bigl(\frac23, \frac43, -\frac23\bigr)$ , pada jarak $\frac{4}{\sqrt 6}$ . (Rumusnya: jarak dari titik asalnya ke bidang $\langle X, n \rangle = c$ adalah $\frac{\abs c}{\norm n}$ dengan $c = 4$ .)

Peminimalannya: $f(x,y) = x^2 + y^2 + (x + 2y - 4)^2$ . Dengan menulis $w = x + 2y - 4$ bagi faktor terakhirnya:

\nabla f = \bigl(2x + 2w,\; 2y + 4w\bigr) = 0 \iff x = -w \text{ dan } y = -2w .

Menyulihkannya ke dalam definisi $w$ : $w = -w - 4w - 4$ , sehingga $w = -\frac23$ , yang memberikan $x = \frac23$ , $y = \frac43$ , dan $z = w = -\frac23$ . Jadi titik yang sama seperti lewat proyeksinya, pada jarak $\sqrt{\frac49 + \frac{16}{9} + \frac49} = \frac{2\sqrt 6}{3} = \frac{4}{\sqrt6}$ ; dan ia minimum karena $f \to \infty$ di takhingga (yaitu kuadratik yang tegas positif ditambah suku linear).

Latihan 25.9 ★★★

(Laplacian dalam koordinat kutub, sentuhan pertama) Misalkan $f$ berkelas $C^2$ pada $\R^2 \setminus \{0\}$ dan bersifat radial: $f(x, y) = \varphi\bigl(\sqrt{x^2+y^2}\bigr)$ dengan $\varphi$ berkelas $C^2$ pada $\intoo{0}{+\infty}$ . Buktikan bahwa

\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \varphi''(\rho) + \frac{\varphi'(\rho)}{\rho}, \qquad \rho = \sqrt{x^2 + y^2},

lalu carilah semua fungsi harmonik yang radial pada bidang yang tertusuk.

Solusi

Solusi Latihan 25.9.

Dengan $\rho = \sqrt{x^2+y^2}$ : $\frac{\partial \rho}{\partial x} = \frac{x}{\rho}$ , sehingga

\frac{\partial f}{\partial x} = \varphi'(\rho)\,\frac{x}{\rho}, \qquad \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \varphi''(\rho)\,\frac{x^2}{\rho^2} + \varphi'(\rho)\,\Bigl(\frac{1}{\rho} - \frac{x^2}{\rho^3}\Bigr),

(lewat kaidah hasil bagi dan kaidah rantai). Menambahkan ungkapan $y$ yang setangkup: maka suku $\varphi''$ -nya menghimpun $\frac{x^2 + y^2}{\rho^2} = 1$ , sedangkan suku $\varphi'$ -nya menghimpun $\frac{2}{\rho} - \frac{x^2 + y^2}{\rho^3} = \frac{1}{\rho}$ :

\Delta f = \varphi'' + \frac{\varphi'}{\rho} .

Harmonik yang radial: pecahkanlah $\varphi'' + \frac{\varphi'}{\rho} = 0$ : karena persamaan orde pertamanya $u' + \frac u\rho = 0$ bagi $u = \varphi'$ memberikan $u = \frac{c}{\rho}$ (Teorema 5.2), lalu $\varphi = c\ln\rho + d$ . Jadi fungsi harmonik yang radial adalah $c\,\ln\sqrt{x^2 + y^2} + d$ — yaitu potensial logaritmik Latihan 25.7 dan konstantanya, tak ada yang lain.

Latihan 25.10 ★★

Berikanlah persamaan bidang singgung grafik $z = xy$ di titik $(1, 1, 1)$ . Lalu carilah semua titik grafik $f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy$ tempat bidang singgungnya mendatar, lalu kaitkanlah jawabannya dengan Contoh 25.15.

Solusi

Solusi Latihan 25.10.

Untuk $z = xy$ di $(1,1)$ : turunan parsialnya $y = 1$ dan $x = 1$ , sehingga bidang singgungnya $z = 1 + (x - 1) + (y - 1) = x + y - 1$ . Adapun bidang singgung yang mendatar berarti kedua turunan parsialnya lenyap, yaitu $\nabla f = 0$ : jadi menurut Contoh 25.15, tepat titik kritisnya $(0, 0)$ dan $(1, 1)$ , dengan bidang mendatarnya $z = 0$ dan $z = -1$ . Sehingga “bidang singgung mendatar” dan “titik kritis” merupakan gagasan yang sama, yang dilihat pada grafiknya dan pada rumusnya.

Latihan 25.11 ★★

Misalkan $f$ berkelas $C^1$ pada $\R^2$ .

Jika $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ di mana-mana, buktikanlah bahwa $f(x, y)$ hanya bergantung pada $y$ .
Carilah semua penyelesaian $C^1$ atas persamaan $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y}$ pada $\R^2$ . (Tetapkanlah $g(u, v) = f\bigl(\frac{u+v}2, \frac{u-v}2\bigr)$ lalu hitunglah $\frac{\partial g}{\partial v}$ lewat kaidah rantainya.)

