Coachheet analytisch in wanneer zij op een omgeving de som is van een machtreeks in ; op een interval, wanneer zij dat in elk punt is. Sommen van machtreeksen zijn analytisch binnen hun schijf (herschikking van de ontwikkeling — op dit niveau zonder bewijs aangenomen voor het verleggen van het middelpunt; het geval is Stelling 11.7). Analytisch impliceert ; het omgekeerde faalt: de vlakke functie (Oefening 11.7).
উদাহরণ
Voorbeeld 11.14 (Het middelpunt verleggen, en de straal als afstand)
Ontwikkel rond : met is
geldig voor , dat wil zeggen . De nieuwe straal is precies de afstand van het nieuwe middelpunt tot de singulariteit : het middelpunt verleggen krimpt (of vergroot) de schijf tot zij op de dichtstbijzijnde hindernis past. Het inzicht om te onthouden: dit is het beeld achter de definitie van analyticiteit — één functie, vele lokale machtreeksen, elk levend op de grootste schijf die de moeilijkheden vermijdt; het volume van bachelorjaar 3 maakt van de heuristiek “straal afstand tot de dichtstbijzijnde complexe singulariteit” een stelling.