Wronskian কী?

Contoh 16.7 (Liouville diperiksa pada sebuah persamaan Euler)

Pada $\intoo{0}{\infty}$, persamaan $t^2y'' + ty' - y = 0$ punya penyelesaian $y_1(t) = t$ dan $y_2(t) = \frac1t$ (sulihkan). Adapun wronskiannya:

yang tak pernah nol: jadi sebuah sistem fundamental. Kini periksalah Liouville: dalam bentuk ternormalkan $y'' + \frac1t\,y' - \frac{1}{t^2}\,y = 0$, matriks pendampingnya $A(t) = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ \frac{1}{t^2} & -\frac1t\end{pmatrix}$ bertrace $-\frac1t$, jadi

Pelajaran penutupnya: Liouville meramalkan bentuk wronskiannya sebelum satu penyelesaian pun diketahui — di sini, bahwa $W$ mestilah $\frac{c}{t}$; dan inilah yang menggerakkan metode penurunan orde (Proposisi 16.15), tempat mengetahui $y_1$ dan bentuk wronskiannya menentukan $y_2$ lewat satu kuadratur.

Contoh 16.5 (Isomorfisma penilaian, secara konkret)

Untuk $y'' + y = 0$, yang dipandang sebagai sistem $X' = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}X$ dengan $X = (y, y')$: teoremanya mengatakan bahwa ruang penyelesaiannya sebuah bidang, dan bahwa $X \mapsto X(0) = (y(0), y'(0))$ merupakan isomorfisma ke $\R^2$. Adapun penyelesaian $\cos$ dan $\sin$ bernilai $(1, 0)$ dan $(0, 1)$ — yakni basis kanonik $\R^2$ — jadi keduanya membentuk basis ruang penyelesaiannya, dan setiap penyelesaiannya berbunyi

dengan koefisiennya dibaca langsung dari data awalnya, tanpa sistem linear yang harus diselesaikan. Pelajaran penutupnya: memilih sistem fundamental yang nilai awalnya berupa basis kanoniknya (di sini $\cos, \sin$) persis merupakan memilih kolom $\eu^{tA}$; jadi isomorfisma penilaiannya adalah sebab syarat awalnya memparameterkan lintasannya — yakni isi geometris “dinamika deterministik” bagi persamaan linear.