Solusi

Solusi Latihan 25.11.

Bagi $y$ yang tetap, fungsi satu variabel $x \mapsto f(x,y)$ berturunan nol pada $\R$ , jadi tetap (Teorema 14.9): sehingga $f(x, y) = f(0, y)$ untuk semua $x$ : jadi $f$ hanya bergantung pada $y$ .
Misalkan $g(u, v) = f\bigl(\frac{u+v}2, \frac{u-v}2\bigr)$ . Menurut kaidah rantainya (Teorema 25.7, yang diterapkan pada variabel $v$ dengan $u$ yang dibekukan):

$\frac{\partial g}{\partial v} = \frac12\,\frac{\partial f}{\partial x} - \frac12\,\frac{\partial f}{\partial y} = 0 .$

Menurut (1), $g$ hanya bergantung pada $u$ : $g(u, v) = \varphi(u)$ dengan $\varphi$ yang berkelas $C^1$ , dan dengan membalikkan perubahan variabelnya ( $u = x + y$ , $v = x - y$ ),

$f(x, y) = \varphi(x + y).$

Sebaliknya setiap $f$ yang demikian memenuhi $f_x = f_y = \varphi'$ : jadi penyelesaiannya tepat fungsi $C^1$ atas $x + y$ .

Latihan 25.12 ★★★

Carilah maksimum dan minimum global $f(x, y) = xy$ pada cakram tertutup $x^2 + y^2 \leq 1$ . (Akuilah teorema nilai ekstrem dua variabelnya: bahwa fungsi kontinu pada cakram tertutup mencapai batasnya — yang dibuktikan pada jilid Tahun 2. Perlakukanlah cakram terbukanya lewat titik kritis dan lingkaran batasnya lewat pemarameteran Latihan 25.5.)

Solusi

Solusi Latihan 25.12.

Pada cakram terbukanya, sebuah ekstremum tentu kritis: $\nabla f = (y, x) = 0$ hanya di $(0,0)$ , tempat $f = 0$ ; dan ia sebuah pelana ( $f(\pm \varepsilon, \pm\varepsilon) = \varepsilon^2 > 0 > -\varepsilon^2 = f(\pm\varepsilon, \mp\varepsilon)$ ), sehingga tak ada ekstremum di situ. Menurut teorema nilai ekstrem yang diakui itu batasnya tercapai, yang tentu pada lingkaran batasnya. Di situ, bersama Latihan 25.5,

f(\cos t, \sin t) = \cos t\sin t = \frac{\sin 2t}{2} \in \intcc{-\tfrac12}{\tfrac12},

dengan maksimum $\frac12$ di $t = \frac\pi4, \frac{5\pi}4$ (yaitu titik $\pm\frac{1}{\sqrt2}(1,1)$ ) dan minimum $-\frac12$ di $t = \frac{3\pi}4, \frac{7\pi}4$ (yaitu titik $\pm\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$ ). Jadi maksimum globalnya $\frac12$ , dan minimum globalnya $-\frac12$ .

25.5 Soal: kuadrat terkecil dan garis regresi

Soal 25.1

Diberikan $n$ titik data, garis lurus yang mana yang lewat “paling dekat” dengan semuanya? Legendre dan Gauss menjawab: yaitu garis yang meminimalkan jumlah galat tegak yang dikuadratkan — karena peminimalan itulah yang persis terpecahkan oleh aljabar linear. Soal ini mula-mula membuktikan uji Monge Metode 25.14 secara jujur bagi fungsi kuadratik (yakni satu-satunya kasus tempat penjabaran orde duanya persis), lalu membangun persamaan normal, garis regresi, dan koefisien korelasinya di atas geometri Euklides Bab 23.

Bagian I — Fungsi kuadratik: uji Monge, dibuktikan. Tetapkanlah bilangan real $r, s, t$ lalu misalkan $q(h, k) = r h^2 + 2s hk + t k^2$ .

Andaikan $r \neq 0$ . Tegakkanlah bentuk kuadrat lengkapnya

$q(h, k) = r\Bigl(h + \frac{s}{r}k\Bigr)^{\!2} + \frac{rt - s^2}{r}\,k^2 ,$

lalu simpulkanlah: bahwa jika $rt - s^2 > 0$ , maka $q$ bertanda tegas seperti $r$ di luar titik asalnya; sedangkan jika $rt - s^2 < 0$ , maka $q$ mengambil kedua tandanya.
Selesaikanlah kasus sisanya: $r = 0$ , $t \neq 0$ (yang setangkup); dan $r = t = 0$ ( $q = 2shk$ ). Simpulkanlah: bahwa $q$ mengambil kedua tandanya jika dan hanya jika $rt - s^2 < 0$ , dan bahwa $q$ lenyap hanya di titik asalnya jika dan hanya jika $rt - s^2 > 0$ .
Kini misalkan $f(x, y) = \frac12\bigl(r x^2 + 2s xy + t y^2\bigr) + \beta x + \gamma y + \delta$ sebuah fungsi kuadratik yang bertitik kritis $X_0 = (a, b)$ . Buktikan penjabaran yang persis

