Wat is Puntgroep, orde van een puntgroep?

Voorbeeld 4.10 (De groep van water)

De vier operaties $E$, $C_2$, $\sigma_v(xz)$, $\sigma_v'(yz)$ van $\ce{H2O}$ vormen een groep van orde 4. De vermenigvuldigingstabel (de operatie van de rij uitgevoerd na die van de kolom) is

Een punt $(x, y, z)$ dat gespiegeld wordt in $xz$ gaat bijvoorbeeld naar $(x, -y, z)$, en na een rotatie over $\pi$ om $z$ naar $(-x, y, z)$: hetzelfde als één spiegeling in $yz$.

Voorbeeld 4.19 (Een achiraal molecuul zonder spiegelvlak)

Sommige moleculen hebben noch een spiegelvlak noch een inversiecentrum en zijn toch achiraal door een $S_4$-as: het klassieke voorbeeld is een spiroverbinding uit twee identiek gesubstitueerde ringen die loodrecht op elkaar staan, met puntgroep $S_4$. Chiraliteit kan dus niet beoordeeld worden door alleen naar een vlak te zoeken.