$f(X_0 + (h,k)) = f(X_0) + \tfrac12\,q(h, k) \qquad (\text{tanpa sisa}),$

lalu simpulkanlah penggolongan Monge bagi fungsi kuadratik: yaitu minimum global yang tegas jika $rt - s^2 > 0$ , $r > 0$ ; maksimum global yang tegas jika $rt - s^2 > 0$ , $r < 0$ ; dan pelana jika $rt - s^2 < 0$ .
Andaikan $rt - s^2 > 0$ dan $r > 0$ (sehingga juga $t > 0$ ). Buktikan batas kekoersifan yang eksplisit

$q(h, k) \geq c\,(h^2 + k^2), \qquad c = \frac{rt - s^2}{r + t} > 0 .$

(Tunjukkanlah bahwa bentuk kuadratik $q - c(h^2 + k^2)$ , yang berkoefisien $r - c$ , $s$ , $t - c$ , masih mempunyai data uji diskriminan yang taknegatif.)
Simpulkanlah bahwa fungsi kuadratik yang bagian kuadratiknya tegas positif menuju $+\infty$ ketika $\norm{(x,y)} \to \infty$ , dan karenanya mempunyai pemberi minimum global yang tunggal: yaitu titik kritisnya. Bandingkanlah dengan Contoh 25.15, tempat minimum lokal sebuah fungsi yang takkuadratik ternyata tak global.

Bagian II — Persamaan normalnya. Misalkan $C_1, C_2, b \in \R^n$ (dengan hasil kali dalam kanoniknya), dan

f(u, v) = \norm{u\,C_1 + v\,C_2 - b}^2 .

Jabarkanlah $f$ lalu tunjukkanlah bahwa ia fungsi kuadratik atas $(u, v)$ yang koefisien bagian kuadratiknya $r = 2\norm{C_1}^2$ , $s = 2\langle C_1, C_2\rangle$ , $t = 2\norm{C_2}^2$ .
Tunjukkan bahwa $rt - s^2 > 0$ jika dan hanya jika $(C_1, C_2)$ bebas (yaitu kasus kesamaan Cauchy–Schwarz, Teorema 23.4); andaikanlah ini mulai sekarang.
Tunjukkan bahwa persamaan kritisnya $\nabla f = 0$ adalah persamaan normalnya

$\begin{pmatrix} \norm{C_1}^2 & \langle C_1, C_2\rangle\\ \langle C_1, C_2\rangle & \norm{C_2}^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u\\ v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \langle C_1, b\rangle\\ \langle C_2, b\rangle\end{pmatrix}$

— dengan matriks Gram Latihan 23.11 di kiri — dan bahwa ia berkata tepat: $b - (uC_1 + vC_2) \perp C_1, C_2$ . Simpulkanlah bersama Bagian I dan Teorema 23.10: bahwa pemberi minimum yang tunggal memberikan $p = uC_1 + vC_2 =$ proyeksi ortogonal $b$ ke $\operatorname{Vect}(C_1, C_2)$ .
Tunjukkan bahwa nilai minimalnya adalah $\norm{b}^2 - \langle p, b\rangle = \norm{b - p}^2$ , lalu gambarlah gambaran Pythagorasnya.

Bagian III — Garis regresinya. Dengan titik data $(x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$ , yang $x_i$ -nya tak semua sama. Minimalkanlah

E(\alpha, \beta) = \sum_{i=1}^{n}\bigl(y_i - \alpha - \beta x_i\bigr)^2 .

Tulislah $\bar x = \frac1n\sum x_i$ , $\bar y = \frac1n\sum y_i$ , $v_x = \frac1n\sum x_i^2 - \bar x^2$ , $v_y = \frac1n\sum y_i^2 - \bar y^2$ , $c_{xy} = \frac1n\sum x_i y_i - \bar x\bar y$ .

Kenalilah Bagian II dengan $C_1 = (1, \dots, 1)$ , $C_2 = (x_1, \dots, x_n)$ , $b = (y_1, \dots, y_n)$ , lalu tulislah persamaan normalnya

$n\alpha + \Bigl(\sum x_i\Bigr)\beta = \sum y_i, \qquad \Bigl(\sum x_i\Bigr)\alpha + \Bigl(\sum x_i^2\Bigr)\beta = \sum x_i y_i .$
Pecahkanlah:

$\beta = \frac{c_{xy}}{v_x}, \qquad \alpha = \bar y - \beta\,\bar x ,$

lalu amatilah bahwa garis regresinya $y = \alpha + \beta x$ lewat titik reratanya $(\bar x, \bar y)$ .
Periksalah $v_x > 0$ tepat ketika $x_i$ tak semuanya sama, lalu cocokkanlah ini dengan pertanyaan 7.
Buktikan bahwa galat minimalnya adalah

$E_{\min} = n\Bigl(v_y - \frac{c_{xy}^2}{v_x}\Bigr) = n\,v_y\,(1 - \rho^2), \qquad \rho = \frac{c_{xy}}{\sqrt{v_x v_y}} \quad (v_y \neq 0).$

Simpulkanlah $\abs\rho \leq 1$ , dengan $\abs\rho = 1$ jika dan hanya jika datanya sejajar sempurna.
Contoh yang dikerjakan: bagi data $(0,0)$ , $(1,1)$ , $(2,3)$ , $(3,4)$ , hitunglah $\bar x, \bar y, v_x, c_{xy}$ , garis regresinya, keempat sisaannya dan $E_{\min}$ .
Buktikan bahwa sisaan $\varepsilon_i = y_i - \alpha - \beta x_i$ pada garis yang optimal memenuhi $\sum_i \varepsilon_i = 0$ dan $\sum_i x_i\varepsilon_i = 0$ , lalu tafsirkanlah keduanya lewat keortogonalannya.

Bagian IV — Ragam dan penerapannya.

(Tetapan terbaik) Tunjukkan bahwa tetapan $\alpha$ yang meminimalkan $\sum_i (y_i - \alpha)^2$ adalah reratanya $\bar y$ , dan bahwa nilai minimalnya $n\,v_y$ : jadi variansnya mengukur kegagalan datanya menjadi tetap.
(Garis lewat titik asal) Tunjukkan bahwa kemiringan yang meminimalkan $\sum_i (y_i - \beta x_i)^2$ adalah $\beta_0 = \frac{\sum x_iy_i}{\sum x_i^2}$ , lalu berikanlah syarat pada datanya agar $\beta_0$ berimpit dengan kemiringan $c_{xy}/v_x$ pada pertanyaan 11.
(Jarak ke sebuah garis, lagi) Bagi sebuah titik $M$ dan garis $D$ lewat $P_0$ yang berarah vektor satuan $w$ , minimalkanlah $g(\tau) = \norm{P_0 + \tau w - M}^2$ lalu simpulkanlah $d(M, D)^2 = \norm{M - P_0}^2 - \langle M - P_0, w\rangle^2$ ; lalu pulihkanlah rumus $d = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ bagi garis $ax + by + c = 0$ pada bidangnya.
(Analisis varians) Buktikan penguraian $v_y = \beta^2 v_x + \frac{E_{\min}}n$ : bahwa varians $y_i$ terbelah menjadi bagian yang dijelaskan garisnya ditambah varians sisaannya.
(Pencocokan parabolik) Untuk mencocokkan $y = a + bx + cx^2$ , tunjukkanlah bahwa persamaan normalnya adalah sistem $3 \times 3$ dengan matriks momen

$\begin{pmatrix} n & \sum x_i & \sum x_i^2\\ \sum x_i & \sum x_i^2 & \sum x_i^3\\ \sum x_i^2 & \sum x_i^3 & \sum x_i^4 \end{pmatrix},$

yaitu matriks Gram yang dapat dibalik segera setelah tiga di antara $x_i$ -nya berbeda (lewat kebebasan $(1, X, X^2)$ yang dicuplik pada datanya, Latihan 23.11; bandingkanlah matriks momen pada soal akhir pekan Bab 22).

Bagian V — Ketegaran, dan sintesisnya.

Golongkanlah titik kritis ketiga fungsi kuadratik berikut

$x^2 + xy + y^2, \qquad x^2 + 3xy + y^2, \qquad x^2 + 2xy + y^2 ,$

lewat Bagian I, dengan memperlakukan kasus ketiganya yang merosot dengan tangan (di manakah minimumnya tercapai?).
(Percobaan pencilan) Tambahkanlah titik $(10, 0)$ pada data pertanyaan 14 lalu hitunglah ulang kemiringannya $\beta$ . Apakah yang terjadi, dan mengapakah galat yang dikuadratkan begitu peka terhadap satu titik yang jauh?
(Kuadrat terkecil terbobot) Diberikan bobot $w_i > 0$ , minimalkanlah $\sum_i w_i(y_i - \alpha - \beta x_i)^2$ : tunjukkanlah bahwa penyelesaiannya diberikan rumus yang sama seperti pertanyaan 11 dengan rerata, varians dan kovarians yang terbobot (definisikanlah semuanya).
Tunjukkan bahwa bagi garis yang optimal, $E_{\min} = 0$ memaksa semua titiknya terletak persis padanya, lalu kaitkanlah dengan kasus kesamaan $\abs\rho = 1$ pada pertanyaan 13; lalu ujilah pada data yang sejajar $(1,1), (2,3), (3,5)$ .
Sintesis, dalam empat kalimat: mengapakah fungsi kuadratik merupakan satu-satunya kelas tempat uji orde dua bab ini tak memerlukan teorema yang diakui; bagaimanakah persamaan normalnya menyamakan peminimalan analisisnya dengan proyeksi ortogonal Bab 23; apakah yang diukur koefisien korelasinya dan ketaksamaan yang mana yang membatasinya; dan bagian yang mana pada Bab 18–23 (yaitu basis, matriks Gram dan matriks momen, proyeksi) yang muncul kembali. Namailah metode dan persamaan yang dipelajari pada Bagian II–III.

Solusi

Solusi Soal 25.1.

1. Menjabarkan ruas kanannya:

r\Bigl(h + \frac srk\Bigr)^{\!2} + \frac{rt - s^2}{r}k^2 = rh^2 + 2shk + \frac{s^2}{r}k^2 + \frac{rt - s^2}{r}k^2 = q(h,k) .

Jika $rt - s^2 > 0$ : maka kedua kuadratnya membawa tanda faktor $r$ , dan $q(h,k) = 0$ memaksa $k = 0$ lalu $h = 0$ : jadi bertanda tegas seperti $r$ di luar titik asalnya. Jika $rt - s^2 < 0$ : maka $q(1, 0) = r$ sedangkan $q\bigl(-\frac sr, 1\bigr) = \frac{rt - s^2}{r}$ bertanda berlawanan: jadi kedua tandanya terjadi.

2. Jika $r = 0 \neq t$ , tukarlah peran $h$ dan $k$ (yaitu kuadrat lengkapnya pada $k$ ), dengan kesimpulan yang sama; dan perhatikanlah $rt - s^2 = -s^2 < 0$ segera setelah $s \neq 0$ , dan memang $q = 2shk + tk^2$ lalu mengambil kedua tandanya ( $k$ yang kecil terhadap $h$ ). Jika $r = t = 0$ : $q = 2shk$ , yang berkedua tanda jika dan hanya jika $s \neq 0$ , yaitu jika dan hanya jika $rt - s^2 = -s^2 < 0$ . Ringkasnya: $q$ mengambil kedua tandanya $\iff rt - s^2 < 0$ ; sedangkan $q$ lenyap hanya di titik asalnya (jadi tegas) $\iff rt - s^2 > 0$ (yang memaksa $r \neq 0$ , karena $r = 0$ memberikan $q(1,0) = 0$ ).

3. Dengan $f_x = rx + sy + \beta$ dan $f_y = sx + ty + \gamma$ , penjabaran langsungnya memberikan

f(a + h, b + k) = f(a, b) + h\,f_x(a,b) + k\,f_y(a,b) + \tfrac12 q(h, k),

tanpa suku yang lebih tinggi (karena fungsinya polinomial berderajat $2$ ). Pada sebuah titik kritis bagian linearnya lenyap: $f(X_0 + H) - f(X_0) = \frac12 q(H)$ dengan persis, sehingga kajian tanda pertanyaan 1–2 menggolongkannya: yaitu minimum global yang tegas ( $rt - s^2 > 0$ , $r > 0$ ), maksimum global yang tegas ( $rt - s^2 > 0$ , $r < 0$ ), dan pelana — yakni kedua tandanya di setiap persekitarannya — ketika $rt - s^2 < 0$ . Ini membuktikan Metode 25.14 bagi fungsi kuadratik.

4. Bentuk $q - c(h^2 + k^2)$ berdata $r - c$ , $s$ , $t - c$ . Dengan $c = \frac{rt - s^2}{r + t}$ (perhatikanlah $t > 0$ karena $rt > s^2 \geq 0$ dan $r > 0$ ):

(r - c)(t - c) - s^2 = rt - s^2 - c(r + t) + c^2 = c^2 \geq 0,

dan $r - c \geq 0$ (karena $c \leq r \iff rt - s^2 \leq r^2 + rt$ , yang benar). Jika $r - c > 0$ , maka kuadrat lengkap pertanyaan 1 menunjukkan $q - c(h^2 + k^2) \geq 0$ ; sedangkan jika $r - c = 0$ , maka $s = 0$ (karena dari $-s^2 = -c^2 \leq \dots$ yang memaksa besaran yang ditampilkan $\geq 0$ dengan faktor pertamanya $0$ ) dan bentuknya menjadi $(t - c)k^2 \geq 0$ . Jadi pada kedua kasusnya $q(h,k) \geq c(h^2 + k^2)$ .

5. Menurut pertanyaan 3–4, $f(X) = f(X_0) + \frac12 q(X - X_0) \geq f(X_0) + \frac c2\norm{X - X_0}^2 \to +\infty$ ketika $\norm X \to \infty$ : jadi $f$ bersifat koersif, dan ketaksamaannya tegas untuk $X \neq X_0$ : sehingga titik kritisnya pemberi minimum global yang tunggal. Adapun bagi kubik $f = x^3 + y^3 - 3xy$ pada Contoh 25.15, tak ada kesimpulan demikian yang berlaku: karena $f(x,0) = x^3 \to -\infty$ , dan minimum lokalnya di $(1,1)$ bukan yang global — sebab kepersisan penjabaran kuadratiknyalah yang gagal.

6. Menjabarkan kuadrat normanya:

f(u,v) = u^2\norm{C_1}^2 + 2uv\,\langle C_1, C_2\rangle + v^2\norm{C_2}^2 - 2u\,\langle C_1, b\rangle - 2v\,\langle C_2, b\rangle + \norm b^2 ,

yaitu fungsi kuadratik atas $(u, v)$ yang bagian kuadratiknya $\frac12(ru^2 + 2suv + tv^2)$ dengan $r = 2\norm{C_1}^2$ , $s = 2\langle C_1, C_2\rangle$ , $t = 2\norm{C_2}^2$ .

7. $rt - s^2 = 4\bigl(\norm{C_1}^2\norm{C_2}^2 - \langle C_1, C_2\rangle^2\bigr) \geq 0$ menurut Cauchy–Schwarz (Teorema 23.4), dengan kesamaannya tepat ketika $C_1, C_2$ sebanding (atau salah satunya nol), yaitu ketika pasangannya terkait. Jadi $rt - s^2 > 0 \iff (C_1, C_2)$ bebas.

8. $\nabla f = 0$ terbaca

\norm{C_1}^2 u + \langle C_1, C_2\rangle v = \langle C_1, b\rangle, \qquad \langle C_1, C_2\rangle u + \norm{C_2}^2 v = \langle C_2, b\rangle,

yaitu persamaan normalnya dengan matriks Gram di kirinya; dan ia berkata $\langle uC_1 + vC_2 - b,\ C_i\rangle = 0$ untuk $i = 1, 2$ , yaitu $b - p \perp \operatorname{Vect}(C_1, C_2)$ bagi $p = uC_1 + vC_2$ . Menurut Bagian I (pertanyaan 3, 5) titik kritis yang tunggal itu pemberi minimum global yang tunggal, dan menurut Teorema 23.10 penciriannya “ $p \in F$ , $b - p \perp F$ ” mengenali $p$ sebagai proyeksi ortogonal $b$ ke $F = \operatorname{Vect}(C_1, C_2)$ .

9. $\norm{b - p}^2 = \norm b^2 - 2\langle b, p\rangle + \norm p^2$ , dan $\langle p, b - p\rangle = 0$ memberikan $\norm p^2 = \langle p, b\rangle$ : sehingga minimumnya sama dengan $\norm b^2 - \langle p, b\rangle$ . Pythagoras: $\norm b^2 = \norm p^2 + \norm{b - p}^2$ — jadi vektor datanya terbelah menjadi bagian yang terjelaskan $p$ dan bagian sisaannya $b - p$ , yang saling ortogonal.

10. $E(\alpha, \beta) = \norm{\alpha C_1 + \beta C_2 - b}^2$ dengan $C_1, C_2, b$ yang dinyatakan itu; sehingga persamaan normal pertanyaan 8 adalah, entri demi entri,

n\alpha + \Bigl(\sum x_i\Bigr)\beta = \sum y_i, \qquad \Bigl(\sum x_i\Bigr)\alpha + \Bigl(\sum x_i^2\Bigr)\beta = \sum x_i y_i .

11. Membaginya dengan $n$ : $\alpha + \beta\bar x = \bar y$ dan $\alpha\bar x + \beta\bigl(v_x + \bar x^2\bigr) = c_{xy} + \bar x\bar y$ . Lalu menyulihkan $\alpha = \bar y - \beta\bar x$ ke dalam yang kedua: $\beta v_x = c_{xy}$ , sehingga

\beta = \frac{c_{xy}}{v_x}, \qquad \alpha = \bar y - \beta\bar x ,

dan persamaan pertamanya berkata persis bahwa $(\bar x, \bar y)$ terletak pada garisnya.

12. $v_x = \frac1n\sum(x_i - \bar x)^2 \geq 0$ , yang nol jika dan hanya jika setiap $x_i$ sama dengan $\bar x$ . Dan $rt - s^2 = 4\bigl(n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2\bigr) = 4n^2 v_x$ : jadi syarat kebebasan pertanyaan 7 adalah $v_x > 0$ , yaitu $x_i$ yang tak semuanya sama.

13. Dengan $\alpha = \bar y - \beta\bar x$ , pusatkanlah datanya ( $\tilde x_i = x_i - \bar x$ , $\tilde y_i = y_i - \bar y$ ):

E(\alpha, \beta) = \sum_i(\tilde y_i - \beta\tilde x_i)^2 = n\,v_y - 2\beta\,n\,c_{xy} + \beta^2 n\,v_x ,

yang minimal di $\beta = c_{xy}/v_x$ dengan nilai $E_{\min} = n\bigl(v_y - \frac{c_{xy}^2}{v_x}\bigr) = n v_y(1 - \rho^2)$ . Karena $E_{\min} \geq 0$ dan $v_y > 0$ : maka $\rho^2 \leq 1$ , dan $\abs\rho = 1$ jika dan hanya jika $E_{\min} = 0$ , yaitu jika dan hanya jika setiap sisaannya lenyap: sehingga titiknya terletak persis pada garisnya.

14. $n = 4$ : $\bar x = \frac64 = 1.5$ , $\bar y = 2$ , $\sum x_i^2 = 14$ sehingga $v_x = 3.5 - 2.25 = 1.25$ , $\sum x_iy_i = 0 + 1 + 6 + 12 = 19$ sehingga $c_{xy} = 4.75 - 3 = 1.75$ . Maka

\beta = \frac{1.75}{1.25} = 1.4, \qquad \alpha = 2 - 1.4\times1.5 = -0.1 : \qquad y = 1.4\,x - 0.1 .

Nilai cocoknya $-0.1,\ 1.3,\ 2.7,\ 4.1$ ; sisaannya $0.1,\ -0.3,\ 0.3,\ -0.1$ ; dan $E_{\min} = 0.01 + 0.09 + 0.09 + 0.01 = 0.2$ (periksa: $v_y = \frac{26}4 - 4 = 2.5$ dan $4(2.5 - \frac{1.75^2}{1.25}) = 4(2.5 - 2.45) = 0.2$ ).

15. Kedua persamaan normal pertanyaan 10 tepat $\sum_i\varepsilon_i = 0$ dan $\sum_i x_i\varepsilon_i = 0$ : jadi vektor sisaannya ortogonal terhadap $C_1 = (1, \dots, 1)$ dan terhadap $C_2 = (x_i)$ — yakni terhadap seluruh ruang modelnya. Khususnya garis yang optimal selalu menyeimbangkan galatnya: karena galatnya berjumlah nol.

16. $\frac{\dd}{\dd\alpha}\sum(y_i - \alpha)^2 = -2\sum(y_i - \alpha) = 0$ memberikan $\alpha = \bar y$ (dan turunan keduanya $2n > 0$ menjadikannya minimum global, karena fungsinya kuadratik yang koersif pada satu variabel). Adapun nilai minimalnya $\sum(y_i - \bar y)^2 = n v_y$ : jadi variansnya adalah galat kuadratik yang tak tereduksikan pada model yang tetap.

17. $\frac{\dd}{\dd\beta}\sum(y_i - \beta x_i)^2 = -2\sum x_i(y_i - \beta x_i) = 0$ memberikan $\beta_0 = \frac{\sum x_iy_i}{\sum x_i^2}$ . Dengan menulis kedua kemiringannya atas besaran yang terpusat: $\beta_0 = \frac{c_{xy} + \bar x\bar y}{v_x + \bar x^2}$ sama dengan $\frac{c_{xy}}{v_x}$ jika dan hanya jika $c_{xy}\bar x^2 = \bar x\bar y\,v_x$ , yaitu jika dan hanya jika $\bar x = 0$ (yakni absis yang terpusat) atau $\bar y = \beta\bar x$ — dengan yang terakhirnya berarti $\alpha = 0$ : jadi garis regresi penuhnya sudah lewat titik asalnya.

18. $g(\tau) = \norm{M - P_0}^2 - 2\tau\langle M - P_0, w\rangle + \tau^2$ minimal di $\tau^* = \langle M - P_0, w\rangle$ , dengan nilai $d(M,D)^2 = \norm{M - P_0}^2 - \langle M - P_0, w\rangle^2$ . Pada bidangnya, lengkapkanlah $w$ menjadi basis ortonormal $(w, n)$ dengan $n = \frac{(a, b)}{\sqrt{a^2+b^2}}$ (yaitu normal satuan $D$ ): maka $\norm{M - P_0}^2 = \langle M - P_0, w\rangle^2 + \langle M - P_0, n\rangle^2$ , sehingga $d(M, D) = \abs{\langle M - P_0, n\rangle}$ , dan dengan $aP_{0x} + bP_{0y} = -c$ :

d = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c}}{\sqrt{a^2 + b^2}} .

19. Dari $E_{\min}/n = v_y - \frac{c_{xy}^2}{v_x}$ dan $\beta^2 v_x = \frac{c_{xy}^2}{v_x}$ :

v_y = \beta^2 v_x + \frac{E_{\min}}n :

yaitu varians total $=$ varians sepanjang garis cocoknya $+$ varians sisaannya. (Dengan membaginya oleh $v_y$ : $1 = \rho^2 + (1 - \rho^2)$ , sehingga bagian varians yang “dijelaskan” garisnya adalah $\rho^2$ .)

20. Ruang modelnya adalah $\operatorname{Vect}\bigl(C_1, C_2, C_3\bigr)$ dengan $C_1 = (1)$ , $C_2 = (x_i)$ , $C_3 = (x_i^2)$ ; sehingga meminimalkan $\norm{aC_1 + bC_2 + cC_3 - b}^2$ menuntun, persis seperti pada pertanyaan 8, ke sistem Gram $3\times3$ , yang matriksnya berentri $\langle C_i, C_j\rangle = \sum_k x_k^{\,i+j-2}$ : yaitu matriks momen yang ditampilkan. Dan ia dapat dibalik jika dan hanya jika $(C_1, C_2, C_3)$ bebas (Latihan 23.11); karena sebuah hubungan $a + bx_k + cx_k^2 = 0$ untuk semua $k$ menjadikan setiap $x_k$ akar satu polinomial berderajat $\leq 2$ , yang mustahil dengan tiga nilai berbeda kecuali $a = b = c = 0$ . Bandingkanlah matriks momen pada soal akhir pekan Bab 22, tempat determinannya berupa kuadrat nilai Vandermonde.

21. Yang pertama: $r = 2, s = 1, t = 2$ , $rt - s^2 = 3 > 0$ , $r > 0$ : jadi minimum global yang tegas di titik asalnya. Yang kedua: $r = 2, s = 3, t = 2$ , $rt - s^2 = -5 < 0$ : jadi pelana. Yang ketiga: $r = s = t = 2$ , $rt - s^2 = 0$ : jadi merosot — tetapi $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2 \geq 0$ lenyap pada seluruh garis $y = -x$ : yaitu minimum global (yang tak tegas) yang tercapai sepanjang sebuah garis, dan tak kasatmata bagi uji determinannya.

22. Jumlah barunya ( $n = 5$ ): $\bar x = 3.2$ , $\bar y = 1.6$ , $\sum x_iy_i = 19$ sehingga $c_{xy} = 3.8 - 5.12 = -1.32$ , $\sum x_i^2 = 114$ sehingga $v_x = 22.8 - 10.24 = 12.56$ . Kemiringan barunya:

\beta = \frac{-1.32}{12.56} \approx -0.105 :

jadi satu titik mengubah kecenderungan yang jelas naik ( $\beta = 1.4$ ) menjadi yang sedikit menurun. Adapun galat kuadratnya membebani sebuah sisaan $\varepsilon^2$ , sehingga satu titik yang jauh — dengan $\abs{x_{i} - \bar x}$ yang besar dan sisaan yang besar — menguasai baik $c_{xy}$ maupun $v_x$ : jadi kuadrat terkecil itu mangkus tetapi tak tegar.

23. Tetapkanlah $W = \sum w_i$ lalu definisikanlah $\bar x_w = \frac1W\sum w_ix_i$ , $\bar y_w$ serupa, $v_x^w = \frac1W\sum w_ix_i^2 - \bar x_w^2$ , $c^w_{xy} = \frac1W\sum w_ix_iy_i - \bar x_w\bar y_w$ . Adapun pemetaan $\langle u, v\rangle_w = \sum_i w_iu_iv_i$ merupakan hasil kali dalam pada $\R^n$ (karena $w_i > 0$ memberikan ketegasannya), sehingga Bagian II berlaku secara harfiah dan persamaan normalnya, dibagi $W$ , menjadi

\alpha + \beta\bar x_w = \bar y_w, \qquad \alpha\bar x_w + \beta(v^w_x + \bar x_w^2) = c^w_{xy} + \bar x_w\bar y_w ,

dan dari situlah $\beta = c^w_{xy}/v^w_x$ dan $\alpha = \bar y_w - \beta\bar x_w$ : yaitu rumus yang sama, dengan setiap reratanya terbobot.

24. $E_{\min} = \sum\varepsilon_i^2 = 0$ memaksa setiap $\varepsilon_i = 0$ : jadi semua titiknya persis pada garisnya; dan menurut pertanyaan 13 inilah kasus $\abs\rho = 1$ . Ujinya: bagi $(1,1), (2,3), (3,5)$ : $\bar x = 2$ , $\bar y = 3$ , $v_x = \frac{14}3 - 4 = \frac23$ , $c_{xy} = \frac{22}3 - 6 = \frac43$ : sehingga $\beta = 2$ , $\alpha = -1$ , dan memang $y_i = 2x_i - 1$ bagi ketiga titiknya; lalu $v_y = \frac{35}3 - 9 = \frac83$ dan $\rho^2 = \frac{(4/3)^2}{(2/3)(8/3)} = 1$ .

25. (i) Bagi fungsi kuadratik penjabaran orde duanya merupakan sebuah kesamaan, sehingga kajian tanda bentuk kuadratiknya — yaitu aljabar murni, pertanyaan 1–2 — menggolongkan titik kritisnya tanpa teorema Taylor yang diakui. (ii) Adapun persamaan normalnya berkata “sisaannya ortogonal terhadap ruang modelnya”, sehingga minimum analisisnya adalah proyeksi ortogonal vektor datanya: jadi kalkulus dan geometri Euklides menghitung objek yang sama. (iii) Korelasinya $\rho = c_{xy}/\sqrt{v_xv_y}$ mengukur bagian $\rho^2$ varians yang dijelaskan garisnya, dan Cauchy–Schwarz membatasinya: $\abs\rho \leq 1$ , dengan kesamaannya hanya bagi data yang sejajar. (iv) Basis dan kebebasannya (Bab 18), matriks Gram dan matriks momen beserta determinannya (Bab 22–23), dan proyeksi ortogonal (Bab 23) semuanya muncul kembali sebagai bagian kerja satu algoritma. Adapun Bagian II–III mengembangkan metode kuadrat terkecil (Legendre, Gauss) lewat persamaan normalnya.

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

Lihat semua 395 istilah di glosarium

25.1 Bidang R2\R^2R2; kekontinuan

25.2 Turunan parsial

25.3 Ekstremum lokal

25.4 Latihan

25.5 Soal: kuadrat terkecil dan garis regresi

Istilah yang didefinisikan dalam bab ini

25.1 Bidang $\R^2$ ; kekontinuan